XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 25
Текст из файла (страница 25)
в силу теоремы 4.7 оператор А ограничен. 1н 1 -1 т Замечание 4.2. Из (4.26) и хода доказательства теоремы 4.16 следует, что при выполнении условия (4.29) для нормы обратного оператора справедлива оценка (4.30) Пример 4.16. Найдем решение интегрального уравнения 11 рода 1 и(1)+ с'~'и(в)г(в= го(1), С е [О, Ц, (4.31) о где и, го 6 С[0, 1) — непрерывные на отрезке [О, 1) неизвестная и заданная функции соответственно. Пусть функция и е С[0,1) является решением этого уравнения. Обозначим 4.5. Нормированное пространство линейных олераторов 181 Покажем, что число С(и) однозначно определено правой частью (4.31).
Подставляя функцию и(1) в (4.31), получаем тождество и(1) + С(и)е' = хо(1), 1 Е [О, 1]. (4.32) Умножим обе его части на функцию е' и проинтегрируем по отрезку [О, 1]: 1 1 1 | его(11 Ы + С(и) ег1 111 есиг(1) 111 Отсюда находим С(и) + (е — 1) = ~ е и1(е) Й, С(и) г 1 1 2 о или С(и) = — ~ е и1(е)Ю. е +1,4 о Подставив С(и) в (4.32), получим, что любое решение уравне- ния (4.31) однозначно определено его правой частью: 1(1) =ю(1)- — |ее+.,(е) Ь, СЕ [О, 1]. (4.33) ег+1 1 о Нетрудно проверить, что верно и обратное утверждение. Для любой непрерывной на отрезке [О, 1] функции ю(1) непрерывная функция и(1), определяемая равенством (4.33), является решением уравнения (4.31).
Заметим, чтолинейный ограниченный оператор А: С[0,1]-+ -1 С[0,1], определяемый в соответствии с (4.31) равенством Аи = и1, имеет линейный ограниченный обратный оператор 182 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОНЕРАТОРЫ А ': С[0,1]-+ С(0,1), определяемый в соответствии с (4.33) равенством А 'ю = и (линейность н ограниченность операторов А и А ' несложно проверить). Пусть А е Ь = с.(Р, И~) и В е С = Е(И~,У), где У, У, Ж— нормированные пространства. Композиция линейных операторов В 0 А сохраняет свойства линейности, поскольку для любых элементов и,п 6 1л' и любых чисел Л, и Е К (В о А) (Ли+ рп) = В(ЛАи + цАп) = Л(В я А) и+ р(В 0 А)п.
Дважды используя (4.26), для любого элемента и Е У получаем йВ 0 Аийц = )(В(Аи)((н < йВ()сгйАи)(и < йВ))с((А!!с~)и)(и. Вычисляя при 0и!)и < 1 точные верхние грани левой и правой частей этого выражения и учитывая (4.25), приходим к неравенству ))В 0 А(( < )(В)(с')(А((с (4.34) для нормы композиции операторов. Таким образом, композиция В 0 А является элементом нормированного пространства Е((л, У) линейных ограниченных операторов. Рассмотрим нормированное пространство Е(и) линейных ограниченных (а значит, согласно теореме 4.8, непрерывных) операторов, отображающих нормированное пространство (л в себя. Если Р— банахово пространство, т.е. с4 = 6, то в силу теоремы 4.10 с.(6) также является банаховым пространством.
В с.(6) наряду с операциями (4.24) сложения операторов и умножения оператора на число можно ввести операцию уммоаееммл оператпоров как нх композицию, отображающую 6 в себя. Пусть А, В е Е(6). Тогда по определению АВи = (А а В)и, и Е 6. В общем случае АВи ф ВАи, т.е. умножение операторов в с.(6) не обладает свойством коммутативности. 0 произведении АВ говорят, что оператор В умножен слева на А, или оператор А умножен справа на В.
Произведение операторов а.о. Нормированное пространство аинейныт операторов 183 А, В Е с.(В), будучи их композицией, ограничено, причем в со- ответствии с (4.34) имеем ((АВ() < ()А!)((В)( и ))ВА)) < )(В)!))А() (4.35) (здесь и далее норма (( )( определена в с.(В)). Таким образом, если А, В б с.(В), то и Ав, ВА б х,(В). Теорема 4.17. Если А„, В б Е(В), п Е г1, н 1пп А„= а Фсо = А Е !(В), !пп В„= В Е !(В), то а-+Ос (4.36) 1'пп А„В„= АВ.
и-еоо ~ Используя (4.1) и (4.35), запишем ОА„В„-АВО =)((АвВи-А„В)+(АоВ-АВ)й < <ОА„В„-А„ВО+ОА„В-АВй <(~Аой)~(В„-Вй+((В~~ йА„-АО. Теорема 4.18. Если А Е х.(В) и )ОАй < д < 1, то опеРатор ! — А Е с.(В) имеет обратный ограниченный оператор В = = (! — А) ', причем !Я< —, 1 (4,37) 4 В банаховом пространстве х,(В) рассмотрим ряд 7+А+Аз+Аз+ +А + ~~, А~ (438) я=о Поскольку последовательность (А„) операторов А„Е с.(В) сходится в банаховом пространстве Е(В), она ограничена.
