XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 22
Текст из файла (страница 22)
"Ч. Арцела (1847-1912) — итвльвиский математик. "" М. Рисс (1886-1969) — шведский математик, венгр цо иациоиавьиости. 156 4, НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ 1) множество Х ограничено в Ар[а, 6], т.е. существует такое число М >О, что )Я < М, ('бХ. 2) для всякого с > О найдется такое число б = 6(л) > О, что | ! г" (1+ Ь) — 1" (1) /" й < с а для всех чисел Ь, таких, что О < Ь < Б, и для всех У Е Х (считаем, что Д1) = О для всех 1 б ль '1 [а, 6]). Пример 4.8. Покажем, что в С[а,б] вполне непрерывным является оператор А: С[а, 6]-~ С[а,б], действующий по правилу у= А(У) 4=> у(1) = К(я,1Щл)пя, 1 Е [а, 6], а где К(л,1) — действительная функция двух переменных, непрерывная на замкнутом квадрате Р= [(я, 1) Е 1ьз: я,1б [а,б]).
Иэ свойств интегралов с параметрами [ЧЦ следует непрерывность оператора А. Докажем, что оператор А любое ограниченное множество в С[а,б] переводит в относительно компактное. Так как функция К(я,1) непрерывна на ограниченном замкнутом множестве Р С Кз, то она ограничена на этом множестве [Ч], т.е.
~К(я,1) ~ < С для всех точек (л,1) Е В, где С - — некоторое число. Пусть Х С С[а, 6] — произвольное ограниченное множество непрерывных функций. Тогда для некоторого числа й > О для всех У б Х верно неравенство [Щ[ = щах Щя)! < й. *в[а,ь) Если Р = А(1), Т' Е Х, то для всех 1 Е [а, 6] имеем [<Р(1)! < [К(л,1)[ п1ах Щя)[пл < СЯ(б — а) = М. *с~а,а) а Следовательно, условие 1 теоремы 4.3 выполнено и множество А(Х), состоящее иэ образов элементов множества Х, 4.2. Операторы в нормированных пространствах 167 равномерно ограничено.
Докажем равностепенную непрерыиность этого множества. Так как ограниченное и замкнутое множество Р С Е~ является компактным и Из, а функция К(п,ь) непрерывна на Р, то она равномерно непрерывна на множестие Р [Ц. Следовательно, для любого числа е ) О найдется такое число Б = Б(с) ) О, что ]К(в,сс) — К(л,ьз)] < ' для всех сс, 1з е [а, 6], для которых ]сс — 1з ~ < б, и для всех я б [а, 6]. Тогда для р = А(у), с Е Х, имеем ]р(ьс) — р(ьзН = К(л,ьс) йв) <1е — К(л,ья) 1(в) <1е < <~С<ь,<~ — к(.,ч)) «~ус<~<.< с „; а<*= ее[а,ь] „с В(6 — а) для всех 1с, сз Е [а, 6], таких, что [сс — сз ~ < б. Таким образом, множество А(Х) раиностепенно непрерыино. Услоиия 1 и 2 теоремы 4.3 для множества А(Х) выполнены и, следовательно, А(Х) — относительно компактное множество, а оператор А — вполне непрерывный. Пример 4.Э.
Покажем, что оператор А: Ел[а,б]-+ Аз[а,б], действующий по правилу с ср = А(с") ч=~ ср(1) = с"(х) Нх, 1 Е [а, 6], а вполне непрерывен. При любых функциях ус, 6 Е Ез[а,б] для срс —— А(1с) н срз —— А(Я имеем ь с с )[срс — соз]) = с<с (х) Их — ~з(х) Нх <<с<< ~~ и и и Ь с < ]ус(х) — Ях)/<Ь ссс. 158 4.
НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Применяя далее к внутреннему интегралу неравенство Коши— Буняковского для бег[а,Ь) [1Х], получаем Ь ».,--» =П«- Ф « — *»*»»* *)« а а Ь < з- »'/»ь»»-ь»*»»'г*=»»- »*»» -у»', а что и доказывает непрерывность оператора А. Докажем, что любое ограниченное в 62[а,6) множество оп переводит в относительно компактное. Пусть Х вЂ” произвольное ограниченное множество в /2[а,6), т.е. для некоторого числа С ) О для всех / Е Х справедливо неравенство 1/г ~Я = »/(х)»2»1х < С. а Если»р = А(/), /' Е Х, то имеем ))ф! = /(х)»1х й < а а ь ь 2 1/2 Ь < Щх))»»х»»ь = 1/Ь вЂ” а )/(х)»»»х. Применяя к последнему интегралу неравенство Коши — Буня- ковского, получаем 1/2 ЦЬ2Ц = (Ь вЂ” а) ~2[ Щх)~~дх) < С(Ь вЂ” а).
