XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Такое нетривиальное решение называют собственным элементом операторного уравнения (5.41), соответствующим собственному значению Л. В частном случае В = 1, где! — действующий в Я тождественный оператор, (5.41) переходит в (4.45). Напомним, что в этом случае значение Л и соответствующее ему решение (4.45) называют собственными значением и элементом оператора А, а не операторного уравнения. Пусть й Е В(А) — собственный элемент уравнения (5.41), соответствующий собственному значению Л, т.е. Ай = ЛВй. (5.42) Если умножить обе части (5.42) скалярно на й Е О(А), то иэ полученного равенства (Ай, й) = Л(Вй, й) следует, что в случае положительного (а тем более, положительно определенного) оператора А собственные значения Л уравнения (5.41) положительны.
Некоторому собственному значению Л операторного уравнения (5.41) могут соответствовать несколько линейно независимых собственных элементов, число которых определяет краткостпь этого собственного значения. Собстпвеккое значение называют простым, если его кратность равна единице, а в противном случае — крапэным. Если линейная 235 5.4.
Однородное операторное уравнение оболочка собственных элементов, соответствующих некоторому собственному значению Л, является замкнутым множеством в Н, т.е. подпространством (так, в частности, будет при конечной кратности Л), то говорят о собсепвеммом подпросп1рам» сгпве операепормого уравмемил. Пусть Нв — энергетическое пространство, являющееся пополнением нормированного пространства Р(В) по энергетической норме (5.43) индуцированной энергетическим скалярным произведением (и, е)в — — (Ви, е) . (5.44) Рассмотрим два различных собственных значения Л1 и Лг с соответствующими собственными подпространствами 51 и Яю Эти надпространства будут ортогональными в Нв, т.е. (и, е)в —— (Ви, е) = (Ве, и) = О, и Е Вы е Е Вэ..
(5.45) Действительно, умножив скалярно обе части равенств Аи = Л~ Ви, и е Вы и Ае = ЛэВе, е Е Яю на е Е Вэ и и Е Я1 соответственно, получим (Аи, е) = Л1 (Ви, е) и (Ае, и) = Лэ (Ве, и) . В силу симметричности оператора А имеем (Аи, е) = (Ае, и). Поэтому Л1(Ви,е) = Лэ(Ве,и), или (Л1 — Лэ)(и,е)в — — О. Поскольку Л1 ~ Лю то приходим к (5.45).
Предположим, что у уравнения (5.41) все собственные значения простые, а их множество счетно. Тогда набор собственных 236 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ и = ~а„чю,„ (5.46) с коэффициентами а„= (и, ы„) — — (Ви, ю„). Согласно равеи- сгаву Парсевалл, получим )1и11В = (и, и) — (Ви, и) = ~ а~. (5.47) пьа Отметим, что ряд в (5.46) сходится не только в Нв, но и в Н, поскольку для нормы в Н справедливо неравенство 11и11< < 711и11В, 7 ) О.
Для фиксированного У б Я и произвольного и Е Р(А) с учетом равенства А1ю„= Л„Вю„, и е Х, а также симметричности операторов А и В и линейности скалярного произведения имеем (Аи, 'У а„,иь,) ='~ а„(и,А|ю„)='~) а„(и,Виь,)Л„='~ азЛ„. вж1 значений можно представить в виде возрастающей последовательности (Л„). Пусть каждому из этих собственных значений Л„отвечает одномерное собственное надпространство 5„, содержащее собственный элемент и„б 5„, п 6 М, Тогда в соответствии с (5.45) будем иметь (и,„, и„) — О при гп ф и, т.е.
система (и„) ортогонвльна в энергетическом пространстве НВ. Если зта сисгпема к тому же является полной в НВ, то она будет в НВ счетиым базисом. Ясно, что если и„— собственный элемент уравнения (5.41), в соответствующий собственному значению Л„, то ы„=— 11е-11 в также является его собственным элементом, соответствующим Л„. Если система (и„) полна в НВ, то система (1ю„) собственных элементов 1ю„будет в НВ ортонормированным базисом, т.е.
(ю, ы„) = О при та ф и и 11и>„11 = 1, п Е 51. В этом случае любой элемент и б Р(А) можно представить в НВ рядом Фурье 237 5.4. Однородное операторное уравнение Отсюда при Ж -+ оо в силу непрерывности скалярного произ- ведения, используя (5.46), получаем (Ам, и) = ~~) а~Л„. (5.48) Замечание 5.5. Любой собственный элемент и уравнения (5.41), соответствующий собственному значению Л, является собственным и для уравнения (А+ сВ)и = ЛВи, (5.49) где с Е И, но будет соответствовать собственному значению Л(с) = Л+с. Действительно, подстанляя в (5.49) и и Л(с) вместо м и Л соответственно и учитывая (5.42), приходим к тождеству.
Таким образом, путем выбора константы с > О можно добиться, чтобы в неубывающей последовательности 1Л„(с)) собственных значений Л„(с) уравнения (5.49) наименьшее из них было бы положительным, т.е. Л1(с) > О, а оператор А+ сВ в (5.49)— положительно определенным. В самом деле, используя (5.47) и (5.48), при Л1(с) > О запишем ((А+ сВ)и, и) = ~у а~Л„(с) > Л1(с) ~~в аз = Л1(с) (Ви, и). вн1 вн1 Но для положительно определенного оператора В верно неравенство (Ви, и) > 7зйийз, Поэтому при выполнении условия Л1(с) > О оператор А + сВ будет положительно определенным.