Следовательно, числовая последовательность (((А„))) также ограничена. Так как ((А„— АО -+ О и Ов„— В(( -+ О при п -+ оо, то и ((А„ва — Ав(( -+ О при и -+ оо, что доказывает утверждение теоремы. В 184 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ В силу (4.35) и условия теоремы для произвольного Й Е М имеем '9АЯ)) < 8А)(" ( д". Ряд сходится при д < 1. Поэтому к некоторому элементу о' Е Е(В) сходится и ряд (4.38) (1Х). Для частичной суммы (4.39) 5„= !+А+А +А +...+А" ряда (4.38) находим (! А) !+ 1+ 12+ + Аи — А — А — ...— А" — А"+ = ! — А"+'.
Аналогично (! — А)5„= 1 — А "+'. Поскольку 9А"+')) < 9А))"+' < ( д"+~, д < 1, то йА"+'() -+ 0 при и -+ оо, а значит, А"+' стремится при п-+ос к нулевому оператору О е Е(8). Переходя в двух последних равенствах к пределу при и-+ оо, получаем л(! — А) = (! — А)Я = !. В силу теоремы 4.1 заключаем, что оператор ! — А имеет обратный оператор, причем (1 — А) =5 Из (4.39) с учетом (4.1) и формулы для суммы геометрической прогрессии следует )(5„)( < 1+()А((+ ()А(('+.
„+ )(А)!" = . (4.40) 1 — 9 А(!"+' Переходя в (4.40) к пределу при и -+ оо и учитывая, что йА)! < < д < 1, приходим к (4.37). В Пример 4.17. Рассмотрим интегральное уравнение П рода а(с) — А К(61)а(1) Й = У(0, и, ! Е С1а,б], (4.41) а 4.5. Нормированное пространство линейных операторов 185 где К(с,ь) — *дро этого иравиеитьл, являющееся функцией, непрерывной на декартовом произведении отрезка [а, 6] на себя, а Л ф 0 — ььаральеьтьр данного уравнении. Представим (4.41) в виде операторного уравнения (7 — А)и = [', где оператор А преобразует искомую функцию и(С) в функцию и(с) = Л К(с,ь)и(1)юй, а т.е. действует иэ С[а,6] в С[а,6], так как о(с) Е С[а,6]. Используя свойства определенного интеграла [Ъ~[], для функции и = Аи и любой точки С Е [а, 6] находим Ь Ь ~,я)1= л~е1сд яа~ <~м/)нас щ$ее < [Л[(6 — а) шах [К(с,С)! шах [и(с)!.
(4.42) 6,те[а,6] 46[а,6! Пусть д = [Л[(6 — а) шах ! К(С, 1) ! < 1. б ьв[о,ь! (4.43) Тогда с учетом (4.42) получим ][Аи]]с[о ь] = шах ]о(~)! < д шах ]н(~)! = Ч]]н][с[о,ь!. (я[а,ь! бе[а,6! Отсюда в соответствии с (4.43) и введением нормы оператора при помощи (4.19) следует, что []А[! < д < 1. Таким образом, согласно теореме 4.18, существует оператор 5, обратный к оператору 1 — А, т.е. рассматриваемое интегральное уравнение при выполнении условия (4.43) имеет единственное решение и' = 5~, причем в соответствии с (4.26) и (437) ![и'[!с[,ь] < []з[[[Яс[,,ь] < — !11][с[оь! где [[Дс[,,ь! = = гпах [Дс)!. 6Е[а,ь] 186 4.
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ 4.6. Спектр линейного оператора Рассмотрим оператпорное уравнение Аи — Ли = у, или (А — Л()и = К, и, У Е В, (4.44) где А — линейный оператор, отображающий линейное многообразие ь (А) бвнахова пространства В в В, а Л вЂ” некоторый числовой параметр. Соответствующее (4.44) однородное оператпориое уравнение Аи — Ли = О, или (А — Л!)и = О (4.45) всегда имеет тривиальное решение и = О. Пусть для некоторого фиксированного Л оператор А — Л1 имеет обратный (А — Л!) ' = Я1(А), называемый резольвектпным оператпором (или резолъвектпой оператпора А). Тогда для этого Л уравнение (4.44) имеет при любом у Е В единственное решение и = йл(А)~, а (4.45) — лишь тривиальное решение и = О. Если в этом случае оператор Нл(А) ограничен, то такое фиксированное Л называют рееуллрным значением оператпора А.
Если при фиксированном Л уравнение (4.45) помимо тривиального имеет решение й Е Р(А), й ф О, то такое Л называют собстпвенным значением (или характперистпическим числом), а й — соответствующим этому значению Л собстпвенным злементпом (или, в случае функниональных пространств, собстпвеккоб функцией) оператора А. Пусть Л и й 6 Р(А) — некоторое собственное значение оператора А и соответствующий этому Л собственный элемент, а (4.44) имеет при некотором у решение и', т.е.
Аи' — Ли' = у. Аи — Лй= О, Складывая почленно эти два соотношения, получаем А(й+и')— — Л(й+ и') = у, т.е. й+ и' также является решением (4.44). 187 4.6. Спектр лвнеймого оператора Отсюда видно, что уравнение (4.44) в случае собственного значения Л имеет несколько различных решений. Совокупность всех значений Л, не являющихся регулярными, называют спектпром оператпора А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
