XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 45
Текст из файла (страница 45)
ьж1 Однако в случае произвольного базиса (оь), даже если определитель матрицы СЛАУ (6.80) отличен от нуля, нельзя утверждать, что последовательность (йч) приближенных решений вида (6.79) при Х -+ оо сходится к классическому ие или слабому и решениям уравнения (6.75). При некоторых ограничениях ответ на вопрос о сходимости (й5) к иа или к и. удается решить теоретическим путем (см. Д,6.1). Однако на практике часто приходится ограничиваться лишь сравнением между собой нескольких приближенных решений.
Описанная схема построения приближенного решения уравнения (6,75), приводящая к СЛАУ (6.80), лежит в основе большой группы приближенных аналитических методов, которые обычно объединяют под общим названием ме~код ортнозональныи нроекций. Такое название объясняется тем, что равенства (6.80) представляют собой условия ортогональности элемента Айн — у всем базисным элементам оь Х-мериог о надпространства йн(А). При этом функции и„, п = 1, Ю, которые и~пользуют для представления приближенного решения (6.79), называют базисными, а функции оь в СЛАУ (6.80) -- нроекционными. 326 б.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ А НАЛИТИВЕСКИЕ МЕТОДЫ Метод ортогональных проекций является частным случаем проекционного метода, в котором условия равенства нулю проекций неелзми Айв7 — у" оператпорноео уравнении на элементы иь, й = 1, Ф, базиса Х-мерного подпространства Яв7 С 11(А) имеют более общий вид (см. Д.6.1). Если К(А) С С Ьэ(К), то чаще метод ортогональных проекций называют мееподом взвешенные неелзоее. В этом случае счетный базис в Й(А) будет образован последовательностью (иь) действительных функций ив, Й б г),так что (6.80) можно рассматривать как У условий равенства нулю определенного в Ьэ(К) скалярного произведения невяэки операторного уравнения и весовые фунне4ий ов, й = 1, Х.
Иногда процедуру применения (6.80) называют метподом леоментпое, или методом Гвлеркина— Петрова'. Особенности каждого конкретного метода в группе методов, определяемых условиями (6.80), зависят от выбора счетных базисов в В(А) и й(А). Такие методы рассмотрены ниже. 6.6. Коллокации в подобластях и в точках Рассмотрим один иэ наиболее простых приемов нахождения приближенного решения операторного уравнения Аи = у (6.75). Пусть области определения 0(А) и значений Н(А) оператора А, входящего в (6.75), являются всюду плотными подмножествами гильбертова пространства 7 э($') функций, суммируемвгл (интегрируемых по Лебегу) с квадратом в области $/ С Кто Разобьем 1' на У подобластей Ъл, й = 1,М, так, чтобы выполнялось равенство 'Б.Г. Гаверкин (1871-1945) — российский инженер и ученый в области механики.
Г.И. Петров (1912-1987) — российский ученый в области меха- 6.6, Коллокацмм и подобластях и в точках 327 где Уа Г1 У~ = к при й ф1, причем мера Лебега множества У ~ Уе равна нулю. Для любого к = 1, Ю примем 1, абУа; пл(«) = О, хЕ У~Уа. (6.81) Используя схему построения метода ортогональных проекций, приближенное решение уравнения Аи = у будем искать в виде (6.79) Ю й,Ч = ~авиа, (6.8п а=1 И Ъ'х поскольку в Ьз(У) с учетом (6.81) (Аи„, оа) = Аи,ра дУ = Аи„дУ, (~,оа) = асяс(У аа ~НУ.
