XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 30
Текст из файла (страница 30)
и = О Е 'Н. Действительно, если и ! М и М = Я, то существует последовательность (и„) С М, такал, что и„— ~ и при и — > оо, и для любого и Е г! имеем (и„, и) = О. Тогда 0= !пп (и„, и) = ( 1пп и„, и) = (и, и) = ЦиЦ~, ~-+СО 1 и-+со т.е и = О. Таким образом, если для некоторого элемента и Е 'Н при любом о Е М справедливо (и, о) = О, то и = О Е 'Н. ~ Множество М всех элементов вида н о= ~~ 6лоь ь=1 (5.10) будет всюду плотным в 'Н, так как эти элементы образуют линейную оболочку счетного базиса [!Х~.
По условию теоремы (и, ил) = 0 при произвольном й Е г!. Поэтому с учетом линей- ности скалярного умножения, согласно (5.10), (и,о)=(и, ~ 6лоь)=~~ Ьь(и,оь)=0, пЕ1Ч, обМ. я=1 ь=1 Отсюда в соответствии с замечанием 5.1 следует, что и = О. 1е Теорема 5.1. Пусть последовательность (оь) в гильбертовом пространстве Я образует'счетный базис. Если для некоторого элемента и Е 'Н выполнены равенства (и, иь) = О, й Е г(, то и=О. а2. Олераторы и функционалы в гильвертовом пространстве 215 В любом сепарабельном гильбертовом пространстве Я существует ортонормированный базис 11Х).
Напомним схему построения ортонормированного базиса в 'Н. Если Я сепарабельно, то можно выделить счетное множество М С 'Н, такое, что М ='Н. Располагая элементы из М в виде последовательности и удаляя нз нее все элементы, являющиеся линейными комбинациями предыдущих, получаем линейно независимую систему (и„) С М, замкнутую в Я. Используя процесс ортогоналиэаиии Ррама — Шмидта, эту систему можно ортонормировать и получить ортонормированную систему (чоь) функций яоь б М, Й б 11, причем также замкнутую в Н. Ортонормированная замкнутая система и является ортонормированным базисом в Я. Отметим также, что эта сиг; тема будет полной ортонормированной системой. Для такой системы справедливо, что в Н нет элемента, кроме нулевого, ортогонального всем элементам этой системы.
5.2. Операторы и функционалы в гильбертовом пространстве Рассмотрим линейный оператор А: О(А) -+ Я, область определения В(А) которого является всюду плотным множеетпвом в гильбертовом пространстве Я. (Аи, и) > у~Они~, и е О(А), (5.11) где у ~ О, положительный оператор А называют положи- тельно определенным. Определение 5.1, Линейный операупор А называют симмепзринесним, если для произвольных элементов и, о б 0(А) справедливо равенство (Аи, и) = (и, Ао), н положительным, если к тому же (Аи, и) > О для любого элемента и б О(А), причем (Аи, и) = О тогда и только тогда, когда и = О. При выполнении неравенства 216 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Таким образом, любой положительно определенный оператор является положительным, а значит, и симметрическим, но обратное, вообще говоря, неверно.
Отметим, что для положительно определенного оператора А ядро нег А = (О). Р Пример 5.2. Рассмотрим оператор А = — „—, на множестве 1З(А) дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,1) функций в(х), удовлетворяющих однородным граничным условиям ы(0) = ю(1) = О. (5.12) Множество Р(А) является липсйпыа мноеообризием в гильбертовом простпрапстпае без[0,1) функций, сумаируемых с квадратом и определенных на отрезке [0,1). В самом деле, для любых функций Дх), д(х) Е В(А) и произвольных чисел о, 1З Е К имеем (оДх)+,Зд(х)) Е В(А), поскольку любая линейная комбинация дважды непрерывно дифференцируемых функций дважды непрерывно дифференцируема, а оу'(0)+1Зд(0) = оД1)+)Зд(1) =О, если Т'(0) = д(0) = Д1) = д(1) = О. Множество ГЗ(А) является всюду плашиыа в Аз[0, 1) (см.
пример 5.1). Отметим, что если в (5.12) хотя бы одно из граничных условий неоднородное, то множество 0(А) уже не будет линейным многообразием. Пусть, например, вместо (5.12) заданы граничные условия ю(0) = 0 и в(1) = 1. Тогда для Дх),д(х) Е ЩА) имеем 1'(1) = д(1) = 1.
Можно подобрать такие числа о, 13 Е К, что (оД1) + Дд(1)) = о+ 11 ~ 1, т.е. (оу'(х) + ~Зд(х)) ф 0(А), а зто означает, что множество В(А) не является линейным многообразием. Линейность оператора А следует нз свойств линейности множества Р(А) и линейности операции дифференцирования. Убедимся, что оператор А симметрический, Ясно, что для функций из 0(А) интеграл в (5.5) достаточно рассматривать в смысле Римана. Используя (5.5) и интегрируя по частям с 5.2. Операторы н функционалы в гнльбертовоы прастранстве 217 учетом условия вида (5.12), для функций и, и б Р(А) получаем ! ! ! !! (Аи, и) = — ! ипиНх = — и'и[ + / и'и'Нх = и'и'пх = о о о о ! ! !! = ви'~ — / иип!1х = и( — ин) !(х = (и, Аи), (5.13) о о т.е.
