XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Перейдем к определению сопряженного оператора. Пусть А — линейный ограниченный оператор, переводящий нормированное пространство И в нормированное пространство 1У. Поставим произвольному функционалу,У е У в соответствие функционал Г, определенный в И по правилу ,У -+ Г е=» 1'(и) =.У(Аи), и е И. (5.71) Докажем, что функционал г', соответствующий функционалу ,У Е У", является линейным ограниченным, т.е.
Г Е И". Дей- Согласно теореме 5.14, из условия,У„, = О Е И* следует ие = О б И, н отображение 1Р является взаимно однозначным. Легко показать, что образом банахова пространства И при отображении 1Р будет некоторое подпространство И". Докажем, что отображение у сохраняет нормы соответствующих элементов. Выше было показано, что !!,1'„, !! < !!ио!!и. Согласно теореме 5.14, для любого ненулевого элемента ие Е И существует функционал Уе Е И*, такой, что !!Ре!! = 1 и ге(ие) = = !!ие!!и. Тогда,Уь0(Ро) = Ре(ио) = !!ио!!и и для ь сопряженные пространства н сопряженные операторы 265 ствительно, для любых имия Е И и а, 13 Е Е имеем Г(аи1+(3ит) =,У(А(аи1+диз)) = У(аАи1 +(3Аиз) = = а3(Аи1) + И(Аиг) = аГ(и1) + 13Г( иг) Следовательно, à — линейный функционал. Для любого элемента и Е И, удовлетворяющего условию Ми < 1 имеем )Г(и)) = ЩАи)! < Й УЙр '5Аи((р < йЩ1р.йА() ((и((р < 5Щ)у.'5Ай, где (! !)м и )! )(р — нормы в пространствах И и У, а йА)( — норма оператора А в нормированном пространстве Е(И,У) (см.
4.$). Таким образом, Г Е И", причем )(Г() < (),У()р*йА(). Итак, рассматриваемое соответствие между функционалами из У* и И' определяет отображение А*: У* — ~ И*, которое называют олератиороле, соирлжеииььм с линейным ограниченным оператором А, При этом используют обозначение Г= = А'У, так что равенство в (5.71) принимает вид (А"У)(и) =У(Аи), и ЕИ, У Е У*. (5.72) Теорема 5.16. Оператор А*, сопряженный с линейным ограниченным оператором А: И -~ У, где И и У вЂ” нормированные пространства, является линейным ограниченным, причем ~(А" (( = ((Ай. < Докажем линейность оператора А*.
Для любых Ум,Уз Е У, а, 13 Е Е и и б И с учетом (5.72) имеем (А'(а31 +133т))(и) = (аУ1+ Из)(Аи) = а31(Аи)+УЗУз(Аи) = = а(А*31) (и) + 11(А',Уз)(и) = (аА" У1 + 13А'Лз)(и). Теперь докажем ограниченность оператора А'. Для всякого элемента и Е И, 'йи((и < 1, учитывая (5.72), получаем )(А*У)(и)! = (,У(Аи)) < )Яр ЙАийр < < 'йф)р. ()А(Ии)(ы < (Щ~ '5А5. 266 $. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Следовательно, ЦА,УЦи = енр !(А У)(и)! < Ц,УЦи.ЦАЦ.
!М!и<1 Отсюда ЦА'Ц = янр ЦА"УЦи < ЦАЦ. ! ч!о <1 Для произвольного элемента ио Е И с нормой ЦиоЦи < 1, согласно теореме 5.14, существует функционал,Уо Е У, такой, что Ц,УоЦо* = 1 и,Уо(Аио) = ЦАиоЦр. Поэтому с учетом (5.72) имеем ЦАиоЬ = Уо( 4ио) = (4' Уо)(ио) < ЦА'Уели ЦиоЦи < < ЦА"УоЦи < ЦА" Ц ЦУоЬ = ЦА" Ц Следовательно, ЦАЦ = янр ЦАиоЦр < ЦА*Ц.
йоойи<1 Отсюда, учитывая доказанное выше неравенство ЦАЦ > ЦА"Ц, приходим к равенству ЦА'Ц = ЦАЦ. ~ Пусть 'Н вЂ” гильбертово пространство и А — линейный ограниченный оператор, действующий в 'Н, Так как Я" = 'Н, то сопряженный с А оператор А действует также в Я. Произвольный функционал У Е Я", согласно теореме 5.2 Ф. Рисса, можно представить в виде У(и) = (и, о), где и — некоторый фиксированный элемент из Я. Оператор А', сопряженный с А, ставит функционалу .У в соответствие линейный ограниченный функционал Р' по правилу Р = А*У с=ь Р'(и) = У(Аи) = (Аи, о), и Е Я. Однако, согласно теореме 5.2 Ф.
Рисса, г (и) = (и,и"), где о Е Я вЂ” элемент, однозначно определяемый функционалом Г. Д.5.1. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 267 Тогда имеем (Аи, и) = (та, и'), та Е 'И. Так как о Е Н отожде- ствленос /ЕЙ", ап*ЕЯ вЂ” с РЕЯ*, и АЙ=А*7, то можно положить о* = А*п. Следовательно, получаем (Ата, о) = (та, А'о), та, о Е Я.
(5.73) Равенство (5.73) соответствует определению сопряженного оператора в евклидовом пространстве [1Ч] и однозначно определяет оператор А*, сопряженный с А. Пример 5.8. Рассмотрим в гильбертовом пространстве Ьт[0,1] линейный ограниченный оператор (Аи)(с) = К(1,з)и(з)йз, и Е Ья[0,1], 1Е [0,1], о где К(1,з) — функция, непрерывная в квадрате [0,1]~. Для любых функций и, и Е Ьт[0,1], учитывал (5.73), имеем 1 1 (Ап, и) = н(1) К(1,з)и(з)Нз п1 = о о 1 1 — К(1,з) п(~) и(з) 11зйс = о о 1 1 и(з) К(1,з)н(1)Ю Ивсе (и, А*о).
