XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 36
Текст из файла (страница 36)
1(1 258 а ОпеРАтОРы В ГильБВРтОВых пРОстРАнстВАх Лянейные дифференциальные операторы, как правило, являются неограниченными, и, следовательно, не являются непрерывными. Однако в ряде случаев эти операторы имеют обратные операторы, оказывающиеся вполне непрерывными. Сформулируем теорему, затрагивающую такие случаи*, Теорема 5,13. Пусть А — неограниченный линейный симметрический оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве 'Н, а его обратный оператор А ' является вполне непрерывным.
Тогда всегда можно выбрать ортонормированный базис (х„) в Я, состоящий из собственных элементов оператора А ', причем нуль не является собственным значеннем этого оператора, а последовательность (р„1 собственных значений А ' (А 'х„ж р„х„) содержит бесконечно много различных значений. Спектр оператора А совпадает с последовательностью (Л„1, Л„= —, а ж„— собственные элементы оператора 1 и А, отвечающие собственным значениям Л„.
Если Л вЂ” регулярное значение оператора А, то для всех п б Я справедливо равенство Дополнение 5.1. Сопряженные пространства и сопряженные операторы Рассматривая линейные ограниченные функционалы, определенные в нормированном пространстве Й, как частный случай линейных ограниченных операторов с областью значений, лежащей в банаховоле пространстве 1ь, заключаем, что множество линейных ограниченных функционалов образует банахово пространство (см. 4.5). Его обозначают Р* и называют сопрлженныле с И. Норма любого функционала Р Е й* определена 'Доказательство теоремы см., например: Хотлсон В., Пил Дж. Д.о.1. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 2ос9 равенством 11Я = р 1Б(тс)).
11и11и(! Пример 5.6. Найдем пространство, сопряженное с И", где норма задана равенством Х = (Х1~ ХЗ~ ", Хи) Е 11Г. Пусть е;, !' = 1, и, — сп!андаргпнмй базис в Е". Тогда для любого злемента х Е Е" справедливо разложение Если Р— провзвольный линейный функционал, действующий вЕ", то и и Г(х) = Р(~~ х1е;) = ~) х1Р(е;) и, согласно неравенству Коши — Бунлковс!сохо, 111'11= вир 1г'(х)1= янр ~У х;Г(ее) < 11*11и О 11*11и О; — ! и < вир )~хЬ- ~ ~Ще))' 11а11и <! 1=1 Причем, если / и а -1/3 хо= ~~~! (Г(е1)) ~ ~~! Г(е;)е;, !ж1 1=1 и ~ з и х=~~ х е;.
~~! (г'(е,))~ 260 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ то ()хойн = 1 и г(ао) = Ь=! (г (е,))з, а значит, для любого г Е И' = (Е")* имеем Таким образом, любой линейный функционал Г Е (Е")* однозначно определен вектором (г'(е!), г(ез), ..., г'(е„)), Наоборот, любой вектор (!Ь, ~з, ..., 1„) б Е" задает линейный функционал г 6 (Е")*, действующий по правилу Р(Ф) = ~~! Х!Л~ Ж = (ХЬ~ Хг~ 1 Хв) 6 Е Ь=! причем Ь ~)х)~р — — !х(Ф)("й а Нетрудно показать, что соответствие между функционалами г' и (г'(е!), г'(ез), ..., г'(е„)), где г' б (Е")', является изоморфизмом, сохраняющим нормы соответствующих элементов, т.е. пространства (Е")" и Е" изометричны.
Позтому можно считать, что с точностью до изометрии (Е")" = Е". Рассмотрим банахово проспчранстпво А~[а, 6), р ) 1, фунм!Ьий, суммируемых с р-и стпепенью, норма в котором определяется равенством д.о.ь сопрнженные пространство н сопряженные операторы 261 Можно доказать", что банахово пространство, сопряженное с Ьр[а,Ь], изометрично банахову пространству Ь [а,6], где 1~р+ + 1/д = 1, т е. Ар[а,Ь] = 1 с[а,Ь]. Любой линейный ограниченный функционал Р Е Ь"„[а,Ь] можно представить в виде Р(х) = х(1) 1(1) а1, х Е Х р[а, 6], а где )' — некоторая функция из Бе[а,Ь], причем [[Ц] = [[)'[[е.
В частности, Из[а, Ь] = Из[а, Ь]. С банаховым пространстпволс 11[а,Ь] сулсмпруеыых функций сопряжено баиахово простарамстпво й [а,6] фуикеЛиб 1, иочтии всюду ограиичеииых на отрезке [а, 6], с нормой [[Д которая определяется формулой [[Д = Ы епр [Д1)[, о8е[ад]1е где,иЕ обозначает неру Лебега множества Е С [а, 6]. Любой функционал Р = Ц[а,Ь] имеет вид Р(х) = х(1)ДЬ)й, х Е 1,,[а,Ь], а где 1" — некоторая функция нз Е [а,Ь], а ][г [] = ]Я, . Согласно гпеорене Ф.
