XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 47
Текст из файла (страница 47)
6.1). Для уменьшения погрешности приближенного решения при малых значениях числа Фурье можно добавить в правую часть (6.93) дополнительные слагаемые с зависящими от времени коэффициентами, для нахождения которых потребуется использовать методы коллокации в подобластях или в точках при Ж > 1. В этом случае придется решать систему из Ж ОДУ. Если начальное распределение температуры в пластине однородно, то понизить погрешность приближенного решения прн малых значениях числа Фурье можно также путем условного разбиения процесса нестационарной теплопроводности на две стадии (рис. 6.4).
Первая стадия соответствует распространению возмущения температурного поля от поверхности при х = и, вызванного скачкообразным изменением температуры от начального значения То до значения Т , а вторая стадия — изменению ~'Р,х) температуры по всей толщине пластины То-- й,01 одновременно. Величина й,(1) на рис.
6.4 характе- Ь х ризует глубину проникновения темпера- Рис. 6.4 342 6. ПРИБЛИ>КЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ турного возмущения и изменяется на первой стадии от 0 до Ь. В наиболее простом виде распределение температуры на этой стадии можно приближенно представить в виде Ь вЂ” х~з Т,(1,х) =То+(Т вЂ” То)) 1 — — ), Ь вЂ” Ь.(1) < х < Ь. (6.99) - Ь.(,) Подставляя (6.99) в (6.91) и интегрируя по переменному х в пределах от Ь вЂ” Ь.(1) до Ь, в соответствии с интегральным методом теплового баланса получаем Л ь )' ( — ' -и —,' ) ~* = ~т — т ~ )' — (1 — — ) г,— ь-ь.10 л-ь. 0) дз ~ Ь вЂ” ххз — а(Т вЂ” То) ~) — ~1 — — ) <(х = / О. ~ Ь.(1)) /1 ИЬ.(1) 2а =(Т -То)~- — ' — — ~ =0, ),3 11 Ь.(1) / или ОДУ Ь.(1)оЬ.(1) = бпсИ с начальным условием Ь,(0) = О.
После подстановки решения Ь,(1) = ~Л2а1 этого ОДУ в (6.99) при 1 — ъ~12го < С < 1 имеем Температурное возмущение достигает противоположной поверхности пластины (с = О) за время 1ы которое соответствует аб ! значению го1 = — = —. Л2 12' Примем, что распределение температуры на второй стадии процесса имеет вид (6.93). Поэтому функция В(1) в (6.93) снова будет удовлетворять однородному ОДУ (6.94). Однако значение В(0) в решении (6.95) этого ОДУ теперь следует искать иэ условия совпадения распределений температуры в 343 В.7. Метод наименьших квадратов 1 конце первой (при Го= — ) и начале второи стадий процесса 12 теплопроводности, что дает Р(0) = Т вЂ” То. В итоге при Го >— получим Т' Т1 етз(Ро,с) = = (1 — С~)ехр~ — З(ро — — )).
(6.101) Эту формулу можно записать также в виде Йз(ро, с) = ' = А'(1 — с ) ехр( — Зро), (6.102) Т вЂ” Т(1 х), 2 Т вЂ” Т где А' = ехр(0,25) = 1,2840 довольно близко к значению коэф- 4 фициента А1 — — — 1,2732 при первом члене точного решения л (6.97). Результаты расчетов по (6.100) и (6.101) при с = 0 представлены выше (см. табл. 6.1) и достаточно хооошо согласуются с точным решением. 6.7. Метод наименьших квадратов Рассмотрим еще один метод приближенного решения операторного уравнения Аи = у, где А — линейный непрерывный оператор, области определения Р(А) и значений Н(А) которого являются всюду плотными подмножествами гильбертова пространства 'Н.
Пусть система (и„) С Р(А) образует счетный базис в Р(А). Приближенное решение Х й1Ч = ~~ аон„, а„б К, (6.103) уравнения Ам = у будем искать из услония минимума нормы )~Ай1ч — Д! невязки этого операторного уравнения, в котором коэффициенты а„принимают любые действительные значения. 344 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Из этого условия получаем 1У 2 ппп ~~Ай1ч — У~! = !п)пЯ а„Аи„— ~)! .
