XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Предположим противное: пусть существует непрерывная на отрезке [О, 1) функция ~до, для которой Заметим, что для разрывной в точке х = 1/2 функции ( О, 0<х<1/2; ч()= [[1, 1/2<х<1, (4.6) в нормированном пространстве С[а,Ь1 с нормой (4.4) является фундаментальной. Действительно, для любого е > 0 прн любых 1 н > — и т > н имеем га 143 4. Ь Нормированные пространства справедливы равенства 1/г п~, 1 = 1пп ~пх+1 — — ~0х = 1пп — =О.
в-+оо / 2 -~ о2п 1/г-1/а Тогда Поскольку ]~ро(х) — ср(х)] ) 0 для х Е (О, 1] и 1/г 1/г то каждый из двух последних интегралов равен нулю. Отсюда в силу неотрицательности и непрерывности подынтегральной функции Гро(х) — у(х)~ на каждом из промежутков (0,1/2) и (1/2, 1] получаем до(х) = ~р(х) для всех х Е (О, 1/2) 1/[1/2, 1]. Тогда х = 1/2 является для функции уо(х) точкой разрыва первого рода, что противоречит предположению непрерывности до на отрезке (О, 1]. Таким образом, последовательность (чо„), фундаментальная в линейном нормированном пространстве С1о,6] с нормой (4.4), не является сходящейся в // по зтой норме, т.е. С(а,в] с нормой (4.4) не будет полным нормированным пространством.
144 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВ4 И ОПЕРАТОРЫ Можно показать', что банаховым является пространство суланируемых (или интегрируемых по Лебегу'*) на отрезке [а, 6] функций 1(х), обозначаемое Ьг[а,ь) и имеющее норму []Х) [Я = Щх)]йх, а (4.7) которая определена при помощи интеграла Лебега. Элементами пространства 16[а,6] являются классы функций, равных почти всюду на отрезке [О, Ц. В частности, этому пространству при [а, 6) = [О, Ц принадлежит не интегрируемая по Риману на отрезке [О, Ц, но интегрируемая по Лебегу на этом отрезке функция Дирихле 1 , хб4гП[О,Ц; О, хк[О,Ц'14г, Пример 4.4. Функциональное пространство И действительных функций одного действительного переменного, Й раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, 6], является линейным (см. пример 4.1).
В этом функциональном пространстве можно вводить следующие нормы: ]1,6]]еаа так ],6(Х)], ее]а,6] ][дг — — щах щах ]]4~](х)], 0< ы < а е Е 1а,6] )[Дг = ~~6 щах [Д( ](х)], ап]а,6] 'Снл Колмоеорое А.Н., Фомин С.В. "А. Лебег (1875-1941) — французский математик. причем Щх))[ = О, поскольку эта функция почти всюду равна нулю. 145 4.1.
Нормированные нроетрансвва где Г1 1(х), т > 1, — производная порядка щ функции 1(х), а л1о)(г) дг) Функциональное пространство И с нормой 0 '0о является линейным многообразием банахова пространства С[а, о] (см. пример 4.3). Поскольку это линейное многообразие не является замкнутым в С[а, и] (существуют последовательности непрерывно дифференцируемых функций, сходящиеся в С[а,й], т.е. по норме 0' '0о, к непРеРывной фУнкции, котоРаЯ ни в одной точке отрезка [а,6] не имеет конечной производной'), то функциональное пространство И с нормой )[ 0о не является банаховым.
нетрудно показать, что нормы ][ [)1 и [(. [[г, действующие в функциональном пространстве И, являются эквивалентными, т.е. найдутся такие положительные числа а и Д > О, что а]Щ]г < |!Д1 < ЯДг, У ЕИ. Отметим, что последовательность (Я с И сходится по нормам '0 )(~ или ]) '0г тогда и только тогда, когда фУнкционэльные последовательности (Д (х)) производных сходятся равномерно на отрезке [а, 5] при любом пг = О, й [1Х]. Отсюда, в частности, ясно, что из сходимости последовательности (Я с И по нормам ]] ]]1 или ][ ][г следует сходимость этой последовательности по норме (] ° )]о. Обратное утверждение неверно.
Так, например, последовательность функций /„(х) = — в1п и х, и Е г1, равномер- 1 но сходится на отрезке [0,1] к нулевой функции, поскольку щах ],1 (х)] < — -1 0 при и-+ оо и, следовательно, сходится 1 е(о,11 и к нулю по норме [( '0о. Функциональная последовательность (Ц„'(х)) = (псояп~х) первых производных не является равномерно сходящейся на отрезке [О, 1]. Более того, она расходится при х = О, так как Д(0) = и. Функциональное пространство И с нормой ]] й1 или нормой |)г является банаховым н его обозначают С" [и, Ь]. 'Сил фивеенгольн Г.М. 146 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ 4.2.
Операторы в нормированных пространствах Пусть П и И~ — некоторые множества. Если множества П и 'тУ наделены некоторой структурой, например, являются фуикциональнымн простпранствами (линейнымн, нормированными и т.п.), то обычно отображение А: П -+ И~ называют оператпором. При действиях с операторами используют терминологию, связанную с отображениями множеств.
В частности, П называют областпью определенил оператпора А, обычно обозначаемую Р(А), а подмножество В(А) = (тп Е УУ: Зи б П (то = А(и)) ) Определение 4.3. Оператпор 1тт: П-+П, который переводит любой элемент и бП в себя, т.е. 1тт(и) = и, и ЕП, называют тпождестпвенным. Оператпор А: П -+ тУ, В(А) = ту, называют взаимно однозначным, если каждому элементу то б В(А) отвечает единственный прообраз и Е Р(А), т.е. для каждого тп б И~ существует и притом единственное решение уравнения А(и) = то, (4.8) называемого оператпорным.
