XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 50
Текст из файла (страница 50)
(А„и, и) > 0 для любого ненулевого элемента и Е Р(А). М Согласно условию теоремы, любое Л Е (О, о) является регуллрньд,а значением оператора А и поэтому существует обратный оператор Нл = А„' = (А — И) '. Из области определения Р(А) оператора А выберем любой ненулевой элемент и ~ О и положим д = А,и. Тогда д ф О, поскольку в противном случае элемент и был бы собственным для оператора А, а и — собственным значением этого оператора. Пусть дд = дд(Л) = Влд — решение операторного уравнения Алдд = д. Введем вспомогательную функцию до(Л) = (д, дд) = (Алдд, дд) В частном случае Л = о имеем и = и и у(о) = (А„и, и).
Таким образом, необходимо доказать, что уд(о) > 0 для любого ненулевого элемента и б Р(А). Обозначим ддд —— дд(Лд) = Вл,д и ог — — дд(Лг) = Йл,д — решения операторного уравнения Ало = д для двух значений Л„Лг е Е [О,о). Тогда, учитывая, что оператор А симметрический, получим дг(Лг) — ~р(Лд) = (д, ог) — (д, ддд) = ((А — Лд д')ддд, ддг)— — ((А — ЛгУ)ддг, ддд) = (Аддд, ог) — Лд (од, ддг)— — (Аддг,од)+ Лг(ддг, пд) = (Лг — Л,) (ддг, од). (6А37) Так как д = (А — Лг1)ддг — — (А — ЛдУ)ддд, то (А — ЛдУ)(ог — ддд) = (А — Лд!)ог — (А — ЛгУ)ддг — — (Лг — Лд)ддг, 6.9. Задачи на собственные аначенна илн е2 — е1 = (Л2 — Л1)1ал,е2 С учетом неравенства треугольника имеем Ц'12 е1Ц < [Л2 — Л1[Ц1чл,ЦЦе2Ц = [Л2 Л1! ЦееЛ Ц ЦЕ2 Е1 +Е1Ц < < [Л2 — Л1! ЦВл, Ц(Це2 — е1Ц+ Це,Ц).
(6.138) Значение Л1 является регулярным для оператора А, и поэтому оператор Вл, ограничен, так что при Л2 -+ Л1 справедливо неравенство [Л2 — Л1! Ц 11л, Ц < 1/2. Тогда из (6.138) следует, что Цез — е, Ц (~ 2[Л2 — Л1! ЦВл, Ц Це1 Ц. Отсюда, получаем, что е2-+ е1 при Л2-+ Л1, и поэтому (е2, е1) -+ -+ Це1Ц2 при Л2 — + Л1. Заменяя в (6.137) Л1 на Л и е, на е, в соответствии с определением производной находим ~р'(Л) = 1пп чо(Л2) — ~Р(Л) . 2 = !пп (ез, е) = ЦеЦ .
ла-+л Л2 — Л ла-+л Так как д ~ О, то и е ф О, а значит, ф(Л) > О при Л Е [О,и! и функция д(Л) возрастает на отрезке [О, и!. Для неотрицательного оператора А имеем 1о(О) = (Аое, е) = (Ае, е) > О для любого элемента е Е Р(А). Следовательно, д(и) > О для любого ненулевого элемента и б Р(А). ~ Теорема 6.9. Пусть А — симметрический оператор, действуюп1ий в гильбертовом пространстве Я, и отрезок [а, й! не содержит точек спектра этого оператора. Тогда оператор А,Аь = (А — а1)(А — 61) является положительным. а+Ь Ь вЂ” а < Положим та= — 12 = — и введем оператор рЬл = А„,+л = 2 ' 2 = А — (п2+ Л) 1.
Значение Л б [-12, 12! является регулярным для оператора И~о = А , и поэтому оператор И~л = И~о — Л1, а также оператор И'лИ~ л = ИЯ вЂ” Л21 имеют ограниченные обратные 366 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСНИЕ МЕТОДЫ операторы И' и (ИдИ' л) ' соответственно. Это означает, что отрезок [О,рз) не содержит точек спектра оператора Иез, котоРый, ЯвлЯЯсь квадРатом симметРического опеРатора А = А — т1, будет неотрицательным, так как для любого и Е В(А) (Изи,и)= (А (А и),и) = (А и, А и)= ЦА иЦ~ > О. Таким образом, для оператора Ио на отрезке [О, Из) выполнены условия теоремы 6.8.
Поэтому оператор Иез — Из! = И~„И' „= .= А,Аь является положительным. ~ (6А39) ~Ф(Ь) < Л < Ф(а), где Р(1) = С(Аи, и) — ЦАиЦз ЬЦиЦз — (Аи, и) ~ Оператор А на отрезках [а, Л вЂ” е) и [Л+е, Ь1 при достаточно малом е > 0 удовлетворяет условиям теоремы 6.9. Поэтому операторы А1 = А, Ал, = (А — а!) (А — (Л вЂ” е)!) и Аз — — А хе, Аь —— = (А — (Л+е)1)(А — Ы) являются положительными. Следовательно, (А|и, и) = ((А — (а+ Л вЂ” е)А+ а(Л вЂ” е)!)и, и) = = [[Аи[[~ — (а+ Л вЂ” е) (Аи, и) +а(Л вЂ” е)ЦиЦ~ = = (Л вЂ” е)(аЦиЦ~ — (Аи, и)) — (а(Аи, и) — ЦАиЦ~) > 0 Теорема 6.10, Пусть А — симметрический оператор в гильбертовом пространстве Я и элемент и Е Я удовлетворяет — (Аи, и) условию Аи ф О.
