XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 14
Текст из файла (страница 14)
В соотношениях Коши (3.30) компоненты тензора деформаций предполагают малыми по сравнению с единицей. Поэтому изменение плотности р твердого тела также мало и при использовании (3.35) уравнение неразрывности можно не рассматривать, положив р р' = сопя1. При малых деформациях перемещения, скорости и ускорения частиц тела могут быть, вообще говоря, значительными. Однако на практике часто встречаются задачи, в которых малы и эти величины. Тогда в (3.35) левую часть заменяют на называемые модулем упругости, равным отношению аы/еы нормального напряжения а11 при растяжении образца матери- ала тела вдоль оси Ох1 к соответствующему удлинению сы, и коэффициентом Пуассона, равным взятому с обратным зна- ком отношению езз/е11 удлинений также при растяжении вдоль этой оси соответственно.
После подстановки (3.30) в (3.31) и затем в уравнения дви- жения (2.85), полагая линейно упругое тело однородным, т.е. константы Ламе не зависящими от координат, получаем век- торную форму уравнении Ламе р — = Ь+(Л+р)~7(~7м) +1ьчу и, Ио 2 Й (3.35) 100 3.
мйтемйтические мОдели некОтОРых сРед о~ в Р' — и получают уравнение относительно единственной неиздд вестной функции и = и(1,а): дзи Ь Л+й Й вЂ” = — + Ч(Чи) + — %' и. (3.36) д12,о Ро о Учитывая, что Чзи = Ч(~7и) — ~7 х (~7 х и) (ЧП], это уравнение можно записать в следующем виде: — = — + Ч(~7и) — — '7 х ("7 х и). (3.37) дзи Ь Л+2~ р д12 о Ро о Помимо (3.36) или (3.37) в формулировку задачи должны входить векторные поля начальных перемещения и скорости, а на границах тела должны быть заданы векторы перемещения илн напряжения. Любое векторное поле в односвязной области можно представить как сумму потенциального и соленоидального векторных полей (ЧП), т.е.
Ь и=и +и.= ~7Ф+Ч х1и, — =Чф+'7х В, (3.38) Ро где ф, ф и те,  — скалярные и векторные потенциалы полей перемещений и и массовых сил Ь/р' соответственно, и* = Чф и и, = ~7 х и~. Подставляя (3.38) в (3.37), получаем дзЧ7Ф дз~7 х ы — + дгз дгз = ~7ф + 17 х В+ + Ч(Ч Ф) — — С х(Чх(С~х )), Л+2ц и Р Р' или, считая а1 = (Л+ 2Й)/р' н а~з = й/р' константами, ~7( — — а т7 ф — ф) + дзф ~ д1' для + Ч х ~ — — аз~Ч х ('7 х яп) — В) = О, (3.39) где 0 — нулевой вектор. 3.3.
Упругое твердое тело Если теперь к (3.39) применить операцию дивергенции и учесть, что ~7(У х 7) = О для любой дважды непрерывно дифференцируемой векторной функции у, то получим = У( — — а,У и' — ~7Ф) = ~7С1 —— О. у дги' дР Так как ~7 х и' = х7 х (~7Ф) = О, то и ~7 х С~ — — О. Известно (У1Ц, что если в некоторой области дивергенция и ротор некоторого вектора являются нулевыми, то этот вектор в данной области тождественно постоянен. Обозначая С1 —— = ~7Н, где Н вЂ” некоторая гармоническая ууннпия, для которой ~72Н = О, приходим к неоднородному волновому уравнению дги = аг~У и +'7(Ф+ Н), дег описывающему распространение со скоростью а~ волн, сопровождаемых растяжением н сжатием среды, но не вызывающих в силу '7 х и* = ~7 х (17Ф) = О изменения формы ее элементарного объема.
Если же применить операцию ротора к (3.36) н учесть, что (Л+р)/р'=сопя~, а У х (У7) =О для любой дважды непрерывно днфференцнруемой действительной функции 7", то будем иметь ~7 х ~ — аг ч (и*+ и„) — ~7Ф вЂ” ~7 х В) = уд (и +и*) 2 г дР 2 = У х ( — — аг ~7 и„— '7 х В) = О. /ди. г 2 дсг Выполнение этого равенства можно обеспечить, если положить д2и *=а'У и„+УхВ. дР 102 3.
МА ТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД Таким образом, пришли к неоднородному волновому уравнению, описывающему распространение со скоростью аз волн сдвига, не вызывающих в силу '7и. = ~7(~7 х чо) = 0 изменения элементарного объема среды, но изменяющих его форму. Отметим, что в установившемся состоянии, когда перемещения не зависят от времени, из (3.36) следует векторное уровнение тпеории упругости в перемеилениях 1 Ь ~ли+ ~79+ — = О. 1 — 2м (3.40) В проекциях на оси Ох; оно переходит в уравнения 1 для Ь; Ч~к;+ — + — ' = О, 1 = 1, 2, 3.
(3.41) 1 — 2идх, р 7~ля+ ь Ь= О. 2И(1 — и) Отсюда следует, что при отсутствии объемных сил объемная деформация и в соответствии с (3.32) среднее напряжение являются гармоническими функциями. В этом случае, используя (3.41), получаем трехмерное бигармоническое уравнение ~уз(~7эи;) = О, 1= 1,2,3, т.е. проекции перемещений являются бигармонпчсскцми функциями. Так как в соответствии с соотношениями Коши (3.30) и обобщенным законом Гука (3.31) компоненты тензоров деформаций и напряжений являются линейными комбинациями производных перемещений, то эти компоненты при отсутствии объемных сил также будут бигармоническими функциями.
