XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Применяя к первому уравнению (3,83) операцию дивергенции и учитывая, что Ч(Ч х у) = = 0 для любой дважды диффереицируемой векторной функции а(чн) у, имеем = О. Из второго уравнения (3,83) следует, ан, что — = О, где Н1 — проекция вектора Н на ось Охс. ах д О Следовательно, ' = О, т.е. Н1 — сопвС. Примем Н1 —— О, а дсдх1 122 а мАтемАтические мОдели некОтОРых сРед проекцию вектора Н на направление, перпендикулярное оси Охи обозначим Н. Тогда (Н%')Н = О и (Но7)о = О, а вместо (3.79) и (3.84) с учетом уравнения состояния р = р(р) получим систему трех уравнений др дро о(о д г ро я~ дН диН вЂ” + —, = О, р — + —,~р(р)+ — Н ) = О, — + — = О дЕ дх1 ' й дх~ (, 2 ) ' д1 дх1 относительно трех искомых величин р, о и Н.
Дополнение 3.1. Поверхности разрыва в электромагнитном поле О„оБ= р,Н; оо оо о7.Вооо' = В„оо5 = О, "о во Едх = — — "оьз, Ьо ло Нйх= / — "сБ+ / 7(')о(я, о" доо до (3.85) где Ьо и Вг, — замкнутый контур и натянутая на него поверхность; $"о и Яо — объем и ограничивающая его поверхность (все они неподвижны относительно выбранной системы координат); х — радиус-вектор точки М Е Ьо в этой системе координат; Е и Н вЂ” векторы напряженности злектрического и магнитного полей соответственно; р, — объемная плотность злектрического заряда. Нижний индекс п обозначает проекцию на направление единичного вектора оо внешней нормали к В или нормали Используя 4ормулу Остроградского — Гаусса и теорему Стокса, уравнения Максвелла в некоторой инерциальной системе координат можно представить в интегральной форме: д.знь поверхности раэрыва в электромагнитном поле 123 к Я~ векторов Р, В и у(') электрического смешения, магнитной индукции и плотности тока соответственно (нормаль к 5ь выбрана так, что наблюдаемый с ее стороны обход контура 7, осушествляется против хода часовой стрелки).
К уравнениям (3.85) следует добавить закон сохранения заряда в интегральной форме (см. 2.3) (е),~~ 7(е) Р",~У (3.86) д,() [у(')и"]+ =О на о', де (3.87) где рв — поверхностная плотность зарядов, расположенных (е) на о* в окрестности точки М" 6 5*, а символ [ ] обозначает скачок значений функции при переходе в точке М* Е Я через поверхность Ь' в направлении, противоположном единичному вектору п'(М*) к этой поверхности. Аналогично, используя рассмотренную выше (см.
2,2) процедуру, из (3.85) в сопутствуюшей для точки М' б Я' системе координат находим [Рп'] = р ', [Вп'] = О. (3.88) где 1 — интенсивность объемных источников электрического (е) заряда. Так как (3.58) справедливы для среды, неподвижной относительно выбранной системы координат, то применение (3.85) также ограничено этим случаем. Пусть М' 6 Я' С $'е — некоторая точка на поверхности Я' сильного разрыва относительно функций, входящих в (3.85)-(3.86). Условие (2.48) на поверхности разрыва, которое следует из закона сохранения заряда в движущейся среде, установлено выше (см.
2.3). В данном случае для среды, неподвижной относительно сопутствуюи(ей системы координат, с учетом равенства у(') = пЕ вместо (2.48) получаем 124 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД Проведем к поверхности 5' касательную в точке М" б Я" в направлении единичного вектора Ф* и выберем в качестве поверхности Яь участок плоскости, содержащей векторы п' н $" и ограниченной прямоугольным контуром Ьв протяженностью 26 в направлении единичного вектора и" (рис.
3.6). Обход этого контура против хода часовой стрелки будет соответствовать условию, что векторы и', Ф и единичный вектор п нормали к Бь образуют правую тройку некомплвнарных векторов, т.е. п = и' х Ф*. Рис. 3.6 При Ь -+ О интегралы по Яь в (3.85) также стремятся к нулю, и при последующем стягивании контура Ьв в точку М' для произвольного направления касательного вектора Ф", перпендикулярного вектору и' в точке М' 6 5*, при отсутствии поверхностных токов получаем [ЕФ") = О, (Нй'] = О. (3.89) Еще раз подчеркнем, что условия (3.87) — (3.89) справедливы в случае неподвижной относительно сопутствующей для точки М' 6 о' системы координат.
При сравнительно медленном относительно зтой системы координат движении среды векторы, входящие в (3.87)-(3.89), можно преобразовать в соответствии с (3.77). Если векторы скорости среды на обеих сторонах поверхности о' перпендикулярны 5" в точке М' Е о, то из (3,77) Д.э.2. Примеры эадач, описываемых интеграаьными уравнениями 125 следует, что условия (3.88) не изменятся, а если эти векторы касательны к о' в этой точке, то не изменятся условия (3.87) и (3.89).
