XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 38
Текст из файла (страница 38)
~и — — и — ) и; = о%и — и1тп = -оаи+ ипи = О. е~ 4 —,— —,) — ди до 1 "'1 дх, дх,) 1=1 1=1 Следовательно, (Аи, е) = (Ао, и), т.е. оператор А является симметрическим. В соответствии с (2.98) и (5.76) — (5.78) запишем (А, 1= — 1 1 1 ( — 1е,— ) — )Но= а 1=1 Хи1 г д = — / и~) ~~! а; — п,11(дй)+ зп +ф~(е" „, е" - )ж= П 1=1 хи1 п~ и! =К~" — ' — ' 1- "1-" "дх, дх, 1=1 Хи1 й дно 272 Л. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Если существует такое число ро > О, что при любых а б й для произвольных наборов чисел 11, 12,...,1 б К выполняется неравенство ттт ттт ттт а 2(х)1112 > ВО~~2,17т т=1 ты 1 $ (5.81) ттт ттт т атй(~) т "1 тт т"О А~~ 2=1 1=1 т то оператор А также называют эллиптическим. При этом квадратичная форма, стоящая в левой части этого неравенства, является отрицательно определенной. Но при изучении свойств оператора А при выбранном в (5.75) знаке перед символами сумм и условии с(ж) > О, ж б й, существенно выполнение условия эллиптичности оператора именно в виде (5.81).
Если оператор А эллиптический, то из (5.80) и (5.81) с учетом неотрицательности функций с и а получаем 1А, ттт /Е( — ) АЙА й + си дй+ аи~д(дй) > О. (5.82) й зй2 При (Аи, и) = 0 каждый из интегралов в (5.82) должен обратиться в нуль. Тогда из равенства нулю первого интеграла то от2ератпор А называют эл22ит2222ииестеилт на замыкании й. В этом случае (5.75) относят к уравнениям эллиптического типа. Отметим, что левая часть (5.81) является квадратичной формой, а коэффициенты а; = а;, 1, 2 = 1, т, — элементами симметрической матрицы этой кеадратпичиой формы. Тогда выполнение (5.81) означает, что зта квадратичная форма является положительно определенной. Если существует такое,ио > О, что для любых а й й Д.5.3. Положительная определенность эллиптического оператора 273 следует, что и = Со = соваФ, но из граничного условия (5.76) на участке дй1 границы области П имеем Со = О, так что и = О на замыкании Й.
Поэтому, согласно определению 5.1, А являет~я положительным оператором. Но возможен случай, когда дй) — — )с), т.е. дйт = дй. В этом случае равенство нулю второго и третьего интегралов в (5.82) даст Со сд1Й = О и Со пд(дй) = О. ай Если одна из непрерывных и неотрицательных функций с или и отлична от нуля хотя бы в одной точке области Й или границы дй соответственно, то снова имеем Со = О, а оператор А будет положительным. Однако зто утверждение теряет силу, если с=О в П н е) = О на дй. При этом решение задачи (5.75)- (5.77) может н не существовать или быть неединственным.
Рассмотрим этот случай подробнее. Интегрируя (5.75) при с = О, и = О по области П, получаем -ф~ ') ).д д")да=~~до. д=! )=1 й Преобразуя интеграл в левой части этого равенства по формуле Остроградского (1.26) н учитывая, что в данном случае Хи = О на дй, устанавливаем необходимое условие б ди ~до= — /1 1 д —;д)до)= — ) и д)до)=0 )ддд) дт; й гй '=''=' дй существования решения задачи. Но даже если условие (5.83) выполнено и решение и существует, то функция, отличающаяся от и на произвольную константу, также является решением этой задачи.
Подчиним решение и дополнительному условию, 274 а ОпеРАтОРы В ГильБеРтОВых пРОстРАнстВАх аналогичному (5.83): (5.84) й Тогда при и = Со имеем Со = О, т.е. и в этом случае (при с= 0 в й и о = 0 на дй) оператор А будет цоложительиым. Следовательно, если решение и Е Р(А) сушествует, то в силу теоремы 5.3 оно единственно в В(А). Выясним, при каких условиях оператор А, будучи эллиптическим является положительно определенным оператором. Так как первый и третий интегралы в правой части (5.82) неотрицательны, то при с(х) > со > О, х Е й, с учетом (5.78) имеем (Аи,и) > си'дй > со и'дй= со'Ои()'. Таким образом, если о(х) > 0 на дйзС дй и с(х) > со > 0 в й, то оператор А, согласно определению 5.1, является положительно определенным.
Если же со — — О, то второй интеграл в правой части (5.82) неотрицателен, так что получаем («, 1>«,ф(~")'«а+ ~ '«[221, («««« Ж« й =1 ой2 Положим и = ои«и вычислим ( — и) =из~~ ( 'о) +2 ~~ до — ~~+аз~~ (до) «=1 «ю1 «=1 «=1 «=1 «=1 «=1 Д.о.З. Положительиал опрелелеииость эллиптического оператора 2 275 Отсюда, отбрасывая первую (неотрицательную) сумму в пра- вой части равенства и интегрируя по области Й, получаем т Г 1 (~') <о>~~ а ( 'ф)<о-1."у'~ ",<о.
й ,=1 ,, дх, дх, й з до Положив в формуле Остроградского (1.25) и; = !и о —, преобразуем первый интеграл в правой части этого неравенства: ф — '(.* а') , дх, = ~~ '.~';<!ао)= /' ча'<(аоЬ дй ' эй где и„! = 1, пт, — направляющие косинусы единичного вектора т! внешней нормали к границе области Й, а — — производная дп функции и по направлению этой нормали.
