XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В частности, все собственные значения принадлежат спектру. Действительно, если Л вЂ” собственное значение оператора А, то ядро оператора А — Л1 содержит наряду с нулевым элементом 0 е П(А) по крайней мере один собственный элемент й Е В(А), соответствующий этому собственному значению, т.е. кег(А — Л1) ф (О). Но тогда, согласно теореме 4.14, не существует оператора, обратного к оператору А — Л1, и Л не является регулярным значением оператора А. Отметим, что в конечномерном банаховом пространстве спектр любого линейного оператора состоит только из собственных значений. Если линейный оператор А определен в бесконечномерном банаховом пространстве, то его спектр может включать: 1) тпокечкыб спектр, состоящий из множества собственных значений оператора А; 2) кепрерывкык спекпзр, содержащий те значения Л, для которых на множестве У С В значений оператора А — Л1 определен обратный оператор (А — Л1) ', причем У ф В, но замыкание У=В; 3) оспзапзочкый спектпр, состоящий из тех значений Л, для которых оператор (А — Л1) ' определен на множестве УСВ, причем УфВ.
В случаях 2 и 3 оператор (А — Л1) ' может быть неограниченным. Таким образом, спектр линейного оператора является объединением трех непересекающихся множеств: точечного, непрерывного и остаточного спектров. Теорема 4.19. Если А — линейный ограниченный оператор в банаховом пространстве В и !Л) > ЙАЙ, то Л вЂ” регулярное значение оператора А. 188 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ < Из условия теоремы ясно, что Л ф 0 и — = е < 1. Оператор !1Ч )Л! А — Л1 = -Л(1- — ~ в силу теоремы 4А8 имеет обратный АЛ л1 ограниченный оператор и при этом 1 л А Аз Аз Н,(А) =--(1+ — + — + — +...1, (4Аб) Л (, Л Лз Лз /' что доказывает утверждение теоремы. ~ Следствие 4.2.
Если А Е с,(В) и Л вЂ” точка спектра оператора А, то )Л! < 1(Ай, т.е. точки спектра оператора А принадлежат кругу радиуса ЙАЙ с центром в нуле. Теорема 4.20. Регулярные значения линейного ограниченного оператора А Е Е(В), действующего в банаховом пространстве В, образуют открытое числовое множество. < Если Л вЂ” регулярное значение оператора А, то существует ограниченный резольвентный оператор Вл(А) = (А — Л1) определенный на всем банаховом пространстве В. Пусть |ЬЛ~ < < (ййл(А))0 .
Рассмотрим оператор А — (Л+ ЬЛ)1, записав его в виде А — Л1 — ЬЛ(А — Л1) Ял(А) = (А — Л1)(1 — ЬЛйл(А)). Для того чтобы существовал ограниченный обратный оператор (А — (Л+ ЬЛ)1), достаточно, чтобы существовал ограниченный обратный оператор (1 — ЬЛВл(А)) . Согласно теореме 4.18, ограниченный обратный оператор (1 — ЬЛй~(А)) существует, поскольку из условия )ЬЛ) < 0)йл(А)й) следует, что ()ЬЛйл(А))) < 1. Таким образом, вместе с Л совокупность регулярных значений оператора А включает окрестность Л радиуса (ййл(А)й), т.е. совокупность регулярных значений— открытое числовое множество, Э 189 4,б. Спектр линейного оператора Следствие 4.3. Спектр линейного ограниченного оператора А Е Е(Б), действующего в банаховом пространстве 8, является замкнутым числовым множеством. м Спектр оператора А Е л,(В) является дополнением множества регулярных значений, которое, согласно теореме 4.20, открыто в Ж или в С.
Дополнение же открытого множества всегда замкнуто [1]. ~ Пример 4.18. Пусть в банаховом пространстве С[-и,гг) оператор А определен равенством Аи = и(-х), х Е [-и, гг). Тогда операторному уравнению Аи — Ли = 0 помимо функции и(х) = 0 при Лг = 1 будут удовлетворять все четные функции и(х) = и(-х), принадлежащие С[ — гг,к), а при Лз = — 1, — все нечетные функции и(х) = — и( — х) из С[ — п,гг). Следовательно, Л1 = 1 и Лз = — 1 являются собственными значениями рассматриваемого оператора и принадлежат его спектру. Покажем, что спектр оператора А содержит лишь два собственных значения Лг = 1 и Лз = -1 и, следовательно, совпадает с точечным спектром.
