XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(5.б5) »=1 Так как (ж„) — ортонормированная система, то (и»,ж„) = О, и = 1,Й, т.е. и» принадлежит надпространству Я», образованному элементамн, ортогональными жы аз, ..., а». Очевидно, что Я» — линейное многообразие, а его замкнутость следует из непрерывности скалярного умножения. Значит, М» можно Теорема 5.11. Пусть А — — вполне непрерывный симметрический линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Я, а (л„) — ортанормираванная система собственных элементов (не обязательно бесконечная), отвечающая последовательности (Л„) собственных значений Л„~ О. Тогда для любого элемента и Е Я справедливо разложение о.о.
Уравнении с вполне непрерывными операторами 251 рассматривать как гильбертово пространство. Если А» — сужение оператпора А на подпространство Н», то оператор А» действует из М» в М». Действительно, так как А»о = Ао для любого о Е 'Н», то при и = 1, й и о Е Я» имеем (А»о, х„) = (Ао, х„) = (о, Ах„) = (о, Л„х„) = Л„(о, х„) = О, Согласно теореме 5.10, верно равенство 0А»~! = ~Л»+1~. Поэтому в соответствии с (5.б5) для о» получаем 'О Ао»О = 'ОА»о»0 ( 'ОАЦ ОЩ = ~Л»+1~ Оо»О. Кроме того, в силу ортонормированности системы (х„) имеем 'ОЩ~= '01»О~ — ~~1 ((и, х„)~ < Ои0 .
Поскольку Л»+1-+ 0 при и-+ оо, а последовательность (~)о»)Ц ограничена, имеем (~Ат» — ~ (т», х„) Ах„~! = ОАо»0 -+ 0 при 1с -+ со. а=1 Следовательно, Л„(и, х„) х„-+ Ата при й -+ со, н справедливо разложение Аи=~ Л„(м,х„)х„.
ом1 252 5, ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Пусть теперь система (а„) конечна, т.е. (а„) ='(а„)„,. » Тогда элемент » и=и — ~~~ (и,ю„)а„ принадлежит подпространству М», которое образуют элементы, ортогональные аы аз, ..., а». Если А» — сужение оператора А на Я», то в силу теоремы 5АО оператор А» является нулевым, поскольку ни один собственный элемент оператора А, отвечающий отличному от нуля собственному значению, не принадлежит Я». Таким образом, Я» ='кегА и о 5'кегА.
Тогда » Аи = ~~> Л„(и, а„) а„, что завершает доказательство теоремы. Ь Теорема 5.12 (теорема Гильберта — Шмидта). Для любого вполне непрерывного симметрического линейного оператора А в гильбертовом пространстве 'Н существует ортонормированная система (х„) собственных элементов, отвечающих собственным значениям Л„~ О, такая, что любой элемент и 5 'Н единственным образом можно представить в виде — с»ая+ и~ где и 5 'кегА. При этом с„= (и,а„) для всех возможных номеров и.
4 Для любого элемента и 5 Я его рлд Фурье по ортонормированной системе (а„) собственных элементов сходится к некоторому элементу и~ Е Я [1Х]: 5,$, Уравнение с вполне непрерывными олераторами 253 Учитывая, что Аи„= Л„х„, получим Аиг= ~Л„(и, и„)и„, а поскольку оператор А непрерывный. Согласно теореме 5.11, также имеем Аи = ~~~ Л„(и, ~„) а„, Следовательно, Аи — Аиг = О б Я и элемент и — иг = о б 'нег А. Таким образом, и=го+о =~(и, ж„)ж„+о = ~> с„а„+о, где о б 'нег А, а ео 1.
о, поскольку о как собственный элемент, отвечающий нулевому собственному значению, ортогонален любому собственному элементу а„. Итак, искомое представление элемента и б Я получено. Докажем единственность этого представления. Пусть существует еще одно представление и = иг'+ о', где то'.1. о', о' б кегА. Тогда ел+ е = ел'+е' и ел — ел'= е' — о, причем (ео — ел',о' — о) = О.
Следовательно, то — ж'= о' — л = О 6 Н, а для элемента то разложение по ортонормированной системе (ж„~ совпадает с рядом Фурье элемента иг [1Х1, что и доказывает единственность полученного выше представления. ~ Следствие 5.1. Если Н вЂ” гильбертово селарабельмое лросглрансглво, А — вполне непрерывный симметрический линейный оператор в 'Н, то в Н существует ортонормированный базис, состоящий нз собственных элементов оператора А. 4 Для доказательства утверждения достаточно к ортонормированной системе (и„1 собственных элементов оператора А, отвечающих его ненулевым собственным значениям, добавить счетный или конечный ортонормированный базис подпростран- ства кегА, который в сепарабельном гильбертовом простран- стве всегда существует [1Х].
~ Следствие 5.2. Если нуль не является собственным значением вполне непрерывного симметрического линейного оператора А в гильбертовом пространстве 'Н, то в 'Н существует ортонормированный базис, состоящий из собственных элементов оператора А. Перейдем к изучению неоднородного операторного уравнения (5.60), в котором Л ~ 0 и А — вполне непрерывный симметрический оператор в гильбертовом пространстве Я. Пусть собственные значения Л„~ 0 и соответствующие собственные злементы а„оператора А известны, и злемент и 6 М является решением уравнения (5.60). Тогда, согласно теореме 5.11, имеем Л„(и, л„) л„— Ли = У.