о о Таким образом, сопряженный с А оператор А* действует по правилу (Аяи)(з) = К(1,з)и(1)й, иЕ Ьг[0,1], зЕ [0,1]. о 268 Б. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Найдем оператор А*, сопряженный с оператором А*. Для любых и, о Е Н с учетом (5.73) имеем (и, А**о) = (А*и, о) = (о, А*и) = (Ао, н) = (и, Ао). Следовательно, А"" = А. Линейный ограниченный оператор А: Н -+ Н называют самосопр,взсенным, если А* = А.
Тогда для любых и, о Е Н, согласно (5.73), справедливо равенство (Ан, о) = (н, Ао). Это соответствует определению симметрического оператора и определению самосопряженного оператора в евклидовом пространстве. Самосопряженными являются операторы многих уравнений математической физики. Например, самосопряженные операторы, действующие в комплексном гильбертовом пространстве, находят применение в квантовой механике. Дополнение 5.2.Критерий базисности системы функций Пусть  — банахова пространство, а В' — его сопряженное пространство, т.е. пространство всех линейных непрерывных функционалов в В.
Напомним, что система (х„) с В является замкнутой в В, если замыкание линейной оболочки этой системы совпадает с В [1Х). Систему (х„) с В называют минимальной в В, если для любого и Е г1 элемент хь 1с Хь, где Хь — замыкание линейной оболочки элементов (х„) при п~ Й. Систпему (х„,у„) пар элементов х„б В и у„б В' называют оиортоеональной, если у (хв) = В при п ф т, и биортпонормированной, если 11, п=т; ув (Хв) = [ п ~ т.
В конечномерном линейном нормированном пространстве элементы биортонормированной системы образуют биортогональные (или взаимные) базисы [1Ч). Д.Б.З. Критерий батисности системы функций 269 Пусть (х„, у„) — биортонормированная система. В этом случае (у„) называют сис!тлемой, соорлжеммоп с системой (х„). Если (х„) — замкнутая система в банаховом пространгтве В, то сопряженная с ней система (если она существует) единственна. Для существования у данной последовательности (х„) С В последовательности (у„) С В", образующей с (х„) биортонормированную гистему, необходимо и достаточно, чтобы система (х„) была минимальной в В.
Напомним, что систему (х„) С В элементов банахова пространства В называют базисом, если для любого элемента х Е В существует единственный ряд х = ~~! а„х„, (5.74) сходящийся к х по норме пространства В, где а„(х) — функционалы, определенные в В. Сформулируем критерий базисности системы функций в банаховом пространстве. Теорема 5.17.
Для того чтобы система (х„) С В была базисом в банаховом пространстве В, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись три условиун 1) (х„) замкнута в В; 2) (х„) минимальна в В; 3) существует такое число М > О, что для любых х б В и Ж Е Ы верно неравенство ~~~ь у„(х)х„~! ( М))х)), и=1 где (у„) — система, сопряженная с (х„). Следствие 5.3. Если (х„) — базис в В, то функционалы а„(х) в (5.74) являются линейными ограниченными функционалами и определяются в В равенствами а„(х) = у„(х), где (у„)— система, сопряженная с (х„). 270 а ОпеРАтОРы В ГильБеРтОВых пРОстРАнстВАх Дополнение 5.3.
Положительная определенность эллиптического оператора В ограниченной области Й е К с кусочно гладкой границей дй рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с переменными козффициентами —,г ~~! — (а;;(х) — ) + с(х) и(х) = 7'(х), х 6 й, (5.75) з=! 7=1 и граничными условиями (5.76) и(х)=0, хбдй!, ') ~!! ао(х) — и!(х) + в(х) и(х) = О, х Е дйз, (5.77) ди(х) дх! зм! 1=! (и, и) = ип!!й и ЦиЦ~ = и бй. (5.78) В соответствии с (5.75), (5.76) и (5,77) при помощи равенств Аи = — ~~! ~~! — (аб — ) + си, Фи = '~~~> аΠ— и.
(5,79) д ди ди на участках дй! с дй и дйз = дй'! дй!. Здесь и(х) 6 Сз(й)— искомая функция; а, (х) = ау,(х) й С (Й), с(х), Д(х) е С(й) и а(х) 6 С(дйз) — заданные функции; иу(х), ! = 1,о!,— направляющие косинусы единичного вектора и 6 Е внешней нормали к дй. Далее ограничимся случаем с(х) > О, х 6 й, и а(х) > О, х 6 дйз.
Рассмотрим гильбертово просгарансп!во Я = Ьз(й) у!уикиий, сумиируел!ых на Й с квадрап!ом, в котором скалярное произведение и норма определены соотношениями Д.Б.З. Полоиительиал определеииоеть эллиптического оператора 271 введем операторы А и М, которые имеют области определения 0(А) = Сз(й) и 21(У) = С!(дйз) соответственно, являющиеся линейными многообразиями в Ьз(Й). Нетрудно проверить, что зти операторы являются линейными.
Убедимся в том, что А является сальиетрическим оператпором. Используя (5.79), (5.78) и (2.99), получаем (Аи, е) — (Ао, и) = -ЖЙ(-:("Р)-. («Р)) = «и! Ха! = — / ~~> ~> а1 (е — — а — ) п,11(дй) = О, Р дп ди дх; аа '='1=' поскольку на дй1, согласно (5.76), и = е = О, а на дйз, согласно (5.77), а;.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
