XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Погрешности приоднженных методов решению и'((), но теперь в (6.6) 11Щ следует заменить на ))т'„6, что приводит к неравенству !(и (Π— и'(01)с(.,ь) <!11' 1)о +!Нl.(Х.и ) — и')1с(.,в) < Мдд (Ь вЂ” а) (Ь вЂ” а) М4 (Ь вЂ” а) 416 ( )4 — 1 16 ( 1)4. Таким образом, при линейной интерполяции скорость сходимости последовательности (и,',(~)) была пропорциональна 1 ,, а при использовании (6.14) стала пропорциональной (п — 1)~ 1 (л — 1)~ 6.2, Погрешности приближенных методов При поиске приближенного решения операторного уравнения вида (6.1) неизбежно возникновение погрешностей. Их источники ~вязаны со следующими основными причинами: неточностями в задании оператора и правой части (6.1) при постановке задачи, погрешностями применяемого метода решения (6.1) и вычислительными погрешностями.
Рассмотрим сначала первую причину возникновения погрешностей, записав вместо (6.1) уравнение (А+ ЬА)и = ~+А~, и Е В(4) С М, У Е й(А) С 'Н, (б 15) где 1зА и Ь| Е й(ЬА) — искажения в операторе и правой части (6.1) соответственно, причем О(ЬА) Э О(А) и В(ЬА) С Н(А). Предположим, что операторы А и ЬА являются линейными ограниченны.ии и существует обратный оператор А 1, а искажения в операторе А достаточно малы, т.е. ЙА 11дАЙ < д < 1.
Тогда, согласно теореме 4,18, оператор А+1зА имеет обратный оператор 5 = (А+ 1чА) ' = А 1(1+ А 1ЬА) ', причем < учетом (4.35) и (4.37) 6Щ < —. Это означает, что суще- ))А ~ 1( 1 †о ' 294 е. пРиБлиженные АнАлити ческие метОды ствует единственное решение и", удовлетворяющее (6.15): (А+ ЬА)и = у+ ЬУ. (6.16) Из (6.16) вычтем равенство Аи' = у, где и' — решение (4.37) н запишем А(и' — и') = -ЬАи*+ Ь~.
Отсюда, учитывая неравенство треугольника и (4.26), получаем ((и" — и'!! ( !(А ~ ЬА(! ((и'(!+ ((А ~ (! !!ЬУ(! ( ( д((и*!!+ !(А ~((((ЬД!. (6.17) Такую оиемму погрешмоспзи ((и* — и'!! называют апостериормой (по латыни а роееепоп — из последующего), поскольку ее можно получить лишь после решения (6.15), уже располагая элементом и*. Из (6.15) с учетом оценки морим оператора Я = (А+ЬА) имеем и" = 5(у+ Ьу) и ((и*(! < ((у+ Ь|(!.
(!.4 '!! Тогда, подставляя ((и*(! в (6.17), находим априормую оиемму погрешмоспзи (по латыни а рпоп' — из предыдущего) (! А ' (! ((и* — и'!! < (д((Д+ (!ЬД). (6.18) Для практического применения оценок (6.17) и (6.18) необходимы значения !(А '(! и а, нахождение которых часто является непростой самостоятельной задачей.
Из (6.16) и равенства Аи' = у получим (А + ЬА) (и* — и') = -ЬАи' + ЬУ. 6.2. Погрешности приближенных методов 295 Отсюда с учетом неравенства треугольника, (4.26) и оценки для нормы оператора 5 находим ()и" — и')) <))(А+ЬА) 'ЬА))))и'()+)((А+ЬА) '))))ЬУ)) < < ()(ЬА)!'йи''й + 6Ь|и). (6.19) Обозначим р(А) = цА)(()А 'ц (в конечномерном случае р(А) называют числом обусловленности мапьрицы оператора А). Тогда, если ))А '))))ЬА)) < 1, приняв у = ))А 1й))ЛА)), из (6.19) получим 'йа' — и')) < р(А) ))Ай ((А)) — 'йи'))+— )1ЬА)( е !!СЪУ11 В~А)) 1 — р(А)— ))А)) Поскольку цД < йА)) 'ци'(), приходим к априорной оценке для относительной погрешности 'йи" — и')) р(А) ('0ЛАй (~~уЦ Ь!! -', „(А))Р4)~ !!А!1 '!)Л/ ))А)) Отметим, что оценка (6.20) зависит от относительных погрешностей в операторе и правой части (6.15). Ясно, что при выполнении условия р(А) — = д < 1 и больших значениях ))й А)) ))А)) р(А) правая часть (6.20) может существенно превысить сумму )(ЬА~! ))ЬУ|) йА)) йЯ Прежде чем рассматривать остальные причины возникновения погрешностей, предположим, что мы располагаем приближенным решением и„уравнения (6.1), полученным в действительности как итог приближенного решения уравнения (6.!5).