в (5.66) Умножим скалярно обе части (5.66) на аь. Ль (м, хь) — Л (и, зь) = (~, хь) . (5.67) Если Л не равно ни одному собственному значению Ль, то для любого возможного к получим (у, хь) Ль — Л Тогда в соответствии с (5.66) искомое решение имеет вяд и = — ~~) (у, а„) ж„— -у. 1 Л„ 1 (5.68) Наоборот, если ряд в (5.68) сходится, то элемент и в (5.68) является решением уравнения (5.60). Ряд в (5.68) действительно сходится для любого у 6 Я, поскольку последовательность ан Уравненна с вполне непрерывнымн операторным 255 (о„) его частичных сумм фундаментальна.
Так как последовательность (Л„) сходится к нулю при и-+ оо, то сходится и последовательность ((„) ~ и, следовательно, она явля- Л„2 «(а» ) ется ограниченной. Поэтому для 1 > й имеем г ! ЦЯ1 — ЯвЦ = — ~т ! / !(у,х„)~ < М у ~(у,а„)!, тт=1т+1 о=/с+1 Ч21 где М вЂ” верхняя грань последовательности ( ( ) ). Л Ряд К;м*-)!' пм1 сходится (1Х). Поэтому для пронзвольного числа с > О найдется такой номер 1т', что ~(~, а„)~ < — при 1> й > Ж, омв+1 а значит, и Оо1 — оЦ2 < с при 1> Й < 1е'.
Если Л совпадает с некоторым собственным значением, которому отвечает собственное подпространство размерности пз, то Л = Л„, и = й,й+т — 1. В соответствии с (5.67) элемент У должен быть ортогонален собственным элементам ж„, и = = и, Й+т — 1, а значит, и собственному подпространству, отвечающему Л. В этом случае решение имеет вид 1 Со*о — — Ут (5.69) где с„— произвольные действительные числа для п = Й, Й+т-1 и с„= — " ' для остальных номеров и. Наоборот, если Л Л„-Л (У, ж„) = О, п = й, й+т — 1, коэффициенты с„для номеров и = = а, Й+т — 1 выбраны произвольно, а для остальных номеров 256 $, ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ с„= — — ', то ряд в (5.69) сходится, и элемент и, определя- Л„((у~, в„) Л Л„вЂ” Л' емый (5.69), является решением уравнения (5.60).
В случае, когда Л совпадает с некоторым собственным значением, но элемент у не ортогонвлен соответствующим собственным элементам, уравнение (5.60) не имеет решеннй. Пример 5.5. Найдем решение иив2егрального уравнения П рода 1 | (1+ 1в) и(в) Йв — Ли(М) = 2Ф вЂ” — — —. (5.70) 2 3 3' -1 Оно эквнвалентно операторному уравнению Аи — Ли = у, определяемому фувкциеи |'= 21 — — — — и оператором А: Ь2[-1 Ц -ь 2 $2 3 3 1 -+ 52[-1, Ц, действующим по правилу 1 (Аи)(1) = К(1,в)и(в)аз, и 6 72[ — 1,Ц, -1 где К(2,з) = 1+1з — непрерывная в квадрате [-1, Ц2 функция, " удовлетворяющая условию К(1,з) = К(в,1). Нетрудно докаэатья ь что в этом случае А является симметрическим вполне непре- . рывным линейным оператором.
Сначала найдем ненулевые собственные значения оператора А. Так как 1 1 (Аи)(Ф) = и(в)(Ь+1 ви(з)~Ь=а+Ы, и Е Ь2[-1 Ц1 то собственные функции необходимо искать в виде ср(Ф) = = а+ Ь2. Подставляя функцию ср(Ф) = а+ ЬФ в уравнение Аср = Лу, ° получаем 3.5. ураапепма е впоапе непрерыанымм операторами 257 или (Л вЂ” 2)а+(Л вЂ” 2/3)И=О, 261-1,1). Таким образом, собственным значениям Л1 = 2 и Лг = 2/3 отвечают собственные фуНКЦИИ ~г1(1) = — И ггг(1) = е -1 (ПРИ УСЛОВИИ ~(~716 = ~~~Ргй = 1) -2 —,2 и соответствуюшие одномерные собственные подпространства. Тогда при Л ф 2, 2/3 интегральное уравнение (5.70) имеет единственное решение, определяемое (5.68): 1 н(г) (2зг ЛЛ,2 — Л 1/21 3 3 1/2 -1 1 + 1~ 2~ ~ 2вг ) ~( — зЫз — 22~+ -+ -/ = 2/3 — ЛЧ2 ./ 3 3~~2 3 3/ -1 1 Г 1 2вз 2з 1 32 зз 1 1 2 — — ( — — — ) ~ — — ~ — 28~+ — + -) = Л1,2 — Л 3 3 -1 2 — ЗЛ9 -1 3 3) 1 Ля 2 = — ( — 2е~ — — + -).
Л 2 — ЗЛ 3 При Л = 2 функция ДФ) = 212 — — — — ортогональна функции 1 2 3 3 1 р1(1) = —, т.е. (/, у1) = О. Следовательно, в соответствии с (5.69) имеем решение 1 и(1) = — + ~( — 1 / (2з~ — — — -) 1у1 — ваяв ~2 2(2/3 — 2)Ч2 ./ ~ 3 3)~2 -1 1~ г г 21 с1 1 г е 1 г — -(22 — ---) = — + — -г +-+-=с-г +-, 2Л 3 3) 1/е2 12 6 3 4' с~ 1 где с1 Е аь и С = — + — — произвольное деиствительное число. ~/2 3 При Л = — функция Дс) = 212 — - — — не ортогональна функции 2 г 1 2 3 3 3 Уг(г) = /-Ф, так что интегральное уравнение (5.70) решений У 2 не имеет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