Нахождение собственных значений и соответствующих им собственных элементов операторного уравнения составляет содержание эадамм ма собствеммые змамемил. Эти задачи для (5.41) с симметрическим оператором А и для (5.49) с положительно определенным оператором А+сВ эквивалентны в том смысле, что собственные значения связаны простым соотношением Л„(с) = Л„+с, м Е И. Поэтому без потери общности 238 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ примем, что оператор А в (5.41) является положительно определенным.
Тогда наряду с энергетическим пространством Нв можно ввести энергетическое пространство НА с энергетической нормой ((и~(~~ = (и, и)А — — (Аи, и), в котором система (и„) будет ортогональной: (мо ,из„)А —— (Аиэ ,ит„) = Л (Виэ ,яе„) = = Л (ит„„иь,)в = Л б 7Р Важные свойства собственных значений для операторного уравнения (5.41) с положительно определенными операторами А и В устанавливает следующая теорема. Теорема 5.6. Пусть все собственные значения однородного операторного уравнения Аи — ЛВи = 0 (5.41) образуют возрастающую последовательность (Л„), а соответствующие собственные подпространства 5„одномерны. Тогда для любого собственного значения этого уравнения с положительно определенными операторамн А и В справедливы равенства Л1 — — ппп ', Л„= ппп ', и > 1, (5.50) (Аи, и), (Аи, и) ве0(А11(01 (Ви, и) ' " вен (Ви, и) где й„— множество ненулевых элементов из О(А), ортогонвльных в Нв собственным элементам яеы Й = 1, п-1, т.е. удовлетворяющих условиям (Ви, ить) = О.
При этом минимум в (5.50) достигается тогда и только тогда, когда и — любой элемент, принадлежащий собственному подпространству Я„ уравнения (5.41), соответствующему Л„. й Рассмотрим сначала в (5.50) случай и = 1. Используя (5.47) н (5.48), запишем азЛ (Аи, и) аз 239 $.4. Однородное операторное уравнение причем равенство возможно лишь при условии а„= О, п > 1. Но тогда, согласно (5.46), и = а1а~1 Е Яы т.е. минимум в (5.50) может быть достигнут только на элементе, принадлежащем одномерному собственному подпространству Яы соответствующему собственному значению Л1. При и > 1 для элемента и Е И„С Р(А), удовлетворяющего условиям теоремы, в (5.46) коэффициенты аь = (и, твь) = О, й = = 1, п-1, так что и = ~~~ аьтпь. Ьно (5.51) Тогда, снова используя (5.47) и (5.48), запишем Е азЛь (Аи, и) (Ви, и) а=о причем равенство возможно лишь прн аь = О, й > п, т.е., согласно (5.51), минимум в (5.50) может быть достигнут только на элементе и = а„тю„Е 5„, принадлежащем одномерному собственному подпространству 5„, соответствующему собственному значению Л„.
~ (тв„, и)д —— Л„(тво, и), и Е Нд. (5.52) Теорема 5.6 устанавливает свойства собственных значений уравнения (5.41) в предположении, что они существуют. Рассмотрим частный случай (5.41), когда В = 1. Тогда эта теорема устанавливает условия существования последовательности (Л„) собственных значений Л„положительно определенного оператора А и полноту системы (тв„) соответствующих им собственных элементов тр„. В этом случае собственные элементы оператора А можно рассматривать как нетривиальные обобщенные решения тв„операторного уравнения Аи = Л„и в энергетическом пространстве Нд.
Равенство Аяв„= Л„чп„справедливо тогда и только тогда, когда 240 о. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ~ Рассмотрим ограниченный снизу функционал ,Уо1и) = —, и б НА, !!и!! > О, (5.53) !!и!!ЗА !! !!з' и обозначим через Л1 его точную нижнюю грань, причем Л1 > > Тз > О, где Тз — константа в неравенстве (Аи, и) > Тз!!и!!з для положительно определенного оператора А. Сначала докажем, что существует элемент яп1 е НА, для которого Уо1и~1) = Л~. По свойству точной нижней грани для любого т е 1Ч можно найти такой элемент и б НА, что Л1( 7о(и,„] = —" (~ Л1+ —. !! !!', !!и !!з т Переходя в неравенстве Л1 <,Уз~и 1< Л1+ 1/т к пределу при т -+ оо, находим 11~ 1~~~ )= йш =Л1.
!!и П оа-+оо оооо !!и !! (5.54) В неравенстве А)(ит+Фи)= з ~>ЛО и сНАу СЕЙ~ !!и,„+ 8и!!А !!и-+ М' заменим квадраты норм скалярными произведениями н запишем (и +Си,и +йи)А > Л,(и +Фи, и +Хи), Теорема 5.7. Пусть любое множество элементов и е Нд энергетического пространства НА положительно определенного оператора А, ограниченное по энергетической норме !!и!!А = = (Аи, и), является относительно компактным в гильбертовом пространстве Н.
Тогда этот оператор имеет неограниченную неубывающую последовательность (Л„) положительных собственных значений Л„, а соответствующие им собственные элементы и>„е 'ЙА образуют систему (яе„), полную как в НА, так и в Н. 241 оА. Однородное операторное ураененне или, используя свойства скалярного умножения, 1~(ЦиЦА — Л1ЦИЦ~) + 21((и, и)А — Л1(и, и)) + +Ци Ц~А — Л1Ци Ц~ > О.
Если квадратный трехчлен относительно произвольного 1 Е 1х не меняет знака, то его дискриминант неположителен, т.е. ((и, ),— (-, ))'< < (ЦиЦ~А — Л)ЦиЦ~) (Ци~ЦА~ — Л)Ци Ц ) ~< Ци Ц' < ))-))1())-.))1 -» ))--))*) =))-))1())))"„))()1 -») ))-.))' Очевидно, что зто неравенство справедливо и для элементов е = — е нд последовательности (о„),т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