Рисса, любой линейный ограниченный функционал Р в гильбертовом пространстве Н имеет вид Р(х) = (х, и), х б 'Н, где и — некоторый элемент из 'Н, причем [[Г[[ = [[и[[. Несложно установэть, что 'Н' изометрично 'Н, при этом используют запись Я* = Я. В пространстве сс", сопряженном с нормированным пространством Р, рассматривают два вида сходимости: сильную — сходимость по норме в Й* (в этом случае сходимость последовательности (г„) к функционалу Р означает, что 'См., например: ./Ьосспернок ХА., Сооолео В.И. 262 $. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ]]Є— Ц] -+ О при п -+ оо) и слабую — поточечную сходи. ность (в этом случае сходимость последовательности (Г„1 к функционалу Р означает, что Р'„(х) -+ Р"(х) при и-+ со для любого элемента х Е Й).
Из сильной сходимости последовательности (г„1 С Р' вытекает ее слабая сходимость, причем к тому же пределу. Действительно, пусть ]]Ä— Р"]] -+ О при п — ~ оо. Тогда для любого х Е Р имеем ]Р„(х) — Р(х)] (]]Р;, — Р)]]]х)]м -+ О при и-~ оо. Следовательно, Р"„(х) -+ Р(х) при и -+ оо. В случае гильбертова пространства Я, учитывая, что Я = = Я*, а любой линейный ограниченный функционал имеет специальный вид (см.
теорему 5.2), можно утверждать, что слабая сходимость последовательности (и„1 к элементу и Е Я равносильна условию: (и„, х) -+ (а, х) при и -+ оо для любого х Е'Н. Пример 5.7. Покажем, что последовательность, сходящаяся слабо, может не сходиться сильно. Рассмотрим гильбертово пространств Аз[О,х] и в нем последовательность функций ~„(1) = е1п нг, и Е Я. Так как (~~, Я = О и ри т -Ь п и ]]Ь,]] = в1п п1дс = —, п Е 1Ч, о то ]]У Я]~ = ]]У ]]~ + ]]Я]~ = х. Значит, в силу определения 4.1 последовательность (~„~ не является фундаментальной в Аз[О,х] и не сходится сильно.
В то же время (Т"„) сходится слабо к нулевой функции из Аз[О,х]. В самом деле, для любой функции х Е Ьз[б,х] имеем (х, Я = х(й)в1ппсай = с„, о где с„— коэффициенты Фурье функции х Е Аз[О,х] по ортогональной системе (Т'„1. Так как ряд 2 с~ сходится [1Х], то Д.5Л.
Сопряженные пространства и сопряженные операторы 263 с„+ О при п -+ оо. Это и означает, что последовательность ( У„) сходится слабо в У 2(О, я) к нулевой функции. 4 Простаранстао, сопряженное с И', называют атпорым сотарлженным с нормированным пространством И и обозначают И"'. Таким образом, И** = (И*)*. Выясним, какова связь между И и И". Предварительно докажем теорему, которая является следствием теоремы Хана — Банаха. Теорема 5.14. Пусть И вЂ” нормированное пространство и элемент таа Е И не является нулевым. Тогда существует линейный ограниченный функционал Р', такой, что Г(иа) = ~(таа((2т, !!П =1 м Пусть Е = (сия ), 1 Е Е, т.е.
Š— одномерное подпространство в И. Зададим на Е линейный функционал Г(сив) = Циа))и, 1 Е К. Отметим, что Г(иа) = йиа()и. Тогда для любого элемента та Е Е имеем Р'(и) = йи()ы. Следовательно, норма ))Р')( функционала Е, определенного на одномерном нормированном пространстве Е, равна единице. По теореме Хана — Банаха функционал Г можно продолжить до линейного ограниченного функционала, заданного на И, с нормой, равной единице.
~ Теорема 5.15. Пусть И вЂ” банахово пространство. Тогда И изометрично некоторому подпространству в И™. М Любому элементу ие Е И поставим в соответствие функционал У„„определенный на сопряженном с И пространстве И* соотношением 3„, (Г) = Г(ио), Г Е И*. Функционал,Уво является линейным. Действительно, для любых Гы г2 Е И* и о, )3 Е 1а имеем У,(ог1+ дг2) = (ог1+ др2)(иа) = = ор2 (ме) + дг2(таа) = ~" Уна (г! ) + УУУна(г2). Функционал У„о ограниченный, поскольку для любого элемента У' Е И с нормой ((Г)! < 1 справедливо неравенство (,У„,(Р'и = = ~Г(ио)! < ((Р')())иа()ы < авиа()ы.
Из этих неравенств также заключаем, что )),Уна)! < 'Оиа))ы. 264 Я. ОПЕРАТОРЫ В ГИДЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Итак, определено отображение у:И вЂ” ~ И** банахова пространства И на некоторое подмножество И". Докажем, что это отображение линейное. В самом деле, для любых ме, пе Е И и а, 13 б 1ь имеем У,+о~, (Р) = У(оно+ дсп) = оГ(мо) + УУЦсп) = =оУьо(~')+Денио(У')~ Р'еИ . !!Аюо!! = еп ! Уи,(Я)! 3 ! У „(Ро)! = !!ие!!и ПР!1<~ Следовательно, !!,У„,!! = !!ио!!и в Если И- = И, то банаяово проспэрамспэво И называют рефлемсивмььм. Таким является любое гильбертово пространство М, поскольку Я" = (Я')* = Н' = Я. Рефлексивными также будут и пространства Ар[а, 6), 1 < р < оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