Если оператор А:П-+ тУ является взаимно однозначным, то оператпор А т: ту-+ П, удо- областпъю значений оператпора А. Если заданы операторы А: П вЂ” т ту и В: И~т — т У, где П, 'тУ, И'и У вЂ” некоторые множества, а В(А) С Р(В) = И~О то говорят о композиции оператпорое В т А с областью определения Р(ВтА) = Г. Если включение В(А) С Р(В) не имеет места, но В(А) Г1Р(В) ф И, то композицию операторов В т А можно определить на более узком множестве П с П, таком, что для любого и Е Р' элемент А(и) б Р(В). Если заданы два оператора Ат'. Пт -+ ту и Ат. Пт-+ ту, првчем Пт С Пр н Ат(и) = Аэ(и) для любых и б П1, то оператор Ат называют сужением оператпора Ат, а оператор Аэ — раситирением А1. 4.3. Операторы в норннроввнных пространствах 147 влетворяющий условию А ~(хп) = тх тогда и только тогда, когда выполнено (4.8), называют обрптвмым к А.
При этом В(А ') = В(А) и й(А ') = В(А). Композиции А ' о А = 1и и АоА 1 = 1во являются тождественными операторами, преобразующими любой элемент множества Й или тт' в себя. ' Примером взаимно однозначного оператора является линейное преобразование линейного (векторного) пространства Е" в себя, имеющее в некотором базисе невырожденную матрицу.
В этом случае обратному оператору в том же базисе будет соответствовать обратная матрица. Произведение невырожденной матрицы на обратную к ней равно, как известно, единичной матрице, которая соответствует тождественному оператору, Пример 4.5. Пусть оператор А: С[а,6] ~ С[а,6] каждой непрерывной на отрезке [а, 6] функции 1 ставит в соответствие непрерывную функцию 1р Е С[а,6] по правилу у(х) = Д1) Й, х Е [а, 6]. Тогда Н(А) = У С С[а,6] — множество всех непрерывно дифференцируемых на отрезке [а, 6] функций с условием д(а) = О. Если рассматривать оператор А как действующий из С[а,6] в Р, то он имеет обратный оператор А 1: Р -+ С[а,6], причем равенство А т(1р) = 1, у е й, эквивалентно тому, что Дх) = ~р'(х), х Е [а, 6].
Пример 4.6. Покажем, что оператор А: С[О,Ц-+ С[О,Ц, который каждой непрерывной на отрезке [О, Ц функции ставит в соответствие непрерывную функцию оо = А(1) по правилу х т(х) = У(1)й+.1(х), х о [О, Ц, о имеет обратный оператор А ~: С[О,Ц-+С[О,Ц. 148 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Рассмотрим сужение оператора А на множество Р непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,1] функций.
Если функция Т Е Й, то функция 1о = А(Т) также принадлежит множеству й. В соответствии с (4.9) имеем у'(х) = Дх) + ~'(х), х Е (О, 1], (4.10) причем у(0) = Т'(О). Разрешим (4,10) относительно функции Т". Оно является линейным неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) относительно неизвестной функции Т, удовлетворяющей начальному условию Т" (0) = у(0). Общее решение соответствующего однородного ОДУ имеет вид Т"(х) = Се . Решая (4.10) методом Лагранжа (УН1], получаем х Т" (х) = е е'~р'(1) й+ Се о Интегрируя по частям, получаем '1 '~ха+с -'= о х = у(х) — ~Р(0)е — е е'р(1) о1 + Се о Отсюда, используя начальное условие )'(О) = у(0), находим С = = ~р(0).
Значит, решение уравнения (4,10) имеет внд Т(х) = Р(х) — е' '<Р(1)й, х б 10, 1]. (4,11) о Таким образом, для любой функции 1о б Й существует единственнзл функция 1 б Р, удовлетворяющая уравнению А(Т) = ~Р, причем функция у определена равенством (4,11).
4.2. Операторы в нормированных пространствах 149 Докажем, что оператор В: С[0, Ц -+ С[0, Ц, ставящий в соответствие всякой функции ~р е С[0, Ц функцию 1 = В(~р) по правилу (4.11), является обратным к оператору А. Найдем образ функции ~р6 С[О,Ц при действии оператора АоВ. Если р1 — — А о В( р) = А(В(у)), то х т х т (Е=/(т~.)-/"- т(Ца)о";т(н-/.'- та)а= о о а и с т х фг)бг — е тсКг ес~р(1)Щ+~о(х) — е х ес~х(1)Ю1., о о о о Так как функция д(г,1) = е' 'у(1) непрерывна в замкнутой области Р = ((т, 1) Е И~: О ( т ( х, 0 (1( г'1, то можно поме- нять порядок интегрирования в повторном интеграле [УН) Х т х е ~бг ~ (1)п1= еФ (1)а1 т 1 о о о =-~г(.— —.-'ье) =-.— /гно,~,ы . о о о Определение 4.4. Оператпоры А~ '. И' -+ й и А„': И~ — ~ -+ й называют соответственно левым и еровым обропхмым к оператору А: Р -+ И~, если А, гоАсс1т и АоАт'=1в, (4.12) где 1ы и 1хи — тождественные операторы в Й и И~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