(6.104) «»1 Для произвольных значений а„6 1с, п = 1, Х, имеем 1Ч У 1У '!г „А „— !( =(г „А „— 1, г »Ам — 1)= «=1 «=! Л=1 Ю Х !у = ~! а„~) ая(Аи„, Аия) — 2 ~ ая (у, Аия)+ (у, у). (6.105) »т! Й=1 «=1 Таким образом, нужно найти минимум неотрицательной функции У переменных а„, и = 1, Х. Необходимыми условиями достижения этого минимума (Ъ') будут равенства нулю частных производных правой части (6.105) по переменным аь, й = 1, Х, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) ~~! а„(Аи„, Аия) = (У, Аиь), й = 1, Х, (6.106) относительно коэффициентов а„, совпадающей с (6.80) при оь = = Аия Е В(А) С М Если однородное операторное уравнение Аи = О, где 0— нулевой элемент в Я, имеет лишь нулевое решение и = О, т.е. ядро линейного оператора А состоит только из нулевого элемента, то система (Аи„)1ч является линейно независимой в 'Н при любом 1У, так как последовательность (и„) образует в 1л(А) счетный базис.
В противном случае из элементов системы (Аи„)л! можно было бы составить равную О нетривиальную линейную комбинацию Ь„Аи« = А~~! Ь«и„=О, ~ )Ь) ) О, 345 6.7. Метод нанменьшнт квадратов Если система (Аи„)у ортогональнав Ьэ(17), то из (6.107) сразу получаем ~ ~(Аиа)й~, =1,А'. 1 '0Аи„((э / (6.108) Пример 6.8. Применим метод наименьших квадратов к приближенному решению задачи (6.84). Это решение будем искать (как и в примере 6.5) на всюду плотном линейном многообразии Х С Ьэ(0,1] четырежды непрерывно дифференцируемых на отрезке [0,11 функций, удовлетворяющих граничным но зто означало бы, что существует ненулевое решение уравнения Аи = О, поскольку функции и„счетного базиса линейно независимы и их нетривиальная линейная комбинация отлична от О.
Скалярные произведения в левой части (6.106) являются элементами матрицы Грама системы функций Аи„, и = 1, Х. По для линейно независимой системы функций определитель этой матрицы отличен от нуля 1ПЦ. Поэтому СЛАУ (6.106) при любом 1У имеет единственное решение относительно неизвестных а„, и = 1,1т'. Описанный способ нахождения коэффициентов аа в (6.103) называют метподом наименьших кеадратпов приближенного решения операторного уравнения Аи = у.
При этом (6.104) можно трактовать как условие наилучшей по норме аппроксимации элемента у линейной комбинацией элементов Аи„, и = 1, А1. Если система (Аи„)у является ортогональной в 'Н, т.е. (Аи„, Аиа) = 0 при и ~ й, то СЛАУ (6.106) имеет един- (7, Аие) ственное решение а„= *, и = 1, Х. !)Аи йе ' Пусть для оператора А область определения О(А) С Н = = Ьэ(~'). Тогда вместо (6.106) можно написать 346 б, НРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ условиям (6.84). В качестве счетного базиса в Х рассмотрим систему функций и„(~) = я1ппхс, и 6 И. Отметим, что и„(С) Е В(А) образуют ортогональную в Ь2(0,1] систему функций, так как при и ~ Й (и„, ия) = я1ппясв)пЬгЩ= О. о Функции Аи„(Я) = (пя)4в1п пяС, п Е И, также ортогонэльны на отрезке (0,1).
Кроме того, учитывая, что правая часть 7" дифференциального уравнения в задаче (6.84) равна единице, получим 1 1 (1А,)=1 А (Г)г(= (-) 1*~ (и= (-) (1 — (-1)"), ! 1 „я г (игг)а ))А ))'=1(А „(1)) гг=(-) /*ь Отсюда следует, согласно (6.108), что а„= 0 для всех четных п = 2т, гп Е И, а для всех нечетных п = 2гп — 1 находим 4 4 а„=аз 1 — — . Так, а)= — -0,0130709 и аз — — —— (2л, 1)г лг лг 243лг 0,0000537. Уже в первом приближении максимальный без- 4 размерный прогиб и) —— а) — — — балки (см.