а Следовательно, множество А(Х) образов злементов множества Х ограничено в 12[а,Ь), т.е. выполнено условие 1 теоремы 4,4. 159 4ЛЬ Операторы в нормированных пространствах Пусть О < 6 < 6 и у = А(/), / Е Х. Тогда, вновь используя неравенство Коши — Буняковского, получаем Ь ь ьеь ь /~ ""'- ~'"=//"-/« ' "= а а а а ь ьел ь ььь /(х) Нх е(ь < )/(х))йх 61 < а а ь с+ь ь ь < 6 //(х))эИх еи < 6 )У(х) )эДх еО < (6 — п)Сэ)ь. а С Если для произвольного е > О выбирать 6 =,, то условие е са(ь — о) ' 2 теоремы 4.4 будет выполнено.
Согласно этой теореме, множество А(Х) является относительно компактным в Аз[а,6] и, следовательно, оператор А вполне непрерывен. 4 Пусть оператор Р отображает нормированное пространство Й в себя. Запись Р (и), т е Ы, означает, что оператор Р действует последовательно т раз: сначала на элемент и Е Й, затем на элемент Р(и), потом на Р(Р(и)) = Рэ(еь) и, наконец, на Р~ '(ть), т.е. Р = Р ь аР. Таким образом, определен новый оператор Р: Й -+Й, который называют еп-й сьтьетьенью оператора. В случае т = О полагают, что Ре = 3у.
Рассмотрим оператор Р: Й-+Й, удовлетворяющий для некоторого числа М > О условию ))Р(и) — Р(е)((ье < М))ть — е)(и, и, е е Й. Если это условие верно для некоторого числа М < 1, то оьтерптпор Р называют сзесимающила в Й, а число М вЂ” коэффициентеьом сэьсптиил. Для сжимающего оператора Р выполняется неравенство йР(ть) — Р(иДи < йть — е((м, и, е е Й, т.е.
расстояние между образами любых элементов (точек) из Й меньше 160 а ИОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА и ОпеРАтОРы расстояния между этими элементами. Элемент и' е Й, удовлетворяющий условию Р(м*) = и', называют иемодвижиоб тиочмоб оператпора Р в [[, т.е. при отображении Р образ неподвижной точки совпадает с этой точкой. Любой оператор имеет некоторое множество неподвижных точек, причем это множество может быть пустым. В полном нормированном пространстве сжимающий оператор имеет единственную неподвижную точку [Ц.
Пример 4.10. Докажем, что уравнение 1 о имеет единственное рещение в банаховом пространстве С[0, Ц. Для этого покажем, что оператор Р: С[0, Ц вЂ” ~ С[0, Ц, действующий по правилу ~р= РЯ Ф=Ф д(х) = х — ~, х б [О, Ц, У[д) ~[д х+ ьГ+д~ о является сжимающим в банаховом пространстве С[0, Ц. Для любых функций ~, д е С[0, Ц имеем 1 1 ][Р([)-Р(д)])= щах х — ( -х +у < г У[д)[д, ~ д[д)[д хе[од],[ х]-а+до .[ х+ 1+до о о 1 ,„1 [~(д) — д[д)] "д < *и[од]l х -].
/]1+ дэ о 1 ву < шах Щд) — д[д)[ щах / < ее[Од] хи[од]д х+ ~/1+ уэ о 1 < ]]У - д![ 1 = ][,[' — д[]]в[1+ ~/2). .[ ф+д о 161 4.3. Дииейвые операторы Так как М =!п(1+ ~/2) ( 1, то оператор Р является сжимающим в банаховом пространстве С[О,Ц и, следовательно, имеет одну неподвижную точку, т.е. (4.15) имеет единственное решение. 4.3.
Линейные операторы Перейдем к изучению линейных операторов в нормированных пространствах. Пусть й и Ю вЂ” нормированные пространства. Поскольку нормированное пространство является линейным, то для него остается в силе определение линейного оператора, действующего в линейном пространстве. Напомним, что если оператор А: й -> Ю линейный, то по определению А(Ли+ ре) = ЛАи+ рАп, и, е 6 й, Л, р Е !!ь, (4.16) и вместо (4.8) обычно пишут Аи = яо, яо Е Ю.
Область значений В(А) С И~ любого линейного оператора А: й -+ Ю является линейны.и многообразнем. Действительно, выберем произвольные ум уз Е В(А) и Л, р Е Е. Пусть е1 — прообраз у| и язв прообраз уз, т.е. Ах1 — — у1 и Ажз — — уг. Используя (4.16), получаем у = Лу~ + дуя — — ЛАж1+ рАжз = А(Ле1+,ижя). Поэтому у = Лу1 + руя 6 В(А), и в силу произвольного выбора уы уя и чисел Л, р заключаем, что В(А) — линейное многообразие. Линейный оператор А: й-+ И> отображает нулевой элемент О Ей в нулевой элемент О Е И~, т.е. АО= О.
