XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Итак, возвращаясь к вычислению р1(х), получаем у1(х) = у(х), х Е [О, Ц, т.е. А о В(~р) = у, ~р Е [О, Ц. Аналогично можно показать, что Во А(1) = У, 1 Е С[0, Ц, Таким образом, оператор В является обратным к оператору А, т.е. В=А 150 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Н ОПЕРАТОРЫ Теорема 4.1. Если существует правый обратный оператор А, ' к оператору А: й — 1 И1, то операторное уравнение А(м) = у (4.13) для любого у Е И1 имеет решение м = А, 1(у) Е И, а если существует левый обратный оператор А1 ', то уравнение (4.13) имеет не более одного решения. Если существуют и правый и левый обратные операторы, то они единственны и совпадают с обратным оператором А 1, а (4.13) имеет единственное решение. Пусть существует А„'. Тогда элемент м = А„1(у) б Р обращает (4.13) в тождество, так как А(А„'(Х)) =(А А,')(~) =1м1®= ~б Ж. Допустим, что существует А, 1. Если и Е Й является решением уравнения А(и) = у, то А, 1 о А(и) = А 1(у), или м = А 1(у), т.е.
решение и является образом элемента у Е И1 при действии оператора А, 1 и определено однозначно. Из существования и правого, и левого обратных операторов следует, что (4.13) имеет и притом единственное решение, т.е. оператор А взаимно однозначный и имеет, согласно определению 4.3, обратный оператор А '. Пусть наряду с А, ' существует еще один левый обратный оператор В, т.е. А, ' о А = = В о А = 1у.
Тогда А, 1 о А о А ' = В о А о А 1, или А1 1 о 1м1 —— — 1 = В 01м1. Следовательно, А, = В, что доказывает единственность А, . Аналогично можно доказать единственность А„ -1 -1 Отметим, что если существует оператор А ', обратный к оператору А, то, согласно определению 4.3, оба эти оператора являются взаимно однозначными и уравнение Аи = у имеет единственное решение м = А 'у б Р. Существование оператора А, 1 не означает, что оператор А сюръективный, а существование оператора А, ' не означает, что оператор А инъективный. 4.2. Операторы в нормированных нространствах 151 Так как А ' и А, ' единственны, а А ' — оператор, одновременно и левый, и правый обратный к А, то А ' = А, ' = А, '.
м Пусть теперь са и И~ — нормированные функциональные пространства с нормами ]] ° [~д и ]~ ~]ьр соответственно, а область определения Р(А) оператора А: Р -ь Ж содержит проколотую о окрестность У точки ие (в этой точке оператор А может быть и не определен). Элемент хве б И~ называют пределом оператора А в точке ио, если для любого е > 0 найдется такое о = 5(е), что ь для любого и Е У при условии []и — ив~[и < о будет выполнено ![А(и) -тве)]1т < е. При этом пишут А(и)-+хоп при и — ьие. И' и Это определение соответствует понятию предела отображения метрических пространств Й и И/ с метриками, индуцированными нормами этих пространств.
Определение 4.5. Оператпор А:Р— + И~, где Р и РР— нормированные пространства, называют оеракичеккым, если он преобразует всякое ограниченное множество из своей области определения Р(А) =й во множество элементов, ограниченное в Ж. Определение 4.6. Оператпор А: И вЂ” ь И~, где Й и И~— нормированные пространства и Р(А) = й, называют кепрерывкым в тпочке ие б Р(А), если для любой окрестности 11' С Ж точки хое = А(ие) существует такая окрестность У С Р точки ие, что А(и) Е И' для любой точки и Е У (кратко пишут А(и) +А(ие) при и-+ио). Оператпор, непрерывный в каждой И точке ие Е Р(А), называют непрерывным. Эти определения соответствуют определениям непрерывности отображения в метрических пространствах [1]. Пример 4.7.
Покажем, что оператор А: С[0,1] — ь С[0,1], заданный правилом у= А(Д) <=Э 1р(х) = ~ (х), х Е [0,1], 152 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ является ограниченным и непрерывным. Действительно, если У вЂ” ограниченное множество в С(О, 1], то найдется такое число М > О, что для любых функций 1 Е Й справедливо неравенство )! [')! = 1пах ]/(х) ! < М. Тогда, если у = А(Т), Т Е П, то ]Щ = во [0,1) = щах ~1(х) < Мз, и множество А(й), состоящее из образов вя[0 1) всех элементов Т Ей, ограничено. Покажем, что оператор А является непрерывным.
В самом Деле, ДлЯ любых фУнкций 1, Уо Е С(0,1] имеем )[А(1") — А(10))! = п1ах ! 1'~(х) — Го(х)! = ве[0,1) = 1пах Щх) — Уо(х)]Щх) — [о(х)+2ТО(х)! < во[0,1) < щах )1(х) — 10(х))~+2]]Я щах Щх) — Ях)! = во[0,1) хо[0,1) = ])У- Уо)!'+2])уо)))]у- Уо)!. Если для произвольного числа г > О положить е 1+ 2[)УО)! ' то при условии ))г" — Я < б будет справедливо неравенство ]]А(1") — А(УО))! < г.