Пусть при подстановке и„в (6.15) возникает невязка б = (А+ ЬА)и„— у + Ь|, т.е. и„удовлетворяет не (6.15), а уравнению (А+ЬА)и„= у+Ь|+б. Поэтому, зная невязку 8, 296 и НРНБЛНЖенные АНАЛИТИЧЕские мГГОДЫ можно получить апостериорную оценку относительной погрешности приближенного решения ип, если в (6.20) заменить |!ЬД)! на !(Ьу()+ !)я)!: !!и — и'(! И(А) Г!1~.4!! )!ЬУ!!+ (Щ -,,!!-!! !!ч !~х!! ) )(А!! Погрешность метода приближенного решения (6.1) путем замены этого уравнения на (6.2) можно оценить при помощи теоремы 6.1. Но в действительности при замене (6.1) на (6.2) возникают дополнительные погрешности, так что вместо (6.2) приходится решать „возмущенное" уравнение (Ап+ЬАп)~п ='цп+Ьрп, ~Ъф~ Е В(Ап), (6.22) причем Р(ЬАп) С Р(Ап) и Н(ЬА„) З й(Ап).
Сравнивая (6.22) с (6.15), приходим к выводу, что по аналогии с (6.20) будем иметь априорную оценку относительной погрешности решения (6,2) в виде !!ж„— а'„!! п(А„) (!!ЛА„(! !!Луп!!'! )!*'.)! 1 И(А„) ~~~""~! 1, (!Ап!! !Ьп!! /' ()А !! где ж'„и ж„— решения (6.2) и (6.22) соответственно, а ц(А„) = = ))Ап)! )!А„')!. В действительности за счет вычислительных погрешностей при решении (6.22) вместо ж„получим элемент ж„6 Р(Ап), подстановка которого в (6.22) приведет к невязке б„. Замена в (6.23) )!Ьу„!! на ((Ьу„(!+ )ф„(! позволяет получить апостериоро ную оценку относительной погрешности ", ", вызванной )!Хй)! совместно второй и третьей причинами. Наконец, следует оценить погрешность Лип, возникающую при переходе от решения а'„уравнения (6.2) к приближенному решению ип = Р„(ж'„) уравнения (6.1).
Учитывая возможное 297 На Метод мааого параметра искажение Л(У„оператора Г„и погрешность Ье'„= е„— ж„' решения (6.2), находим и„+ Ьи„= Г„(е'„) + Ьи„= (Г„+ Л1' ) (а„'+ Ьж'„), или, считая операторы о'„и ЛГ„линейными, ((1 + д (1 ) е о + ~~ ° о Отсюда с учетом неравенства треугольника и (4.26), получаем априорную оценку абсолютной погрешности !)Ьи„)! = !!(о'„+ М7„)Ье„+ Ы/„ж„!! < Чтобы учесть еше и вычислительную погрешность, достаточно к !!Ьж„'!! добавить норму невязки !!о„!!, где б„= й„— (Е1„+ ЬГ„)(е,', + Ье'„), а Й„Е О(А) — элемент, вычисленный в итоге перехода от решения (6.2) к приближенному решению (6.1). Тогда придем к апостериорной оценке абсолютной погрешности 6.3. Метод малого параметра Пусть в банаховом пространстве В задано опсрагпорно< уравнение Ви = у, и, у Е В, где  — линейный ограниченный оператор из банахова пространства С(В) линейных ограниченных операторов. Пусть оператор В можно представить в виде 298 и.