Описанную процедуру поиска приближенного решения уравнения Аи = у" называют ме«ходом «оллокаа1ии и «одоблос«зла Уы Й = 1, Х (по латыни со11оса11о — размещение, расстановка), или методом розде векил облас«аи У. Пример 6.5. Особенности эрименения метода коллокапии в подобластях рассмотрим на примере хорошо известной где и„, и = 1, М, — первые Ю злементов счетного базиса в П(А), а М козффициентов а„являются решением системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида (6.80) 328 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Рис. 6.3 Е1. =д, хЕ(0!), ,ею(х) (6.83) и граничным условиям ю(0) — ю(1) — О. Фю(х) ( Фю(х) Перейдем в (6.83) и в граничных условиях к безразмерным величинам, обозначив С = — и и(Я) = Е1.
в(4 ! ли 14п(Д =1, сб(0,1), и(0)=п(Ц=, ~ = =0. Рц(с) ( ~(зи(с) ,1~2 ~ ,1~2 (6.84) Решение краевой задачи (6.84) можно получить последователь- ным интегрированием и нахождением произвольных постоян- ных нз граничных условий. задачи из курса сопротивления материалов, имеющей точное решение. Пусть шарнирно закрепленная на концах балка имеет постоянную цо ее длине 1 жесткость Е1, на изгиб (с, — — модуль упругости материала балки, 1. — геометрический момент инерции ее поперечного сечения) и нагружена равномерно распределенной по длине поперечной нагрузкой д = сопеФ (рис.
6.3). Зависимость поперечного прогиба ю(х) балки от продольной координаты х удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) четвертого порядка о.о. Еохаокации в подооластвх в в точках 329 Дважды интегрируя дифференциальное уравнение в задаче (6.84), получаем вЫ) 1 2 = -12+ С16+ С2 и из условия —,~ = 0 находим Сз — — О, а затем из условия ~' Ы)~ 44' ~~м И~о(4)~ — = 0 вычисляем С1 = — —, так что можно записать 1 442 2' промежуточный результат в виде ОДУ второго порядка пя и(Я) (~ пС2 2 2' — — 5 Е (О, 1), (6.85) ~4 ~3 и(ь) = — + Сзь + С4 24 12 Из условия и(0) = 0 следует, что С4 — — О, а затем из условия 1 и(1) = 0 вычисляем Сз — — —. В итоге получаем 24 ~з и(с) = — — — + —. 24 12 24 (6.86) Найдем теперь приближенное решение краевой задачи (6.84) методом коллокации и сравним с точным решением.
Точность приближения будем оценивать по отличию приближенного решения от точного в точке максимального прогиба балки. Для точного решения из необходимого условия зкстремума функ-' ции и(с) ,(в(ь) ~з — = — — — + — =0 Н~ 6 4 24 с граничными условиями и(0) = и(1) = О. В свою очередь двукратное интегрирование (6.85) дает 330 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ находим стационарную точку С = †, в которой зта функция 1 имеет максимум, так как из (6.85) следует, что — „, (0 прн Фи(4) С б (О, 1).
В этой точке максимальное значение безразмерного прогиба балки в соответствии с (6.86) равно 5 и" = ~ 0 01302 384 (6.87) а ЫС = с1С, или Отсюда а1 — — — 0,01613, т.е, в этом приближении максималь- 1 1 ный безразмерный прогиб и1 = — балки примерно на четверть зхз превосходит его точное значение й в (6.87). При д1 = 2 имеем из(~) = а1я)пхС+ азя1п2х~. Точкой С = = 1/2 разобьем отрезок [О, Ц на два промежутка $~1 = [О, 1/2) и Оценим теперь это значение при помощи метода коллокации. В (6.84) операторное уравнение содержит линейный опера- И тор А = — определенный на всюду плотном линейном .иио- ~~ 4 сообразив Х С 7,1[0, Ц четырежды непрерывно дифференцируемых на отрезке [О, Ц функций.