Установленные условия на поверхности разрыва дают полезную информацию для корректной формулировки граничных условий при решении задач математической физики в областях непрерывного изменения искомых функций и их производных. В частности, из (3.87) — (3.89) следует, что при решении уравнений Максвелла в дифференциальной форме (3.58) в сочетании с локальной формой (2.46) закона сохранения электрического заряда можно задать на границе области проекции векторов 1л, .8, у1е1 на нормаль к этой границе и проекции векторов Е и Н на направление касательной к ней.
Дополнение 3.2. Примеры задач, описываемых интегральными уравнениями Математические модели ряда физических процессов могут содержать не только дифференциальные уравнения с частными производными, но и иняпеграяьные и инепегро-дифференциа яьные уравнения, в которых искомые функции (а иногда и их производные) входят и под знак интеграла. Характерным примером интегрального уравнения является интегральная формула Грина, содержащая обьемный потенциал и потенциалы простого и двойного слоя, которой удовлетворяет решение задачи для дифференциального уравнения Пуассона [ХП].
В некоторых случаях математическая формулировка задачи в виде интегрального уравнения оказывается более простой и может быстрее привести к цели, нежели использование соответствующих дифференциальных уравнений. Пример 3.4. Вернемся к системе металлических тел, рассмотренной в примере 3.2. Возможен иной подход к построению математической модели такой системы. 126 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД Из физикн известно, что, согласно закону Кулона', неподвижный точечный электрический заряд о, находящийся в точке М' б ль с радиус-вектором х', определяющим положение этой точки относительно яа- х чала прямоугольной системы коорРис. 3.7 Динат Ох1хзхз (Рис. 3.7), созДает в точке М б як~ с радиус-вектором х электростатическое поле с вектором напряженности о х — х Е(х) =— 4неео )х — х'(з и потенциалом Цх) =— д 4яесо (х — х'( где е — диэлектрическая проницаемость среды; ео — электрическая постоянная (см. 3.5).
Заменим д зарядом р,(х') Иу'(х') в элементарном объеме с(К(х') в окрестности точки с радиус-вектором х', находящейся в некоторой области $', ограниченной замкнутой поверхностью 5, или зарядом рл (х') с15(х') на элементарной площадке оЯ(х'), где р, и рл — объемная и поверхностная плотности электрического заряда. Тогда, суммируя действие таких зарядов и полагая е = сопя$, получаем 1р,(~')6К(х') 1 1 р",(~)~~( ) 4неео,7 (х — х'( 4неео / В соответствии с граничными условиями (3.66) значения Г в точках Р„б 5; и Р 6 Яо поверхности Я = Я. 1.1 Яо, ограничивающей область Ь', заключенную между металлическими телами (см.
рис. 3.3), заданы. Приравнивая этим значениям левую часть (3.90), приходим к интегральному уравнению 'Ш.О.Кулон (1736 — 1866) — французский инженер н физик. Д.З.2. Примеры задач, описываемых интегральными уравиеиивыи 127 относительно неизвестной поверхностнои плотности рл элек- (е) трического заряда в точках поверхности Я. После решения этого уравнения из (3.90) можно найти потенциал Цж) электростатического поля в любой точке М Е У с радиус-вектором ж, а при помощи (3.68) вычислить электрический заряд Я внутреннего металлического тела.
Пример 3.4 иллюстрирует возможность свести математическую формулировку задачи, содержащую одно или несколько дифференциальных уравнений, к интегральному уравнению. Приведем примеры задач, интегральная формулировка которых следует непосредственно из их физической постановки. Пример 3.5. Рассмотрим замкнутую тонкостенную оболочку с поверхностью 5 (рис. 3.8), в полости которой находится диатермичная среда, т.е. среда, полностью прозрачная для теплового излучения. Извне оболочка поглощает тепловой поток с заданной плотностью д(М), М Е Я, а внутри оболочки происходит лучистый теплообмен между ее отдельными участками.
Построим математическую модель такого процесса переноса тепловой энергии. й(м( Рис. 3.8 Выделим в окрестности точки М Е 5 участок оболочки с площадью дЬ'(М) внутренней поверхности и составим для этого участка уравнение баланса тепловой энергии. Примем, что по толщине оболочки температура Т(М) однородна. Согласно за- 128 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД кону Стефана — Больцмана' теплового излучения, внутренняя и внешняя поверхности рассматриваемого участка излучают тепловые потоки плотностью д(М) = я(М)ссоТ4(М) и д'(М) = = б*(М)аоТ4(М) соответственно, где г(М) и с'(М) — коэффициенты излучения этих поверхностей, а ое = 5,67 10 Вт мз .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