оператор А — симметрический в Р(А). Из (5.13) следует, что ! (Аю, ю) = (тп') сЬ ) О, ю Е Р(А), о причем если (Аю, ю) = О, то ю'(х) = О, х Е [О, Ц, а значит, ю— постоянная на отрезке [О, Ц функция, и в соответствии с задан- ными граничными условиями имеем ю(х) = О, х Е [О, Ц. Таким образом, оператор А является положительным в Р(А). В при- мере 5.10 показано, что этот оператор является и положительно определенным в Р(А), т.е. для него справедливо неравенство (5.11), которое в данном случае имеет вид ! ! (Аю, ю) = (ю')!ах > у~ ю~дх, ю Е Р(А). (5.14) о о Если расширить область определения оператора А, сняв граничные условия (5.12), то он утратит свойство симметрич- ности. В самом деле, рассмотрим функции и(х) = х и и(х) = = х(1 — х), которые дважды непрерывно дифференцируемы на отрезке [О, Ц, но функция и(х) не удовлетворяет условию (5.12).
Тогда вместо (5.13) получим ! ! ! (Ап, и) = — ипидх =О, (и, Аи) = — иип!1х = 2хдх = 1 ~0, о о о т.е. (Аи, и) ф (и, Аи). 218 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Выясним, каков общий вид линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространстве Я. Для такого функционала справедлива следующая теорема. Теорема 5.2 (тпеорема Ф. Рисса" ). Для любого линейного ограниченного функционала 1 в гильбертовом пространстве Я существует единственный элемент е Е Я с нормой ))е)) = )Щ, такой, что (5Л5) 1и=(и,е)ЕЖ, иб'Н. ~ Рассмотрим ядро )сег,У линейного ограниченного функционала л', являющегося частным случаем линейного оператора.
Согласно теореме 4.13, )сегэ' является подпространстпвом в Я. Если )сег/ = Я, то У = О и равенство (5.15) справедливо при е = О. В случае хегл ф Я существует отличный от нулевого элемент ео Ь 'кегл' (1Х). Тогда для любого и е 'Н выберем элемент яе = (1и)ео — (1ео)и, для которого лто = (ли)(лео) — (лео)()и) = () т.е. ы б )сегl, и поэтому зо 1 ео, или (то, ео) = О = (.Уи) (ео, ео) — (.Уео) (и, ео) . Отсюда лев 1и= (и,ео). (ео, ео) При е =, согласно аксиоме однородности скалярного (уев)во (ео, ео) умножения (см. 5.1), приходим к (5.15). Если бы существовало два элемента е и е1, удовлетворяющих (5.15), т.е.,lи = (и, е) = (и, е1), то в силу дистрибутивно- 'Ф.
Риса (1880 — 1956) — венгерский математик. Б.г. Операторы и Функционалы в гильоертовом пространстве 219 сти скалярного умножения для всех и Е Я было бы (и, и — и,) = = 0 и иг — п (см. замечание 5.1). Из (5.15) с учетом неравенства Коши — Буняковского (5.3) получаем ],Ум] = ] (и, и) ~ < ]]м]]]]п]], причем неравенство переходит в равенство прн и = Лп. Отсюда, согласно (4.20), находим ]],У]] = впр ],Уи] = (]е]). ))ий<1 Отображение Е: Е х Е -+ яс, где Š— линейное пространство, называют функционалом, зависящим от двух элементов линейного пространства Ь. Фуммциомпл 1[а, и], зависящий от двух элементов и, н Е Ь линейного пространства Ь, называют билинейным, если при любом фиксированном п он является линейным по и, а при любом фиксированном и — линейным по и, т.е.
для произвольных действительных чисел а1 и аг ,У[а1м1 + агиг, и] = а1 У[им и] + аг У[юг, и], ,У[и, а1 п1 + агпг] = а1,У[м, пг] + аг У[и, пг]. Полагая в билинейном функционале и = и, получаем меадрапгичмыб фуммцмомал,У[и] = У[а, и]. Этот функционал называют положительно определенным, если для любого ненулевого элемента м Е Ь выполнено неравенство У[и] > О.
Частным случаем квадратичного функционала является функционал вида,У[и] = (А и, и), м Е В(А) С 'Н, который, согласно (5.11), будет положительно определенным, если линейный оператор А— положительный. Квадратичный функционал,У[и] сильно положителен, если существует такое постоянное число й > О, что ,У[и] > )сЦм]]г для любого элемента и Е У1(У). В гильбертовом пространстве Я рассмотрим операторное уравнение Аи =,У, (5.16) где А — положительный оператор. Такое уравнение характер- но для линейных задач математической физики. 220 л. ОпеРАтОРы В ГильВеРтОВых пРОстРАнстВАх Теорема 5.3. Если оператор А положительный, то уравнение Аи = у" имеет не более одного решения в Р(А). М Допустим, что операторное уравнение имеет два решения и, и из, т.е.
выполнены равенства Аи1 — — У и Ааз = У. Вычитая второе равен~тво из первого и учитывая, что А является положительным (и поэтому линейным) оператором, получаем А(а~ — из) = О, что равносильно равенству (А(и1 — аз), (и1 — из)) = О. Отсюда, согласно определению 5.1 положительного оператора, а1 — аз — О, или а~ — — аг. ~ Функционал вида .7[и) = (Аи, а) — 2 (у, а) (5,17) с квадратичным слагаемым (Аи, и) и линейным по и вторым слагаемым обычно также называют квадратичным. Связь между решением операторного уравнения (5.16) и точкой минимума функционала (5.17) устанавливает следующая гнеорема о квадратпичном функционале. Теорема 5.4.
Пусть оператор А, определенный на всюду плотном множестве Р(А) в гильбертовом пространстве Я, является положительным. Элемент ио Е В(А) является решением уравнения Аи = у тогда и только тогда, когда квадратичный функционал 7[и) = (Аи, и) — 2(у,и) принимает на ио минимальное значение в В(А), т.е.,У[и] ),7[но) для любого элемента и Е В(А) 1(ио). < Функционал ./[и) определен при всех и Е Р(А). Пусть элемент ио Е Р(А) удовлетворяет (5.16), так что у = Аао.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
