XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 32

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 32)

Для новых нормы и расстояния, согласно (5.27), запишем , 1,12 1.1.=,7г,'1= ()ь)ч.) о 1/2 РА(По) Пи — оИА = ~ (11 — о ) дл) а (5.32) (5.33) Функционал энергии (5.30), заданный на множестве Р(А), в данном случае имеет вид 1 1 ,7(и) = (и')гол — 2 7" идх, о о Отсюда видно, что функционал г(и), как энергетические скалярное произведение (5.31) и норма (5.33), может быть определен на более широком, чем Р(А), линейном многообразии. Множество Р(А) с энергетическим скалярным произведением (5.26) является евклидовым пространством, Обозначим его ь1А, Из (5.29) следует, что если последовательность функций и„б 1вл, п 6 1ч, является фундамеипгальиой в пространстве 1вл, то она фундаментальна и в Н, а если она сходится к элементу и 6 ЙА, то, конечно, она сХодится к этому элементу и в Н, но обратные утверждения, вообще говоря, неверны.

Последовательность (и„) С Р(А) может быть фундаментальной в гильбертовом пространстве Н (относительно нормы '0 0 этого пространства), но не быть фундаментальной в евклидовом пространстве 51А (относительно нормы 0 . '0А). Действительно, вернемся к примеру 5А, в котором Н = Ег(0, Ц, А = 42 = — — и Р(А) — линейное многообразие дважды непрерывно вхг 229 В.З. Энергетическое пространство дифференцируемых на отрезке (О, 1) функций и(х), удовлетворяющих условиям и(0) = и(1) = О.

Последовательность функций и (х) = — в»п пя х, и б М, принадлежащих О(А), является фунда- 1 и ментальной в Ьг(0, 1), поскольку сходится к функции и(х) = 0: 1 Г в»п~ пхх 1 'Ои„'0~ = / »1х < — -+ 0 при п -+ оо, г пг о Однако эта последовательность не является фундаментальной в евклидовом пространстве Ил, поскольку с учетом равенства (5.32) при п Е М » .-".1' =1 1С~*)- ..(*О'е= 1 о 1 г г Г/1+сов2пхх = 1 (тсовпхх — хсов2пхх)гнх = тг~ 2 о о 1+ сов 4пхх 1 — 2 сов птх сов 2пхх + 2 )»»х=л . В частности, последовательность (и„1 не сходится по энергетической норме, и функция и(х) = О, х б 10,1], не является ее пределом по энергетической норме.

Нормированное пространство И,» с нормой й»»((л (5.27) не обязательно будет полпыа». Пополнение Ил называют эпереетпичесммм проспврпмспввом и обозначают Ял. Если же И» полное, то оно совпадает с энергетическим пространством, но этот случай обычно не представляет практического интереса. Перейдем к более общему случаю, когда нормированное пространство Ил с нормой 5м))л (5.27) не является полным.

Воспользуемся рассмотренной в теореме 4.23 процедурой построения пополнения нора»ированного пространства. Пространство 230 в. ОпеРАтОРы В ГильББРтОВых 11РОстРАнстВАх иА со скалярным произведением (, )А является частным случаем нормированного пространства с нормой ))м))А =,/(м, м)А, Пополнив йл как нормированное пространство, согласно теореме 4.23, придем к банахову пространству 8, элементами которого являются классы й эквивалентных фундаментальных относительно энергетической нормы последовательностей (м„) элементов из В(А). В силу полноты 8 это пространство станет гильбертовым (обозначим его ЯА), если в нем операцию скалярного умножения ввести равенством (й, й)н — — !пп (и„, и„)А,й, й Е ЯА, (5.34) где (и„) и (и„) — произвольные последовательности из классов эквивалентности й и й.

Покажем, что предел в (5.34) существует и конечен, т.е. последовательность ((и„, и„) ) фундаментальна. Используя неравенство треугольника и аксиомы скалярного умнолсенил (см. 5.1), запишем ! (мт ~ ит) А (и~ ии)А !»< <!( - ->А-( - -> !+!(- ->А-( ° .>А!= — )(Мт Птл Пи)А)+ )(ит Ми ии)А!»< < )! ))А!!и — и ))А+))м — м !)А))и !! (5.35) Фундаментальные последовательности (м„) и (и„) ограничены, т.е. существует такое с > 0 и такой номер Д1 Е М, что !)м„))А<си ))и„))А<спрн и>М.

Тогда при т>У и н>У будем иметь /(Мт~ ит)А (Мп~ иана)А! » «С(!)ипъ ии)!А+ )!Мпа иь)!А) ° (5 30) Таким образом, из фундаментальности (и„) и (и„) следует, согласно определению 4.1, фундаментальность последователь- НОСТИ ( (Ми ~ ин) А) ' 231 о.з. Энергетическое пространство Покажем также, что значение предела в (5.34) не зависит от выбора последовательностей из классов Й и й. Выберем произвольные последовательности ~и'„) 6 Й и (в„') 6 в. Тогда аналогично (5.35) и (5.36) имеем !(Мп~ ои)А (пи~ ои)А! ~~ !(%и(!А!!Вп ои!(А+ + !!%п ми(!А !!юп!!А ~( с(//вп ип!!А+ !(ми те~!!А) ° (5 37) Так как (ип) (и'„) и (в„) (в„') (см.