рис. 6.3) менее чем (г на 0,4% превышает его точное значение (6.87), равное и* = 5 — 0,0130208, а в следующем приближении значение и 968 = п) — аз = - 0,0130162 отличается от точного менее чем 243лг на 0,04 %. Нетрудно проверить, что решение уравнения (6.85) гг второго порядка с дифференциальным оператором А = — при,~4г ведет к тому же результату. 347 б. Х Метод наименьших квадратов Итак, приближенное решение задачи (6.84) можно представить в виде 4сйп(2т — 1)лС яг ((2т — 1) гг) (6.109) Ясно, что получающийся из (6.109) при Ю вЂ” 1 оо ряд 4 яп (2т — 1) ггС ((2т — 1)я) (6.110) 4 ~ я!п(2т — 1)я~ (2 — 1) (6.111) который сходится к единице поточечно в интервале (О, 1) и является рядом Фурье функции р(х) = 1 в этом интервале [1Х).
Поэтому функция р(х) является в этом интервале четвертой производной суммы ряда (6.110), т.е. функции о((). Таким образом,, = 1, С 6 (0,1), и, следовательно, функция о(() Ыео(4) удовлетворяет уравнению в (6.84). Но она удовлетворяет и всем граничным условиям задачи (6.84) при с = 0 и с = 1, что следует непосредственно из (6.110), а также из ряда, полученного двукратным дифференцированием (6.110). Отсюда заключаем, что функция о(~) как сумма ряда (6.110) совпадает с точным решением (6.86) задачи (6.84), а йя1® сходится к точному решению н(С) при )и' -1 со равномерно на отрезке [О, 1], а следовательно, и в А|[0,1). сходится на отрезке [О, Ц, причем равномерно, так как рлд 4 1 —, является мажорируюгциде для ряда (6.110). ие (2 го — 1)е Выясним, к какой функции о(~) сходится ряд (6.110).
После почленного четырехкратного дифференцирования (6.110) получим ряд 348 О. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Оценим скорость сходимости по норме (]и — йа)!. Так как .ДГ-й остаток функционального ряда (6.110) ч 4яп(2т — 1)хс и(с) — йл (Я) = ~+, ((2т — 1) х) сходится на отрезке [О, 1] абсолютно и равномерно [1Х], то сходится и квадрат этого остатка.
Поэтому в силу ортогональности на отрезке [О, 1] функций и„(С) =яппхС имеем ([ " 4ър -цг)' ((2т — 1) гг) 8 1 = —" ~ (т-)' т=лг+1 Если в дифференциальное уравнение = 1 задачи (6.84) 4'о(0 444 подставить приближенное решение йлг из (6.109), то получим невязку г(4йлг(~) ч 4яп(2т — 1)л.~ г)~4 л (2т — 1) и Тогда, принимая во внимание ортогональность на отрезке [О, 1] функций и„(0 =япихб, находим [1Х] "' """ =П' ~ ~ -и. ) "= 1 яп(2т — 1) л ~ Т / ч 4яп(2т — 1)л~Я =1 — 8 ~ г(~+~ ~~ (~= (2т — 1)х „г' ~ (2т — 1)л ) Е~ ='о о — — +г =1-Е (2т 1)зхз,1 (2щ 1)зхз — ~ (2т 1)гх2' 349 Е.7.
Метод наименьших кеадратоа Учитывая, что' 2 т в итоге получаем 1!1 — АйМ! =— 8 1 кз (2т 1)г т=!и+1 Таким образом, для данной задачи скорость сходимости при- ближенного решения к точному при Л! — ! оо существенно выше стремления к нулю нормы невязки. Ясно, что пример 6.8 носит иллюстративный характер, поскольку задачу (6.84) легко решить точно последовательным интегрированием (см. пример 6.5). В общем случае установить сходимость к точному решению приближенного решения, полученного методом наименьших квадратов, довольно сложно. ~(Аи)~ > 7~~и~(, и Е .0(А). (6.112) М При выполнении условия (6.112), согласно теореме 4.16, существует ограниченный обратный оператор А !, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
