XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Так как сходимость последовательности функций как элементов банахова пространства С[а, о] эквивалентна сходимости этой функциональной последовательности на отрезке [а, Ь~), то (6.31) равносильно равенству и(с) = Я)+~ Л" рь(О, с Е [а, о), (6.32) /см1 причем ряд в правой части этого равенства сходится к функции и(~) равномерно на отрезке [а,6). Рассмотрим некоторые частные случаи.
В уравнении (6.29) положим а = О, 6=1 и К(с,1) = с< '. Так как п1ах [КЯ,1)! = е, то условие (6.30) будет выполнено при б Фе[ол] )Л[ < 1/е. В данном случае К1(~,1) = е~ ' и (-~ т-й,( (-с Значит, для любого номера й имеем К~((,1) = ес ' и А» = А. В соответствии с (6.32) и формулой для суммы членов геометри- 302 6, ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ческой прогрессии получаем 1 1 г с Ле< Г в(С) =/(С)+~~ Л" ~ е1 '/(1)с(1=/(С)+ — е с/(1)си.
1=1 о о Пусть теперь в (6.29) а= О, 5 = 1 и К(С,1) = 2с — 1. Тогда 1 условие (6.30) будет выполнено при (Л~ ( —. Найдем приближен- 2 ное решение уравнения (6.29) для /(С) = 1. В (6.27) ограничимся значением Дс = 2 и в соответствии с (6.32) вычислим 1 ср1(с) = (2с — 1) й = 2с — —, о 1 2 1 К2Я,1) = (2~ — т)(2т — 1) с(т = 2( — 2~1 — — + —, о 1 2 11 2 1 5 р (сс= 1' (сс — со — — с--1 с~ =сс — с — — с- — =с — —. 3 2 3 4 12 о Тогда приближенное решение примет вид нг(~) =1+ (2~ — -)Л+ (4 — — )Л'. Нетрудно проверить, что точным решением уравнения (6.29) в рассматриваем случае является функция 2~ — 1/2 — Л/6 1+ 24'Л вЂ” Л Л/2+ Л2/6 1 Л/2+ Л2/6' 1 которая также является линейной.
При Л = — различие при- 2 5 21 ближенного и точного решений существенно: и2(с) = 44+— 1,2500С+0,6456 и и(С) = — С+ — в 1,4118С+0,7059, но уже 6.4. Общий случай метода малого параметра 808 при Л = — имеем из(~) = — С+ — в 0,5625с+ 0,8490 и и(С) = 48 72 = — С+ — 0,5783С+ 0,8675, т.е. коэффициенты отличаются не 83 83 более чем на 2%. 4 Рассмотренная сравнительно простая процедура построения приближенного решения носит название лаетпода малого аоролаеизра. Однако если в операторном уравнении Ви = = у оператор В не является линейным ограниченным, то этот метод становится более громоздким.
Модификация метода потребует введения ряда дополнительных понятий. 6.4.Общий случай метода малого параметра Пусть Л вЂ” некоторый промежуток числовой прямой, 77— нормированное пространство, а ям Л -+ Р— функция действительного переменного Л, имеющая область определения Л и область значений в Р. В нормиронанном пространстве 77 с нормой )( )! элемент а Ей называют пределом функции м(Л) в точке Ло Е Л, если !/та(Л) — аЦ-+ 0 при Л ~ Ло, и пишут а = !1ш м(Л), или м(Л) -+а при Л вЂ” э Ло. л-+ле Функцию и(Л) называют непрерывной в точке Ло Е Л, если !)и(Л) — и(Ло)1~ -+ 0 при Л -+ Ло.
