XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 27
Текст из файла (страница 27)
пришли к противоречию, что доказывает теорему. Э Следствие 4.4. Число линейно независимых собственных элементов, отвечающих данному собственному значению Л ~ 0 вполне непрерывного оператора А Е Е1В), конечно. ~ Достаточно применить теорему 4.21 для б = —. ~ )Л) 2 Следствие 4.5. Для любого вполне непрерывного оператоРа А Е Ю)В) число собственных значений конечно или счетно. 194 4.
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Все собственные значения можно представить в виде конечной илн бесконечной последовательности 1Л„), причем 1собственные значения в этой последовательности повторяются столько раз, какова размерность собственного подпространства). Если [Л„) бесконечна, то Л„ -+ 0 при и -+ оо. ф Спектр вполне непрерывного линейного оператора в банаховом пространстве состоит только иэ точечного спектра и точки нуль, которая может принадлежать спектру любого вида. Это утверждение следует из теоремы, которую называют альтернатнивоб Фредголъма'. Теорема 4.22.
Пусть  — банахово пространство, А: В-+ — э  — линейный вполне непрерывный оператор и Л ф О. Тогда для операторных уравнений Аи — Ли = 1 и Аи — Ли = О имеет место одна нз следующих возможностей: 1) однородное уравнение иМеет только тривиальное решение, а Л является регулярным значением оператора А. В этом случае неоднородное уравнение для любого элемента у Е В имеет решение и = (А — Л1) ' у и притом единственное; 2) однородное уравнение имеет хотя бы одно нетривиальное решение. В этом случае неоднородное уравнение либо не имеет решения, либо имеет более одного.
Пример 4,21. Найдем спектр оператора А: С[0,1]-+С[0, 1], действующего по правилу ~р = А(и) Ф~ гр(1) = 1л и1в) сЬ, 1 Е [О, 1]. о Согласно выводам примеров 4.8 и 4.15, оператор А является вполне непрерывным линейным оператором. *Э.И. Фредгольм П866-1927) — шведский математик. 195 4.6. Спектр линейного оператора Если Л -6 0 является собственным значением оператора А, то существует отличное от нулевого решение и е С(0, Ц уравнения л и(л) 1Ь = Ли Я, 1 Е (О, Ц.
0 (4.51) Этим решением будет собственная функция, отвечающая Л и имеющая вид и(1) = — „, где а ~Е О, что следует из (4.51), если а1 обозначить 1 2 ()( о а1 Подставляя и(1) = — в последний интеграл, получаем уравнение относительно а и Л: 1 Х и(Ф)Й = О, о например, и(1) = 4й — 3. о Решая его, находим а(1 — — „) = О.
Так как а ф О, то Л = 1/4. 15 Если функцию и(1) = Х подставить в (4,51) при Л = 1/4, то получим верное тождество. Таким образом, единственное собственное значение оператора А, отличное от нуля, равно 1/4, а собственные функции, отвечающие этому значению, имеют вид С8, где С ф О, и вместе с нулевой функцией образуют одномерное подпространство в С(О,Ц. Следовательно, спектр оператора А состоит из двух значений 0 и 1/4, принадлежащих точечному спектру. Собственному значению Л = 0 отвечает любая ненулевая функция иИ), 1 Е (О, Ц, для которой !96 4, НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ 4.7, Пополнение нормированного пространства Если последовательность (и„) элементов баиахова пространства 0 такова, что любой элемент и Е Б можно единственным образом представить в виде сходящегося ряда то последовательность (и„) называют счетным базиса.и в В.
При этом равенство (4.52) называют разложением элемента и ио базису (и„), а коэффициенты а„в этом равенстве— координатами элемента и в данном базисе. Счетный базис является последовательностью линейно независимых элементов. Банахово пространство со счетным базисом сепарабельно (1Х), но не всякое сепарабельное пространство имеет счетный базис. Обсуждение математических моделеи физических процессов в части 1 показывает, что в этих моделях, как правило, приходится иметь дело с решением операторного уравнения вида Р(и) = у', (4.53) где Р— некоторый оператор в банаховом пространстве 6, и б 0(Р), У е Я(Р). На практике элементами банахова пространства являются функции и(х),определенные в некоторой области Р' С 1ь и удовлетворяющие краевым условиям на границе д$' этой области.
Большинство приближенных методов решения подобных уравнений основано на построении такой последовательности (й,ч), что (4.54) Прн этом изучают вопросы, имеет ли последовательность (йн) предел, принадлежит ли этот предел 0(Р) и является ли он решением уравнения Р(и) = у". 192 4.7. Пополнение нормированного пространства Учитывая (4.52), можно положить йк = ~~~ а„(Х)и„, а„(Ж) Е К, (4.55) где функции и„Е В, и = 1, Х, являют~я элементами счетного базиса (и„) в банаховом пространстве 6.
