XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 24
Текст из файла (страница 24)
и-+со (4.27) Оператор А является линейным в силу линейности операторов А„и свойств предела в банаховых пространствах [1Х). Покажем, что он ограничен. Из неравенства (4.1) имеем )))А () — йА„)(! < 6А — А„й. ()(А„и)(>у — )(Аи))~т( < 6А„и — Ам!)ю, а из (4,27) следует, что йА„м — Ам))мг -+ 0 при п -+ оо. Таким образом, получаем ))Ам))~н < сйа))ц, т.е. оператор А ограничен и А б Е(П,Ю). Следовательно, числовая последовательность ('6А„Д фундаментальна и, значит, является сходящейся (1]. Поэтому ДА„(Ц ограничена, т.е. существует такое число с > О, что 6А„)! < с, и б г1. Отсюда, учитывая (4.26), имеем йА„ийм~ < сйм()ц.
Предел при и — > оо левой части этого неравенства равен йАи))уу, поскольку в соответствии с (4.1) 4.о. Нормированное пространство линейных операторов 175 Докажем, что оператор А является пределом последовательности (А„) в пространстве Е(Р,И~), т.е. ОА„— АО ~ 0 при и-+ оо. Выберем произвольное число е > О. Так как последовательность (Ао) является фундаментальной в Е(й,И~), то йА„— А 0 < е/2 для всех натуральных чисел а и т, превышающих некоторое число Х(е) Е М. Для произвольного элемента а ЕЙ н т,а > У имеем Й(А„— А )и))иг < )(А„— А й)(и))и < -))и))и. Так как ~!(А„— А )и — (А„— А)и(/1т = !/(А — А)и/(~к -+ 0 при т-+оо, то //(А„— А )и~(щ-+'й(А„— А)иЦ~щ при т-+оо. Поэтому, согласно теореме о предельном переходе в неравенстве (Ц, получаем ))(Ао — А)аймак < -((и)(и. Отсюда находим, 2 что ОА„— Ай = япр й(А„— А)и()ьк « — ' с.
Следовательно, йнйи<1 А„ -+ А при а -+ оо по норме в Е(Й,И'). Итак, любая фундаментальная последовательность (А„) элементов из Е(Р,И~) сходится к элементу этого пространства. Следовательно, Е(й, И~) является банаховым пространством. ~ Последовательность операторов (А„) С Е(П,И>) называют сходлщейсл аоточечио к оператору А, если для любой точки и Ей имеем А„и-+ Аи при а-+ оо по норме в И~. Отметим, что если последовательность операторов (А„) С Е(й, И~) сходится по норме пространства Е(И,И~) к некоторому оператору А е Е(св', И), те.
й А„— Ай -+ 0 при а -+ оо, то она сходится поточечно к оператору А. Действительно, согласно (4.26), йА„и — Аи((уу < ((А„— Ай()и)(ц-+О, а-~ос, и ЕИ. Обратное утверждение неверно. Например, рассмотрим последовательность операторов (А„) С,С(Р,И'), У = С10,1), И~ = И, причем А„и = и и(в)пв, и Е С[0,1], о 170 4.
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ В силу свойств интеграла с переменным верхним пределом [ЧЦ для любой функции и Е С[0, Ц имеем 1 Г 1]щ А„и = Вт и / и(о) сЬ= ]пп — / и(о) сЬ = 11 ~ОО " 31 ~ОО / — о1/ о о 8 И Г -й1/'()И(, = (О) о Определим оператор А: С[0,1) -+ И равенством Аи = и(0), и Е С[0,1). Нетрудно показать, что А Е х",(1/,И~). Последовательность (А„) сходится поточечно к оператору А, поскольку !пп А„и = и(0) = Аи, и б С[0,1). Однако последовательность (А„1 в данном случае не является сходящейся к оператору по норме пространства Е(1/,И~), т.е. ]пп []А„— А][ ~ О. Действия-+оо тельно, если 2 и л — 1, о Е [О, 1/и ]; и„(о) = 1, лб(1/и,1), то [[и„]] = щах )и„(о)) = 1, и при любом и б И ее[0,1] [[А„— А[[= еир [(А„— А)и[ > Ь]и<1 > ](А„— А)и„[ = и и„(о) Ио — и„(0) о =и (2и л — 1)<Ь+и ~ Но+1=2 — — > 1.
2 г Следовательно, оператор А не является пределом последова- тельности (А„) С,С(И, И/). 4.5. Нормироваииое пространство лииейиык операторов 177 Сформулируем один иэ основных принципов функционального анализа — крикт1ик рав колееркот1 оерокккеккостки. Теорема 4.11 (теорелаа Бакаиа — Шткеккеаузп ). Если последовательность (А„) операторов А„Е ь".(77,И7) ограничена в каждой точке и Е Й банахова пространства Р, т.е. 1и Е Р 3К„> 0 Чп Е Ы: йА„ий < К„, то числовая последовательность (ОА„)о норм этих операторов ограничена.
Доказательство этой теоремы можно найти, например, в учебнике Л.А. Люстерника и В.И. Соболева. Следствие 4.1. Если последовательность (А„) операторов А„ Е Е(ье,И7), где Р— банахово пространство, поточечно сходится к оператору А: й -ь И1,то последовательность (ОА„О) ограничена. М Так как А„к ~ Аи при и -+ оо, то ~1Х] !пп ((А„к)(1т = ~(Аи((1т, и Е И, 14.28) н числовая последовательность (ОА„иД ограничена для любого элемента и Е 74. Поэтому в силу теоремы 4.11 последовательность ('ОА„О) ограничена. ~ Теорема 4.12, Если 77 и И7 — банаховы пространства, а последовательность операторов А„Е ь".(77,И7) такова, что для каждого элемента к б Й последовательность (А„и) фундаментальна, то (А„) сходится поточечно к некоторому оператору А б Ю(и,И).