Отметим, что функция та является отображением метрических пространств. Поэтому введенные выше понятия предела и непрерывности функции в точке соответствуют понятиям предела н непрерывности отображения метрических пространств в точке [1]. Если существует предел м(Л) — м(Ло) л-+л, Л вЂ” Ло то элемент и'(Ло) называют производной функции а(Л) в точке Ло. Производные высших порядков определяют (как и для 304 6.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ действительной функции действительного переменного) последовательно. Если м(Л) имеет в точке Ла производные любого порядка, то говорят, что функция и(Л) бесконечно дифференцируема в точке Ла. Пусть (и„(Л)) — последовательность функций и„: Л С К вЂ” + -+ И. Тогда можно рассматривать функциональный ряд ~~! и„(Л), н=! (6.33) элементами которого являются функции действительного переменного Л б Л с областью значений в нормированном простран- ствеИ. На такие ряды можно перенести все понятия, введенные для функциональных рядов в случае И = яс [)Х].
Напомним, что при фиксированном Л 6 Л ряд (6.33) как ряд элементов нормированного пространства И сходится к некоторому элементу и(Л) 6 И, если к этому элементу сходится последовательность (5ь(Л)) частичных сумм 5ь(Л) = ~ и„(Л) и=! этого ряда, т.е. !пп !~~ м„(Л) — и(Л)~! = О. =! Если при некотором Л 6 Л сходится числовой ряд с элементами ]]и„(Л)!!, то ряд (6.33) называют абсолютно сходящимся в точке Л 6 Л. Отметим, что если И вЂ” банахова прас!иране!пап, то абсолютно сходящийся ряд сходится к некоторому элементу и(Л) 6 И (!Х].
Множество всех точек Л б Л, для которых ряд (6.33) сходится, называют областью сходимости этого ряда, а множество всех Л, для которых он сходится абсолютно — областью 6.4. Оопосй случай метода малого параметра 305 абсолютной сходимости. Говорят, что ряд (6.33) сходится к функции и(Л) равномерно на множестве Л С К, если для любого с > 0 найдется номер Л', зависяший только от с, такой, что для всех Л Е Л и /с > Л! справедливо неравенство )]5ь — и(Л) й < с. Для рядов вида (6.33) в банаховом пространстве !л' справедлива теорема, аналогичная признаку Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда ()Х]: если для всех Л е Л справедливы неравенства йи„(ЛН < а„, и Е И, и ~; оп < ао, то п=1 ряд (6.33) равномерно и абсолютно сходится на множестве Л. В дальнейшем эту теорему также будем называть признаком Вейерштрасса равномерной сходимости ряда. Ряд ~~! иь(Л вЂ” Ло), иь ЕР, Л, Ло Е К ь=о (6.34) элементов нормированного пространства ос' назовем степенным рядом с коэффициентами из нормированного пространства Р.
и(Л) = ~~! и„(Л вЂ” Ло)", (6.35) п=о Так как в (6.35) можно ввести новое переменное Л вЂ” Ло = р. то в дальнейшем без ограничения общности принимаем Ло — — 0 и вместо (6.35) будем рассматривать ряд и(Л) = ~) и„Л". (6.36) Как и в случае действительных рядов, здесь справедлива теорема Абеля (!Х], которую можно сформулировать следующим Определение 6.1. Фуккиию и(Л) Е !л' называют пкплитпииескоб в точке Ло Е К, если ее можно представить в некоторой окрестности этой точки сходяшимся (по норме )] (!) рядом вида (6.34), т.е. 306 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ образом: если степенной ряд (6.36) с коэффициентами из банахова пространства Ы сходится в некоторой точке Ле ~ О, то он сходится абсолютно в каждой точке интервала ( — )Ле(, (Лео и сходится равномерно на любом отрезке ( — г, г), где г < (Ле(; если же этот ряд расходится в некоторой точке Л1, то он расходится и в любой точке Л, для которой )Л( > (Л1(.
Отсюда следует, что для всякого степенного ряда (6.36) с коэффициентами из банахова пространства Р существует такое число Н > О, что: 1) прн (Л~ < Н этот ряд сходится, причем абсолютно; 2) прн (Л~ < г < Н он сходится абсолютно н равномерно; 3) при (Л) > Н этот ряд расходится. Число Н при этом называют радиусом сходимости этого ряда, а промежуток ( — Н, Н) — интервалом сходимости. Из теоремы Абеля следует, что радиус сходимостн можно определить соотношением Н= епр(Л! > О.