теорему 4.23), то справедливы (4.56) и (4.57) в виде 1пп !!мп — и'„!(А = О и 1пп !!вп — в„'(!А = О. (5.38) Переходя в (5.37) к пределу при п -+ оо и учитывая (5.38), получаем 11щ !(те~, ии)А — (м„, ю„)А ! = О Отсюда с учетом (5.34) следует !пп (мп, пп)А — — !пп (и'„, в„')А. и-+со п-+ос Для (5.34) аксиома симметрии скалярного умножения выполнена в силу симметрии (, .)А (см.

5.1), а аксиомы дистрибутивности и однородности — в силу соответствующих свойств (, )А и свойств пределов. Ясно, что аксиома неотрицательности скалярного квадрата (а, ев)н„> О верна, поскольку левая часть неравенства является пределом последовательности неотрицательных чисел (ип, и„) . Если и= О, т.е. ев — нулевой элемент в ЯА, то такой класс содержит стационарную последовательность, все члены которой равны нулевому элементу О в Р(А).

Поэтому, согласно (5.34), (й, м)н„— — О. Обратно, если О = (Й, й)̈́— — 1ПП (Мп, ип)А — — ЙП !!Мп!!А, то это означает, что последовательность (мп) эквивалентна стационарной последовательности, все члены которой равны нулевому элементу О в Р(А), т.е. (ип) Е й = О. Отождествим элемент и 6 Р(А) с классом тс 6 ЯА, содержащим стационарную последовательность, все члены которой 232 ц ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ равны м.

Тогда можно считать, что В(А) С Яд, причем (м,е)н — — (й,о)н„—— !пп (м,е)д — — (и,о)д, м,е 511(А), т.е. для любых элементов из 0(А) операции энергетического скалярного умножения, определенные в Р(А) и Яд, совпадают. Отметим, что из теоремы 4.23 следует, что В(А) всюду плотно в Яд. Таким образом, для Яд выполнены все условия определения 4.11 пополнения нормированного пространства, т.е. построенное гильбертово пространство Яд является пополнением евклидова пространства Йд. Замечание 5.3. Описанная процедура пополнения евклидова пространства до гильбертова применима для любого (не тол ько энергетического) евклидова п ространстна.

Из процедуры этого построения следует, что О(А) = Рд С С Яд, йд = Яд (замыкание по энергетической норме). Если рассмотреть евклидово пространство В(А) со скалярным произведением (, ) гильбертова пространства Я и повторить описанную выше процедуру пополнения (относительно нормы в Я), то получим само гильбертово пространство Я. Поскольку множество всех фундаментальных последовательностей элементов из В(А) относительно нормы в Я включает множество всех фундаментальных последовательностей элементов из 11(А) относительно энергетической нормы, то Яд С Я. Теорема 5.5.

Если положительно определенный оператор А определен на множестве В(А), всюду плотном в энергетическом пространстве Яд со скалярным произведением (, )д (5.25), то функционал энергии,У(м] = (и, и)д — 2(у, и) (5.30) достигает минимума на элементе и' Е Яд, однозначно определяемом равенством (5.39) (и, и) д = (У, м), и 5 Яд. 233 о.з. Энергетическое пространство ~ Функционал (у, и) при любом фиксированном элементе у' Е 'Н является линейным оераниченным в гильбертовом пространстве 'Н, причем ! (у, и) ! ( !!у[! [[и[[, и Е Я.

(5.40) Но при любом и е ЯА справедливо (5.29). Тогда вместо (5.40) можно написать ! (у, и) ! ( — !!и[!А, т.е. этот функционал, если !!П 7 его сузить на ЯА, будет ограниченным линейным функционалом в ЯА. Нозтому, согласно теореме 5.2 Ф. Рисса, существует такой элемент и' 6 'НА, однозначно определяемый элементом у Е Я, что справедливо (5.39). Тогда вместо (5.30) получим ,У[и] = (и,и)А — 2(и ,и)А — †(и,и)А — 2(и*,и)А + (и',и')А— (и ~ и )А (и и 1и и )А (и 1и )А !!и и ![А [!и [!А~ т.е. функционал энергии достигает минимума при условии !!и — и'![~~ — — О, что в силу аксиомы 3 нормы (см. 4.1) отвечает равенству и = и* в ЯА. ~ Замечание 5.4.

Из хода доказательства теоремы 5.5 следует, что функционал энергии (5.30) имеет в энергетическом пространстве ЯА единственный минимум, достигаемый на элементе и' 6 ЯА, являющемся единственным обобщенным решением операторного уравнения (5,16) с положительно определенным оператором А. Напомним, что если и* ф Р(А), то элемент и' называют обобщенным решением операторного уравнения (5.16). Если же и е Р(А), то элемент и' совпадает с классическим решением этого уравнения. Если и' ф Р(А), то (5.16) не имеет классического решения ио 6 Р(А).

В самом деле, элемент ио, удовлетворяющий уравнению Аи = у, согласно теореме 5.4, есть точка минимума функционала (5.17), который совпадает с (5.30) в Р(А), т.е. должны совпадать элементы ио Е Р(А) и и* ф Р(А), что невозможно. 234 а ОпеРАтОРы В ГильББРтОВых пРОстРАнстВАх 5.4. Однородное операторное уравнение Перейдем к рассмотрению однородного операторного уравнения Ам-ЛВм=О, (5.41) где А и  — симметрический и положительно определенный операторы соответственно, действующие в гильбертовом пространстве 'Н, причем В(А) С В(В). Число Л назовем собстпвекным экачекием этого однородного уравнения, если при этом Л оно имеет решение, отличное от тривиального решения м = О.

Характеристики

Список файлов книги