Тогда вместо последнего неравенства будем иметь а <и 2 и< — ' ~~ ",<о< (~(~") '<и-1 '.— е '<!ао!< 1=1 пи 1 ай <1 т ( — ) <о;~~ — 4ао!. (586) <=! ай Начало координат в К можно выбрать так, что все точки из Й будут внутренними точками декартова произведения пт отрезков [О, Ц, ! = 1, т, т.е. область Й вместе со своей границей дй будет полностью погружена в тп-мерный прямоугольный параллелепипед со сторонами 5;, ! = 1, пт. Положим ХХ! и= Пв!и— -П 276 Б.
ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ и вычислим г д=я") р. з=1 д Г) 7Г . АГУ> Š— =-Š— П '" —,'=- ' дхг, Ь'. Ь; зю! з=1 з з=1 Тогда для интеграла в левой части (5.86) получим ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 г ~ ~ 2 д2 — г — зй= з| "'зй=з | 'зй. (ззз) дяг й й й Так как функция о в любой точке границы дй положительна, то для второго интеграла в правой части (5.86) имеем | 2 ди 1!" игдо Г „г ди 2 ~(дй) з(дй) ~ ~ ~(дй) дп Ц и дп „Г' о(дп и)ги — И(дй) < С! и д(дй). (5 88) Подставляя (5.87) и (5.88) в (5.86) и обозначая через С большее из чисел 1/д и С!/д, получаем неравенство зй<й(|2 ( — ) зйз-| з(дй)), с>0.
(ззз) й й =1 дй Так как функция и Е Р(А) удовлетворяет граничным условиям (5.76) и (5.77), то дй в (5.89) следует заменить на дйг. Если функция (Г в неравенстве (5.85) ограничена снизу значением (Ге > О, то, обозначая через р меньшее из чисел ре и !Ге, из (5.85) находим (А, )>>(/г,( — ) зй+| 'з(дй)), з>з. зж! дйз 1 (дй Ясно, что на границе дй величина — ~ — ~ ограничена, т.е. )ай 1(а ( — ~ — ( < С1 —— сопя1 ) О, что приводит к оценке й дй) Д.э.з. Положнтельнал определенность эллиптического оператора 277 Сравнивая зто неравенство с (5.89) при замене дй на дйя и учитывая (5.78), в итоге получаем (Аи, и) > — и сКй= 7~ЦиЦ~, 7~ = —.
(5.90) Таким образом, в случае се = 0 оператор А является положительно определенным прн условии, что ес > оо > 0 на дйя С дй. При с = 0 в й и дйэ. = йэ из (5.85) и (5.89) следует, что оператор А остается положительно определенным. Можно показать*, что А является положительно определенным при с = 0 в области й и а = — 0 на части дйз С дй границы этой области. Если же при этом дйз = дй, то оператор А сохраняет положительную определенность лишь на множестве В,(А) С С В(А) функций, удовлетворяющих дополнительному условию (5.84).
Итак, оператор А, определенный первым равенством (5.79), будет положительно определенным, если он является эллиптическим, т.е. для него выполнено (5.81), и при этом с > со > 0 в й н а > 0 на дйз. При с= 0 в й оператор А, будучи эллиптическим, сохранит положительную определенность, если либо дйз — — З, либо п > ао > 0 на дйэ С дй, либо о = 0 на дйэ. С дй (т.е. при дй, ~ 1с1). Наконец, при с = 0 в й и ет = 0 на дй необходимо выполнить дополнительное условие (5.84). Пример 5.9.
Несложно проверить, что оператор Лапласа, представленный в виде является эллиптическим, поскольку для выполнения условия (5.81) достаточно принять ио — !. Установлено [ХЧ], что этот еСм., например. Моллон С.Г., 1968 нлн Ректорис К. 278 5. ОИЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Пример 5.10. Изложенный выше подход можно применить к исследованию оператора Штурма — э7иувилля А, который на множестве Р(А) дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке (О, 1) функций и(х), обращающихся на концах этого отрезка в нуль (множество Р(А) — линейное многообразие в Ьз(0, 1]), определен равенством Аи = — (Р(х) и'(х)) + д(х) и(х), х б (О, 1).
(5.91) оператор является симметрическим и положительным при условии и = 0 на всей границе области. Изложенное выше показывает, что при этом условии оператор Лапласа, определенный на множестве функций, дважды непрерывно дифференцируемых в области Й и удовлетворяющих однородным граничным условиям вида (5.76), (5.77), будет и положительно определенным прн указанных выше ограничениях для о на дйз (при с= 0 в й). Эллиптическими являются и операторы дифференциальных уравнений, описывающих перенос физических субстанций в неоднородных и анизотропных средах и вытекающих из соответствующих законов сохранения (см. часть 1). Например, в уравнении (2.96) нестационарной теплопроводности теиэор теплопроводности Л может быть представлен положительно определенной матрицей (2.95) третьего порядка.
Квадратичная форма с такой матрицей в декартовой прямоугольной системе координат соответствует в общем случае трехосиомд эляипсоиду, а элементы Лсо 1, 1' = 1, 2, 3, этой матрицы удовлетворяют неравенству (5.81). Таким образом, из вышеизложенногоследует, что оператор А, определенный первым равенством в (5.79) при а; = Л;, является положительно определенным иа множестве функций, дважды непрерывно дифференцируемых в области Й и удовлетворяющих граничным условиям (5.76), (5.77) прн указанных выше ограничениях для с в Й и о на дйз. Ясно, что при а; (х) = Л(х) > О, ж 6 й, это свойство сохраняет на указанном множестве и оператор А, определенный равенством Аи = - 17(Л~7и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