Пусть д е С[-х,к] — произвольная функция из С[ — х,я). Операторное уравнение Аи — Ли = у зквивалентно уравнению и(-х) — Ли(х) = д(х), х Е [ — л, я], или уравнению и(х) — Ли( — х) = у(-х), х Е [-я, я). Умножая предпоследнее уравнение на Л и складывая с последним, получаем (1 — Л )и(х) = д( — х) + Лд(х), х Е [-х, я). Если Л ~ ~1, то непосредственной проверкой можно установить, что резольвентный оператор Вл(А) определен равенством Л,(А)д= (А- И)-'д = д( ')+,У(х) 1 — Лз и является ограниченным в С[-я,к]. Следовательно, любое число Л ~ х1 является регулярным значением оператора А. Пример 4.19. В банаховом пространстве С[0,1) равенством Аи = хи(х) определен линейный ограниченный оператор А.
190 4 НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Операторное уравнение Аи — Ли = 7', где 7' е С[О,Ц вЂ” заданная функция, эквивалентно уравнению хи(х) — Ли(х) = 7'(х), х Е [О, Ц, где искомой является непрерывная на отрезке [О, Ц функция и(х). При Л Е И ~ [О, Ц решение этого уравнения существует и единственно для любой функции 7" Е С[0, Ц и определено равенством и(х) = —. Таким образом, при Л Е К~ [О, Ц У(х) * — Л' существует ограниченный резольвентный оператор И1(А), и Л является регулярным значением оператора А. Пусть Л Е [О, Ц.
Если непрерывная на отрезке [О, Ц функция и(х) является решением уравнения (х — Л)и(х) = Т"(х), х Е [О, Ц, то при х = Л левая часть уравнения обращается в нуль. Следовательно, необходимым условием существования решения в этом случае является 7'(Л) = О, Таким образом, при Л Е [О, Ц резольвентный оператор Нл(А) определен на множестве У1 С С[О,Ц, состоящем из функций, равных нулю в точке х = Л. Кроме того, можно показать, что оператор Вл(А) не ограничен на Ул. Итак, отрезок [О, Ц является спектром оператора .4, причем остаточным, поскольку Ул ф С[0, Ц.
Р Пример 4.20. Дифференциальный оператор А = —— лх2 определен на линейном многообразии 17(А) банахова пространства С[0, Ц, состоящем из функций и(х), дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [О, Ц и принимающих значения и(0) = и(1) = О. Операторное уравнение Аи — Ли = 0 является линейным однородным обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) (4.47) ив+Ли=О с постоянными коэффициентами. Если Л = О, то общее решение этого ОДУ имеет вид и(х) = С1+Сзх.
Из условий и(0) = и(1) = = 0 получаем С1 = Сз — — 0 и и(х) = О, х Е [О, Ц. Следовательно, Л = 0 не является собственным значением оператора А. Если Л ( О, то характеристическое уравнение для (4.47) имеет корни ~~/ — Л Е К, а общее решение ОДУ (4.47) примет 191 4.б. Спекгр линейного оператора вид и(х) = С~ ехр(х~/-Л) +Сгехр(-х~( — Л). Так как и(0) = и(1) = О, то С~ + Сг — — 0 и Сг ехр(ч'-Л) + +Сгехр( — ~/ — Л) =О. Отсюда находим С; = Сг —— О, так что Л ( 0 не является собственным значением оператора А. Если Л > О, то, решая для (4,47) характеристическое уравнение, находим его комплексно сопряженные корни ~1ег, где аг > 0 и мг = Л.