пРиБлиженные А нАлити ческие метОДы В = Во — ЛА, Л ф О, где Во имеет известный или достаточно просто получаемый обратный оператор Во ' 6 с.(В). Поскольку в Е(В) определено умнов»еение операторов, запишем Ви =(Во — ЛА)и = Во(1 ЛВо' 4)и = У УЕВ, (6 24) где 1 — тол»едественны»1 оператор. Согласно теореме 4.18, оператор 1 — ЛВо'А е Е(В) при (Л('ОВв 'АО < »7 < 1 имеет обРатный опеРатоР о = (1 ЛВо А) =,~ Л (Во А)~ (6 25) л=о причем (В 'А)о = 1.
Таким образом, выбирая параметр Л достаточно малым по абсолютному значению, можно обеспечить существование обратного оператора о' Е с,(В). Используя (6.24) и (6.25), из равенств ВБВо =Во(1 — ЛВо А)(1-ЛВо А) Во =1 ЯВо»В=(1 — ЛВо»А)»Во»Во(1 — ЛВо~А) =1 и теоремы 4.1 устанавливаем, что оператор ЯВо ' является обратным к В. Поэтому, учитывая (6.25), находим решение уравнения (6.24) в виде и=ВВо~У вЂ” '~, 'Л (Во~А) Во~У=Я Л А 'и (626) ь=о ь=о где А= В ~А и й= В ~1.
Из условия существования обратного оператора Я получаем, что ряд в (6.26) сходится, если ~Л( < 1 ~!В»А~~' Из (6.26) получим приближенное решение (6.27) 299 В.З. Метод малого параметра Вычитая (6.27) из (6.26) и оценивая полученную разность по норме, найдем оценку погрешности приближенного решения (6.27): ]]и — иьс[]в = ~~ ~~ь Л А~а]] < ~~с ]Л]~[]А~и]]в < /с = с'с'+ 1 /с се с сс+ 1 < ~ ]Л]~][А]]~Щ]в = ][Цн. (6.28) (]Л] []А[])"+ 1 — ]Л] []А[] Пример 6.2. Пусть для интегрального уравнения Прада и(с) — Л К(~,1) и(1) л]1 = ['ф), о (6.29) 9 = ]Л[(6 — а) плах ]К(С,1)] < 1.
б Ш[е,Ь] (6.30) Представим (6.29) в виде операторного уравнения (Во — ЛА) и = = 7", где Во = 7, а А — оператор, который ставит в соответствие функции и б С[а,6] функцию и е С[а,6] по правилу о(~) = К((, [) и(1) ь[1. а Таким образом, А: С[а,6] -+ С[а,6]. С учетом (6.30) и примера 4.17 имеем Ь ]]Аи]]ел[а,ь] = шах ]и(ье)] = шах ~'К(нес[) и(1) Й (( ли[о,ь] Ье[о,ь],/ а Ь < шах]К((,ь')и(ь')]Й< 9]! и []с[.,ь] ЬЕ[о,Ь] о где Л ф О, и,7" Е С[а,6], ядро К(С,Ь) является непрерывной в квадрате [а, 6]л функцией и выполнено условие 300 и. пРиБлиженные АнАлитические метОДы и=~~ь Л~А~ь, я=о (6.31) причем в данном случае Ао~ = у, А1'= Ь2ь, где Ь 2®= КЫ 1)1(1)~11 О Представим в явном виде оператор Аь, я ) 1. Обозначим К1(С,1) = К(С,1). Тогда можно записать А2 (' = уз, где р2(4) = КЯ,т) Ь2ь(т) ь(т = К(~,т) дт К1(т,1) 1'(1) й = а а а ь Ь вЂ” У(1) ь11 К((,т) Кь(т,ь) с1т.
а а Обозначая К2Я,Ь) = КЯ, т) К1(т,1) 4т, а приходим к равенству ь22К) = К2(с 1) Ф) й. а Отсюда в соответствии с (4.26) следует, что 6Ай < ~ч, или (Л~()В,,'АЙ < е < 1, так как в данном случае Во =!. Таким образом, полагая в (6.26) А = А и й = Вп ~~ = 1~ = 1', для искомой функции получаем 301 б.З. Метод малого параметра Используя метод математической индукции, нетрудно пока- зать, что Аь~ = уа, где уа(~) = КяЯ,1) Я) Й1, а причем для нахождения ядра Ка(с,1) имеем рекуррентную формулу ь КЯД = Щ т) Кь-1(т44т, й = 2,3, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