полученные в 1821 году А. Навье для частного случая Л = р, что соответствует и = 1/4, а в 1828 году О. Коши для общего случая. Применяя к (3.40) операцию дивергенции и учитывая, что 1э = '7и, получим 133 ЛА. Уравнение переноса энергии в среде 3.4. Уравнение переноса энергии в среде Рассмотренные выше (см. 3.1 — 3.3) модели идеальной жидкости, вязкой жидкости (газа) и линейно упругого твердого тела позволяют формулировать задачи математической физики в тех случаях, когда поведение среды не связано существенно с теплофизическими и электромагнитными явлениями. Необходимость учитывать влияние теплофизических явлений при постановке задач математической физики вызвана прежде всего тем, что процессы в реальной среде часто сопровождает преобразование одного вида энергии в другой.
Это приводит к изменению температуры, от которой могут существенно зависеть свойства среды. Изучение процелсов преобразования энергии требует привлечения сведений из термодинамики. Здесь мы ограничимся лишь рассмотрением уравнения переноса энергии. Из закона сохранения энергии следует, что скорость изменения полной энергии Е любого тела равна подводимой к нему мощности от внешних источников энергии. Пусть тело имеет изменяющийся во времени 1 объем $'(1), ограниченный подвижной поверхностью Я (см. рис. 1.1), точки которой перемещаются вместе с частицами тела. Поле скорости частиц тела описывает векторная функция о = н(1, М) времени и координат х;, 1= 1, 2, 3, точки М Е Из в прямоугольной системе координат Ох1хзхз с ортами е„а распределение в н' плотности среды— функция р = р(1, М).
Обьеиную плотность г энергии среды в 1с(1) представим как сумму объемных плотностей ро~/2 и ри кинетической и внутренней энергий соответственно, где и = и(1, М) — внутренняя энергия единицы массы среды. Тогда полная энергия тела будет (3.42) Ъ'(~) 104 3.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД Заменяя в (2.6) С на из/2+ и, имеем йЕ ~~ )' гия ~ /' й'(из(2+ и) й Й,/ 2 Ю) ъ'(е) Мощность, подводимая от внешних источников энергии, включает совершаемую в единицу времени работу (3.44) ЪУ = ЬиИУ+ ри <Б г(с) Я объемных Ь и поверхностных р сил, поток энергии д , (Е)п,~6 (3.45) передаваемый через поверхность 5 (6 (е) — вектор плотности потока энергии, и — е — диничный вектор внешней нормали к этой поверхности), и количество полной энергии а = )' ЛУ, (Е) (3.46) выделенное в объеме Ъ' в единицу вр емени источниками г объемиой мощностью ! .
Тогда в у (Е) в сил закона сохранения энергии имеем — = ЪУ+ Ял+ Щ, откуда, учитывая (3.43)- 4) (3.46), получаем (") +") ( = ~ — "(У+ 1 —" к(~) Г Ъ'(с) 1 (с) — ЬиЙУ+ рипо' — д( )пЙЯ+ 1к( )йУ. (3.47) и Ь'(~) л Я 105 ЗА, Уравнение переноса энергии в среде Приняв во внимание (2.81), запишем с учетом правила суммирования по повторясосцимся индексам с, с' = 1, 2, 3 ро = рсе,о = и,о,чн; = ото;е пс, где сг; . -- компоненты тензора напрлзкений. Тогда, применяя формулу Остроградского — 1'аусса, получаем | рюНЯ= оэсосе,.пЙЯ= л у ссс(о;,осей) Лс' =, ' ' с(К (3.48) дх, У(с) у(с) Используя ту же формулу, имеем (3.49] у(с) Умножив второе уравнение (2.88) скалярно на вектор о и проинтегрировав результат по объему $'(с), запишем | ро — с(Г = 1 ЬосВ'+ 1 —,Ро,с((с'.
(3.50) Й 1 ,1 дх, У(') У(с) с (с) Подставляя (3.48) — (3.50) в (3.47), находим Г (р — + (7с1( ) — 1(, — о.;с, ' ) с(1' = О. (3.51) у(с) Используя представление (3.15) компонентов С, тензора скоростей деформас(ий, получаем 106 3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕКОТОРЫХ СРЕД Отсюда с учетом пра,вила суммирования по повторяющимся индексам и симметрии тензора напряженнй (о; = и;) находим де, пН вЂ” ' = о;Я,, поскольку а~, /до; до ~ до; дсч Таким образом, вместо (3,51) приходим к интегральной форме закона сохранения энергии в объеме Ъ': В случае непрерывности подынтеграл ьной функции в (3.52) рассуждения, аналогичные проведенным при получении (2.2) и (2.3), приводят к локальной форме этого закона, представляющей собой уравнение переноса энергии р — = АД вЂ” ~д(~)+!к ), (,у =1,2,3. (3.53) .(( 3 э Наличие в правой части (3.53) слагаемого иДм, характеризующего объемную мощность источников энергии, связанных с работой напряжений, заставляет в общем случае рассматривать зто уравнение вместе с уравнением переноса количества движения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