Если область определения 0(Р) оператора Р является подпространством и ин Е 0(Р), н Е Ы, то при выполнении условия (4.54) в некоторых случаях (см. 5.2) можно ожидать, что последовательность (йу~ будет сходиться к искомой функции ио Е 0(Р), удовлетворяющей (4.53). Но если и„1с О(Р), то и йм 1с 0(Р), так что выражение Р(йм) в (4.54) не будет определено. Поэтому следует использовать такие функции и„Е 0(Р), н Е Х, которые бы составляли счетный базис (и„) в 0(Р).
Однако 0(Р) может и не быть подпространством. Тогда последовательность (йч) С 0(Р) может сходиться к элементу и ф 0(Р), не являющемуся решением уравнения (4.53) в обычном смысле. Кроме того, (4.53) не имеет решения в 0(Р), если у Е В(Р), что характерно для прикладных задач. Эти трудности можно преодолеть, расширив понятие решен ия операторного уравнения. Такое решение, называемое обобияеккым в отличие от классическово решекия ио Е Е 0(Р), рассматривают в пространстве, получаемом расширением области 0(Р) определения оператора Р, пополняя ее некоторыми особыми элементами.
Напомним, что линейные пространства 0 и О~ называют изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение ~р: 0 -+ 0', что р(Ли + ро) = Лр(и) + а1р(в), Л,р Е Ж, и, и Е О. Такое отображение называют изоморфизмом этих пространств. Определение 4.10. нормированные простпракстпаа 0 и 0' называют иэомепзричкыми и говорят, что 0' изометрично 0 (и наоборот), если существует их изоморфизм р как 198 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА и ОПЕРАТОРЫ линейных пространств, удовлетворяющий условию ~~у(и)))р = = 11и11р, и б Р. При этом изоморфизм у называют изометраей.
Определение 4.11. Банахово пространство В называют пополнением нормированного простпранства Р, если существует линейное многообразие Р' С В, изометричное Р и являющееся множеством, всюду плогакым в В (Р' = В). Теорема 4.23, Любое нормированное пространство Р имеет некоторое пополнение В.
Любые два пополнения В1 и Вз нормированного пространства Р изометричны. М Две фундаментальные последовательности (и„) и (и'„) элементов из Р назовем эквивалентными и будем писать (и„) (и'„), если 1пп 11 и„— и'„11р = О. (4.56) Для отношения - из (4.56) следуют свойства рефленснвности ((и„) (и„), так как 11и„— и„'11р = 0), симметричности (если (и„) (и'„), то (и'„) (и„) в силу 11и„— и'„11р = 11и'„— и„11р) и транзнтнвностьс если (и„) (и'„) и (и'„) (и'„'), то (и„) (и"), так как из (4.1) имеем 0 < 11и„— и'„'11р = 11(и„— и'„)+ (и„' — и'„')11р < < 11и„— и'„11р+ 11и„— и„11р и после перехода в этом неравенстве к пределу при п -+ со получаем 1пп )~и„— и„"))р = О.
и-ФсЮ Следовательно, отношение является отношением эквивалентности. Поэтому множество всех фундаментальных последовательностей элементов из Р распадается на непересекающиеся подмножества, каждое из которых составляет некоторый жласс эквивалентности. Множество классов эквивалентности фундаментальных последовательностей из Р обозначим В и !99 4.7. Пололненне нормированного пространства 1пп ))е„— о„'))!з = О. (4.57) Используя (4.1), получаем О < 11(и„+ о„) — (и'„+ о„') )) !з = )! (и„— и'„) + (о„— е„') 11 р < < ))и„— и'„)(!з+ 1)о„— о'„)1р. Переходя в этом неравенстве к пределу при п-а оо и учитывая 14.56) и (4.57), имеем 1пп ))(и„+ о„) — (и,', + о,',)!)р = О, т.е. (и„+о„) (и'„+о„'), а значит, и (и'„+о„') Е й+о, что доказывает корректность определения в 8 операции сложения элементов.
Введем операцию умножения элементов из 8 на числа. Если последовательность (и„) Е й фундаментальна в Р, то легко проверить, что последовательность (Ли„), где Л б К, также фундаментальна в Р. Следовательно, она входит в некоторый класс эквивалентности, который обозначим Лй. Проверим, что определение этого класса корректно, т.е. оно не зависит от выбора последовательностей из класса й. Пусть (и„) (и'„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