к Так как (А„к) — фундаментальная последовательность, а И' — банахово пространство, то для каждого и е Й существует ' Г. Штейвгауз 11887-1972) — польский математик. 178 4, НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ предел иг е Иг этой последовательности. Тем самым определен оператор А: И -'г Иг, где Аи = )1т А~и, и й й. В силу свойств предела и линейности операторов А„б С(й, Иг) оператор А линейный. Согласно следствию 4.1, последовательность (!)А„8) ограничена, т.е. найдется число М > О, такое, что )(А„и)(м < М()и)(гм и е ог', и е г1. Отсюда, переходя к пределу при и-+ос и учитывая, что в силу условия А„и — ~ Аи при и-+ оо справедливо (4.28), получаем 8Аи()м~ < Л4~(и)(ц, и 6 сг'. Следовательно, 1А„и1 сходится поточечно к оператору А й с.(ог', И').
~ Перейдем к изучению операторов, обратных к линейным ограниченным операторам. Обратный к линейному оператору А является также линейным оператором. Действительно, согласно (4.16), для любых чисел аы оз Е К А(о1и~+озиз) =сг1Аи~+ггзАиг, им из й О(А). Отсюда при ип = Аиы игз = Аиз и любых Дг, 11з й К с учетом определения 4.3 имеем А (Ачо1+Дзигз) = А ~(1УгАиг+13зАиз) = = А 'А(Ци1+/Ззиз) = Аи|+~3зиз = Д1А 'иг1 +рзА 'игз. Множество тех элементов и б 0(А) = ог', для которых Аи = = 0 й И~, называют ядром оператора А й х.(й, Иг) и обозначают 'кегА. Множество кегА не пусто, так как АО = О и 0 Е кегА.
Нетрудно показать, что множество кегА является линейным многообразием. Теорема 4.13. Для любого ограниченного линейного оператора А е г (И,И~) ядро кегА является подпрогтрапством. ~ Докажем, что множество кегА замкнуто в (е. Пусть и— предельная точка множества (гегА. Тогда существует последовательность (п„1 С )гегА, длЯ котоРой еп -+ п пРи и -+ оо. Так 4.5.
Нормированное пространство линейных олорвторов 179 как А — линейный ограниченный оператор, то, согласно теореме 4.8, он непрерывен. Следовательно, Ао„-+ Ао при п-+ оо, но Ао„= 0 Е Иг, и Е И, и, значит, Ао = О. Итак, о Е 'кегА. В силу произвольности предельной точки о многообразие кегА замкнуто и кегА — подпространство. ~ Теорема 4.14.,Линейный оператор А: И -+ И~, где й и Иг — линейные пространства и И(А) = Иг, взаимно однозначен тогда и только тогда, когда его ядро состоит лишь иэ нулевого элемента, т.е.
кег А = (О). М Пусть кегА = (О), но допустим, что существует элемент тв Е й(А), имеющий два прообраза и, и Е 0(А), таких что тв ~ о. Но тогда Аи = чв и Ао = ви. Отсюда следует, что А(гв — о) = = 0 Е Иг, т.е. существует отличный от нулевого элемент тв — о, принадлежащий хег А. Это противоречие доказывает взаимную однозначность оператора А при условии кегА = (0). Пусть теперь оператор А взаимно однозначен. Тогда любой элемент в И~ имеет только один прообраз. В частности, элемент 0 Е Иг имеет единственный прообраз 0 Е Р, т.е.
ядро кегА оператора А состоит из одного элемента, кегА = (0). а Замечание 4.1. Согласно теореме 4.14 и определению 4.3, для существования у линейного оператора А Е Е(сг', И'), й(А) = = Иг,обратного оператора А ' необходимо и достаточно, чтобы (гегА = (О). В функциональном анализе важное место занимает следующая теорема. Теорема 4.15 (тпеорелга Банаха об обрагпном операторе). Допустим, что гг' и И~ — банаховы пространства, а А Е Е(сг', Иг) — линейный ограниченный взаимно однозначный оператор, для которого 0(А) = ьг' и В(А) = Иг. Тогда обратный оператор А г ограничен. Доказательство теоремы можно найти, например, в учебнике А.Н. Колмогорова и С.В.
Фомина. Здесь докажем следующую теорему. 180 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Теорема 4.16. Пусть А 6 х.(о(,Ю) — линейный ограниченный оператор и И1 = Я(А). Тогда для существования и ограниченности в Ю оператора А 1, обратного к оператору А, необходимо н достаточно, чтобы для некоторой константы т > 0 для всех и Е й было выполнено неравенство [[Аи[[гт > т[[и[)гг.
(4.29) Необходимость. Пусть оператор А ' существует н ограничен в И~. Тогда в соответствии с (4.19) найдется такое читало с > О, что [[А ги[[н < с[(и[[1и, и 6 И'= В(А). Полагая и = = Аи и т = 1/с, приходим к (4.29). Достаточность. Пусть выполнено (4.29). Тогда Аи= =0 6 И1 возможнолишь при и =О ЕЙ, т е. кегА = (О). Поэтому, согласно замечанию 4.1, у оператора А существует обратный оператор А 1. Полагая в (4.29) и = А 1и, получаем ~[А 1о[[гг < < — [[о[~ги, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