В этом случае общее решение ОДУ (4.47) имеет вид и(х) = С, совшх+ Сгв1пагх. Из условий и(0) = и(1) = 0 получаем С1 — 0 и С1 совы+ Сгв1п~о = О. Следовательно, (4.48) Сг е1 и м = О. Если в (4.48) принять Сг = О, то придем к тривиальному решению и(х) = 0 ОДУ (4.47). Если же положить Сг ф О, то из (4.48) получим е1пм = О, т.е. аг = Йх, Й Е М, поскольку м > О. Таким образом, имеем бесконечное множество нетривиальных решений иь(х) = Сгапйях, Сг Е Е~(0), (4.49) уравнения Аи — Ли= 0 при Л= (кя)г, к б 1ч'.
Итак, Ль = (кя)г, й Е г1, являются собственными значениями оператора А, причем каждому из них соответствует одномерное подпространство, состоящее из собственных элементов (собственных функций) иь(х), определяемых соотношением (4.49), и нулевой функции и(х) = О. 41 Рассмотрим спектр вполне непрерывного линейного оператора А, действующего в бесконечномерном банаховом пространстве В. Такой оператор, будучи непрерывным, в силу теоремы 4.8 является и ограниченным.
Отметим, что для такого оператора нуль будет точкой спектра. Действительно, в противном случае существует непрерывный линейный оператор А ': В-+ В, обратный к А. Тогда, поскольку А и А непрерывные отображения, оператор А открытый единичныи 192 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ шар переведет в открытое множество из В, обязательно содержащее некоторый замкнутый шар положительного радиуса. Так как оператор А вполне непрерывен, то зтот замкнутый шар является относительно компактным, из чего следует конечномерность В (см. 4,2), а это противоречит первоначальному условию.
Таким образом, точка 0 Е К принадлежит спектру вполне непрерывного оператора А. Выясним некоторые свойства точечного спектра такого оператора. Теорема 4.21. Вполне непрерывный линейный оператор А в баиаховом пространстве В при любом е > 0 имеет лишь конечное число линейно независимых собственных злементов, отвечающих собственным значениям, превышающим по модулю о. я Предположим противное. Пусть для некоторого б > О существует последовательность линейно независимых собственных злементов у„линейного оператора А, для которых Ау„= Л„у„ и ~Л„~ > б, и Е Х.
Согласно теореме 4.2, найдется последовательность (ь») С В, такая, что для любого номера и Е М справедливы утверждения ~1и»й = 1; ю„Е В», РГи„,В„1) = 1н1' ~(о„— у~! > —, ~4.50) 1 вен ~ 2' где В„ — лннейнал оболочка злементов уь, й = 1, и. Так как (Л»! > », то ~! — й = †" ( †, т.е. последовательность 41 †" ~ е»0 ((е й 1 Г »„1 л„!! ~л„~ л' 1Л„У ограничена в В. Рассмотрим последовательность 1и„), где и„= А1 — „"~, п Е М. Так как и„Е В„, а злементы уы уз, ..., / у„составляют базис в В„, то и» =,7 оь уь (»1 193 4.6.
Спектр лннейного оператора Кроме того, учитывая соотношения Аул = Льуь, )е = 1, и, имеем и [и) инее А( — ") =~~» Ь Аул= й=1 и 1и) и-1 =Е (и) I Ль — — Льу„— и+ и оь — — 1)уй+ еи. ~л„ Поэтому для любого номера и Е М справедливо представление ии = си+ яи, Где и ',и) Л„ ли — — ~ о), ( — — ))У/с Е Ви 1. /с=» Пусть 1 и и», 1< и», выбраны произвольно. В силу разложеннйи е и +л,гдел ЕВ 1,ии)=е»+лбгдел)ЕВ) 1С С В,, имеем у = о»+ я) — я Е В,, Отсюда, учитывая условия 14.50), приходим к соотношениям 1 ))и — и»)) = ))е + я — е) — я))) = ))о — у)) > —. Итак, из последовательности 1и„1, являющейся при действии вполне непрерывного оператора А образом ограниченной последовательности 1е„), нельзя выбрать сходящуюся подпоследоеап»ельносп»ь, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