лей При Н = О ряд (6.36) сходится в единственной точке Л = О, а при Н = оо этот ряд сходится при любых значениях Л. Оценку снизу для радиуса сходнмости устанавливает следующая лемма. Лемма 6.1. Для радиуса сходимости степенного ряда (6.36) с коэффициентами из банахова пространства Р справедлива 1 оценка Н > —, если существуют такие постоянные М > О и и > О, 1 что в (6.36), начиная с некоторого номера и 6 1Ч, ((и„~( < М/с". < Достаточно показать, что при (Л! < — „ряд (6.36) сходится. 1 Пусть ~Л(к = д < 1, Тогда, начиная с некоторого номера и 6 1ч, имеем )/и„Л" /( = //и„(/ )Л!" < М()Л!/с)" = Мд".
Так как члены геометрической прогрессии Ме" образуют при е < 1 сходящийся числовой ряд, то ряд (6.36) в силу признака Вейерштрасса сходится, причем абсолютно и равномерно. ~ бмь Общий случай метода малого параметра 307 Теорема 6.3. Сумма и(Л) степенного ряда (6.36) с коэффициентами из баиахова пространства й непрерывна при )Л) < Н, где Н вЂ” радиус сходимости этого ряда. < Поскольку ряд (6.36) в интервале ( — Н, Н) сходится абсолютно, то ряд с действительиыми членами ((и„((Л" также сходится при )Л( < Н, и его можно почленно дифференцировать в этом интервале ((Х), Ряд с членами п((и„йЛ" ' сходится при (Л! < Н. Пусть Ло Е (-Н, Н). Тогда для некоторого числа р Е (О, Н) справедливо неравенство (Ло~ < р.
Обозначим С(р) = ~ п()и„Йр" (6.37) Выберем любое число Л, для которого )Л! < р. Поскольку и(Л) — сумма ряда (6.36) для Л Е ( — Н, Н), то и(Л) — и(Ло) = ~~ь и„(Л" — Ло) = ««1 =~~ь и„(Л" '+Л" зЛ +...+Л" ')(Л вЂ” Ло). ««1 Отсюда, учитывая (6.37), получаем йи(Л) — и(Ло) (( < < ~~ /(и„/(0Л!" '+ (Л/" ~(Ло/+...+(Ло/" ') /Л вЂ” Ло/ < С(р) /Л вЂ” Ло! «ам и поэтому функция и(Л) непрерывна при ~Л( < Н. р 'См.: Треноеои В.А. Степеииые ряды вида (6.36) с коэффициентами из банахова пространства Й, так же как и ряды с действительными членами, можно бесконечио много раз дифференцировать почленно в интервале сходимости.
Справедлива следующая теорема'. 308 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Теорема 6.4. Сумма и(Л) степенного ряда (6.36) с коэффициентами из банахова пространства Р, имеющего радиус сходимости И, является бесконечно дифференцируемой функцией в любой точке интервала ( — И, И), причем для любого й Е 1Ч имеем и1~1(Л)=~ п(п — 1)...(п — 1+1)и„Л" ", ЛЕ( — И,И), (6.38) ~~я где и1~1(Л) — производная /с-го порядка функции и(Л).
Пусть функция и(Л) со значениями в банаховом пространстве И бесконечно дифференцируема в точке Л = О. Тогда степенной ряд и1 "1(0) и(Л) = ~~) ™, Л", (6.39) где и1"1(0) — производная и-го порядка функции и(Л) в точке Л = О, причем и1о)(0) = и(0) и О! = 1, называют рядом Тейлора функции и(Л). Теорема 6.5. Степенной ряд (6.36) с коэффициентами иэ банахова пространства й, сходящийся в интервале (-И, И), является рядом Тейлора своей суммы и(Л). < Если при Л 6 (-И, И) справедливо (6.36), то в силу теоремы 6.4 в любой точке Л интервала (-И, И) существуют производные и1"1(Л), /с Е В, функции и(Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