Оператор О: й-+ -~ И~, отображающий любой элемент ж Е й в элемент О Е Ю, называют пулевым. Теорема 4.6. Линейный оператор А: й-+ И~, где й н И— нормированные пространства и Р(А) = й, непрерывен в любой точке ио Е Р(А), если он непрерывен в точке О Е й. 162 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА и ОПЕРАТОРЫ ~ Пусть и + ие в нормированном пространстве Ы.
Тогда е = = и — ио — ~ 0 6 Ы. Поскольку оператор А: И -1 И1 непрерывен в точке О, то, согласно определению 4.6, Ае -+ 0 6 И1 при е -+ О, и, следовательно, А(и — ио) -1 0 при и — ~ ио В силу линейности оператора А имеем А(и — ие) = Аи — Аие, т.е. Аи — Аие -+ 0 при и -+ ио, или Аи + Аие при и -+ ие, что, согласно определению 4.6, доказывает утверждение теоремы. ~ Рассмотрим свойства ограниченного линейного оператора.
Теорема 4.6. Линейный оператор А: й -~ И1, где й и И1— нормированные пространства, является ограниченным тогда и только тогда, когда он ограничен на единичном за.кккутаок шаре ЩО, 1) = (и 6 й: Оийи < 1) (4.17) с центром в точке 0 6 Й, т.е. если существует такое число М > О, что '8Аий~д < М, и 6 О(0,1). (4.18) ~ Если линейный оператор А является ограниченным, то, очевидно, он ограничен на шаре ЦО, 1) (см. определение 4.5). Если же выполнено (4.18), а Х С й — произвольное ограниченное множество, то Х С ЦО, й) = (и Е й: ))и()11 < Н) для некоторого 1 числа В > О. Для любого элемента и 6 Х имеем — и 6 Ц0,1), а значит, $$АиЦ1т = !/НА( — и) $! = Й/!А( — и) !/ < КМ.
Таким образом, оператор А является ограниченным. ~ Отметим, что если оператор А не является линейным, то (4.18) нельзя использовать в качестве критерия ограниченности этого оператора. Теорема 4,7. Линейный оператор А: й — 1 И1, где й, И1— нормированные пространства, является ограниченным тогда и 163 4.3. Лннейные операторы только тогда, когда (4.19) 11Аи111 <М11и11и, и~и, где М > Π— некоторое число. ~ Согласно теореме 4.6, оператор А ограничен тогда и только тогда, когда он ограничен на единичном шаре (4.17).
Поэтому докажем эквивалентность утверждений (4.18) и (4.19). При и=О ЕЫ имеем Аи= 0 6 И', так что выполнение (4.18) и (4,19) очевидно. Пусть и~ 0 и выполнено (4.18). Положим е = иДи11м. Тогда 11и11ы = 1, и поэтому в соответствии с (4.18) 11Ае11то < М, или, учитывая линейность оператора и однородность нормы (см. 4.1, аксиома 2 нормы), имеем 11Ае111т =11А( )11 =11 11 = < м. Отсюда следует (4.19). Обратно, если верно (4.19), то прн 11и11ы < 1 из (4А9) следует (4.18). ~ь Теорема 4.8.
Линейный оператор А: й — ~ И', где й, И~— нормированные пространства, непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. м Пусть А непрерывен. Допустим, что он неограничен. Тогда множество элементов Аи Е И~, где и Е 11(0,1), 1)(0,1) С Ы— единичный замкнутый шар с центром в точке О, неограничено. Поэтому в силу отрицания условия (4.18) для любого п Е г1 существует такой элемент и„ЕУ, 11и„110 < 1, что 11Аи„11~у > п, Отсюда для элемента и„= и„/п имеем как 11Аип11~т = ~~-Аи„~~ = — 11Аи„11~т > 1, так и 11е„11ы = — 11и„11р < —. Тогда 11е„11 — >0 при п — е со, и в силу 1 1 непрерывности оператора А имеем 11Ан„111т — ~ 0 прн и — > оо, что 164 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ противоречит неравенству !!Аи„!(~т > 1, и 6 1ч.
Это доказывает, что непрерывный оператор ограничен. Пусть теперь А ограничен. Тогда, согласно теореме 4.7, справедливо неравенство (4.19). Следовательно, если ((и((д -+ О, то и ((Аи!(м~ — э О, а это равносильно тому, что Аи-+ О при и-~ О, И' У т.е., согласно определению 4.6, оператор А непрерывен в точке О 6 74 и поэтому в силу теоремы 4.5 непрерывен. ~ 4.4. Линейные ограниченные функционалы Рассмотрим важный частный случай линейного оператора. Определение 4.9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