В качестве счетного базиса в этом подпространстве выберем систему функций я1пияС Е Е П(А), и е 1Ч, удовлетворяющих однородным граничным условиям краевой задачи (6.84). В методе коллокации сначала ограничимся случаем Д1 = 1. Тогда в представлении (6.79) имеем и(4) и1 (С) = а1е1п яС, а в (6.82) 1'1 = Ъ'= [О, Ц и сВ'= ЫС, так что из (6.82) получим б.б. Коллокации в подобластях и в точках Уг = (1/2, 1) и в соответствии с (6.82) запишем СЛАУ относи- тельно коэффициентов а! и аг! 1/2 ! /2 | !143!пгг~ |' 41431п2я~ а! !/~+ ог г( „4 гК = '!ь о о о 1 1 1 | Ф31пгг4 /' !143!п24г~ О1 4 К+Ог | пг Ь 1/2 1/2 !/2 Учитывая, что 13 8 з ,1~3 !/~яп яС ,1~3 =-4Г СОЗЯ~, определим коэффициенты записанной СЛАУ: 1/2 1/2 Так как правые части обоих уравнений равны 1|2, окончатель- но получаем СЛАУ 1 а! — 16аг =— 2!гз ' 1 а!+ 16аг =— 2яз' 1 нз которой следует, что аг = О и снова а! — — —,.
Итак, при равномерном разбиении отрезка на 44ве части (Аг = 2) получили то же решение, что и при Аг = 1. Такой результат не является случайным. Дело в том, что функция 31п 24гС нарушает симметрию прогиба симметрично нагруженной балки (см, рис. 6.3). 1/2 | 3 о 1 Г «3!П4Г~ ц, 3 ,! 3 1/2 414 3!и 24г~ !г'~ = 16!г, о | 4! я!п24гч 6 з г/~4 332 б.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ При АГ = 3 используем равномерное разбиение отрезка [, Го 11 на три промежутка 1гг — — (О, 1/3), Ъд — — (1/3,2/3) и Ъз = (2/3, 11. В этом случае из(с) = агяпггс+аззгп2ггс+азяпЗггс, Г6.88) и система (6.82) принимает вид г /з г/з г(4згп гг~ /" а4з1п2гг( /' 1481п Згг~ г/~4 о о з/з з/з г/з ~ я" ггс l г(~~ш2ггс / г/4я1 ~~+ аз )( 4 аС+ аз з(,Гс4 г(~4 Г' г/з цз г/з г 1 1 /' 4 1 2/3 ƒ г(4япгг~ / гГ4яп2гг~ /' г1 еГпЗгг~ аг гК+ аз / 4 гК+ аз г(~4 з/з з/з г/з Вычисляя интегралы, получаем СЛАУ 2 аг + 24аз + 108аз = — з, Зиз ' 1 аг — 54аз = —, 3 2 аг — 24аз+ 108аз = 3 3 .з ешением которой являются аг =,— ', з =0 з = 4 —. р = —,, а =0 а = —. При С = 1/2 вычислим максимальный безразмерный прогиб балки 0,01427, 4 1 215 9ггз 486ггз 486ггз превышающий примерно на 10% его точное значение и'.
6.6. Коддокаиии в подобластях и в точках 333 Теперь применим метод коллокации в подобластях к решению ОДУ (6.85) второго порядка. При АГ= 1 имеем а«(~) = = а, 61п я~ и в соответствии с (6.82) запишем 7' «Р61пя~ 1 Из)п я4 «1 1 аг~ Н~= -( (~2 — ~) И~, или а1 ир И~ о 12 Отсюда — 2«гаг = — —, или а1 — — — --0,01326. В зтом прибли- 12' 24 я женин максимальный безразмерный прогиб й; ~ 0,01326 балки лишь на 2% выше его точного значения а*. В случае АГ = 2 возникает ситуация, аналогичная рассмотренной выше. При АГ = 3 приближенное решение имеет вид азЮ = а161пяс+азяп2яс+ азя1пЗяс. 16.89) Тогда, разбивая отрезок 10, 1) равномерно на три промежутка и используя (6.82), приходим к СЛАУ 7 аг+ бах+ 12аз =— 162я'' 13 а1 — баз = —, 324я' ' 7 а1 — бог+ 12аз = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