Согласно определению 4.6, оператор А является непрерывным. Прежде чем ввести следующий важный класс операторов в банаховых пространствах, дадим некоторые определения, связанные с компактными множествами в метрических (нормированных) пространствах. Определение 4.7, Множество Х с М, где М -- метрическое пространство, называют компактным в М, если из всякого бесконечного подмножества этого множества можно выделить последовательность, сходящуюся к некоторому элементу из Х. 4.2. Операторы в нормированных пространствах 153 Отметим, что это определение эквивалентно определению компактного множества в метрическом пространстве, введенному при помощи понятия открытого покрытия мноэкества [1).
Множестпво Х в метрическом пространстве М называют отпноснтпельно компактпным (или предкомиактпным) в М, если его замыкание Х компактно в М. Определение 4.8. Оператпор А: Й вЂ” > И~, где Й, Иl — нормированные пространства, называют вполне непрерывным, если он непрерывен в Й и преобразует любое ограниченное множество иэ Й в множество, относительно компактное в ти'. Иными словами, из любой ограниченной в Й последовательности можно выбрать иодиоследовательиость, которую вполне непрерывный оператор преобразует в сходящуюся к некоторому элементу из И/. Не всякий непрерывный оператор является вполне непрерывным. Так, тождественный оператор 1ц вполне непрерывен в нормированном пространстве Й лишь при условии, что пространство Й конечномерно.
В таком пространстве любое ограниченное множество относительно компактно [1Х]. Поэтому оператор йх является вполне непрерывным. В бесконечномерном нормированном пространстве Й этот оператор не будет вполне непрерывным, поскольку он преобразует единичный шар (ограниченное множество) в себя, а единичный шар не является относительно компактным в бесконечномерном пространстве. Это утверждение вытекает из следующей теоремы. Теорема 4.2.
Пусть последовательность (н„) образует линейно независимую систему элементов нормированного пространства Й, а Ʉ— подпространство, которое совпадает с линейной оболочкой системы элементов и;, 1 = 1, и. Тогда существует последовательность (ео) элементов о„ Е Й, удовлетворяющая условиям: 1) )[о„1[ = 1; 2) о„ЕЙ„; 3) р(о„,Й„1) = — 1пГ 'йо„— и[! > 1/2. мни„, 154 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ ~ Так как (и„1 — линейно независимая система в и, то и„(1 й и„ы н Е М, и, следовательно [1Х], р(и„,и„!) = 1пГ !)и„— ий' = а > О. «еи» В силу свойств точной нижней грани существует такой элемент и"„Е и„ы что а ( 'йи„— и'„(( ( 2а. (4.
14) По~кольку для любого элемента а Е и„! элемент и„'+ а с Е и„! (и„, — подпространство ви) и и„— а„' ~0 (и„фи» !, и„" е и„!), то р(и„,и !) = 1пГ ))и„— и'„— а)) = р(и„— и„,и 1). «ей»-~ Следовательно, р(а„— и„,и„!) = а. Очевидно, что элементы а! ૠ— и о! — — —, о»= " еи», в=23,..., )(иД )1и» вЂ” и'„")) удовлетворяют условиям 1 и 2 теоремы. Учитывая (4.14), проверим выполнение условия 3: и« вЂ” а„ р( „,и„,) =р~, ",,и„, ~~ .-к)' р(и„— а"„,и„~ ) а а 1 )!а„— и»)) ))и„— и„")) 2а 2' что завершает доказательство теоремы.
~ Таким образом, согласно теореме 4.2, в единичном шаре бесконечномерного нормированного пространства можно выбрать последовательность (с»), для которой р(е„,о„ ,) > 1/2, н = 2,3,..., и, значит, никакая ее подпосяедовательность не может быть сходящейся (не является фундаментальной). Следовательно, единичный шар в нормированном пространстве 4.3. Операторы в нормированных пространствах является относительно компактным множеством тогда и только тогда, когда зто пространство конечномерно. Прежде чем привести примеры вполне непрерывных операторов, сформулируем без доказательства" критерии относительной компактности множеств в некоторых нормированных пространствах. Теорема 4.3 (тлеорема Арт>ела**). Для того чтобы множество Х в С[а, 6! было относительно компактным, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: 1) множество Х должно быть равномерно оераннненным множестлвом функций, т.е, существует такое число М > О, что для каждой функции >о Е Х верно соотношение [>р(х) ! «< М, х Е [а,6); 2) множество Х должно быть равностлеленко нелрерь>иным множестлвом функ>>иб, т.е.
для всякого Е > О существует такое число б = Б(е) > О, что для любой функции >р б Х и любых точек х>, хз Е [а, 6), таких, что [х> — хз! < 6, верно неравенство [>р(х> ) — р[хз)! < с. Для нормированного пространства е р[а,6[ функций ~, для Ь которых конечен интеграл Лебега [ Щ1)!" й, р > 1, и норма О определена равенством [1Х[ Ь [[Л = 0[1)!'41 е справедлива следующая теорема, доказанная М. Риссом""". Теорема 4.4. Для относительной компактности в Ар[а,61 множества Х С 1 в[а,6[ функций необходимо и достаточно, чтобы были выполнены следующие условия: 'Доказательство смс Люстервих ХА., Соболев В.И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