Если число Л1 — — ' принадлежит интерваЦи(~2 лу (а, Ь), причем на отрезке [а, Ь~) находится единственная точка Л Е (а, Ь) спектра оператора А, являющаяся собственным значением этого оператора, то справедливо неравенство бли Задача на собственные эначенна и аналогично (Аги, и) = ((А — (Л+с+Ь)А+ а(Л+б)1)и, и) = = ЦАи!!~ — (Л+б+Ь) (Аи, и)+Ь(Л+б)ЦиЦ~ = = (Л+б)(ЬЦиЦ~ — (Аи, и)) — (Ь(Аи, и) — ЦАиЦ~) > О. Из этих неравенств, учитывая, что, согласно условию теоремы, а ( — "'— ~ < Ь, т.е.
аЦи()з — (Аи, и) ( 0 и ЬЦи!!з — (Аи, и) > О, !!н!!е находим а(Аи, и) — ЦАиЦз а))иЦз (А.и,и) Ь(Аи, и) — ЦАиЦз Л+б > ЬЦиЦз — (Аи, и) Переходя к пределу при б -+ О, получаем (6.139). ~ Теорему 6.10 можно применить для двусторонней оценки наименьшего собственного значения Л| симметрического оператора А, если известна такая гарантированная оценка Лз снизу с1едующего собственного значения Лз, что Л1 — — ' < — (Ан, н) !!н!!2 < Лз < Лз.
Эта теорема верна для любого а < О, причем в соответствии с (6.139) с (Аи, и) — ЦАиЦз (Аи, и) с-+- фиЦз — (Аи, и) ЦиЦз и поэтому Ф(Лз) = ' ( Л1 ( Л1 —— т/~( — оо). (6.140) Лз (Аи, и) — ЦАиЦз В случае положительного оператора А имеем (Аи, и) > 0 и Л1 > О, так что вместо (6.140) получаем Л~ ~1 — ~ ( Л1 ( Лы н = . (6.141) -Л, 1 ЦАиЦз Л вЂ” Л1,~ ' (Аи и)' 368 6.
ЛРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ (Аи, и) (Аи, У) (Ви, и) ' (Аи, и) ' (6.142) где ненулевые элементы и 6 Р(А) и у 6 Р(В) удовлетворяют равенству Аи = Ву. При этом по-прежнему гарантированнал оценка Лз снизу собственного значения Лз должна превышать значение н, а оценка (6.141) применима при условии Л1 < и < Лз. Пример 6,12. Используем (6.141) и (6.142) для уточнения двусторонней оценки собственного значения Л~ однородного уравнения (6.132), рассмотренного в примере 6.11, Для функции й(С) =С(1 — С), удовлетворяющей однородным граничным условиям и(0) = и(1) = О, найдем 1 из условия Ай = В г'. Имеем 4 — ~яй(~) В(' = у = Ай= — =2, = (1+~)з щз Смз Рвнторив К.
Ясно, что (6.141) имеет смысл при условии Л1 < м, выполняющимся в силу неравенства Ьонви — Буняковского ~(Аи, и)~ < < ОАий 'ци0. Поскольку для положительного оператора Л1 > О, то использование (6.141) эффективно только при условии х < < Лз, так как в противном случае левая часть в (6.141) не будет положительной. Отметим, что оценки (6.140) и (6.141) сохраняют силу и в том случае, если собственное значение Л1 кратное, но изолированное.
В этом случае под Л следует понимать гарантированную оценку снизу наименьшего собственного значения Лз > Л1. Аналогично можно получить двустороннюю оценку для Лз и т.д. Теперь вернемся к операторному уравнению (6.126). Можно показать*, что неравенство (6.141) применимо для двусторонней оценки наименьшего собственного значения Л1 этого уравнения, если положить 6.9. Задачи ма собственные значение откуда / = (1+ ~)~/2. Далее вычисляем 1 (Ае, Д = / 2 О н, используя найденное в примере 6.11 значение (Ай, й) = 1/3, в соответствии с (6.142) находим (Ай, /) (Ай, й) (6.143) (2я)з Лз — — — — — я~ = 9,8696, 4 (6.144) а в качестве Л1 примем верхнюю оценку в (6.136): 1 4(25 — 36!п2) (6.145) Таким образом, условие Л1 ( к ( Лз выполнено.
Подставляя (6.143)-(6.145) в (6.141), получаем (6.146) 3,4021( Л1 (5,3532. Сравнение с (6.136) показывает, что при совпадении верхних оценок нижняя оценка 3,4021 несколько улучшена по отношению к прежнему значению 2,4674. Попытаемся улучшить верхнюю оценку Лм используя функцию и*(~) = й(~) +Сйз(~), также удовлетворяющую граничным условиям и(0) = и(1) = О. Константу С найдем, согласно теореме 5.6, из необходимого условия минимума отношения (Аи', и') (Ви', и') В качестве гарантированной оценки снизу собственного значения Лз используем (6.135) при и = 2, т.е. 370 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Предварительно найдем Аи = — = 2+ 4С~(! — () — 2С(1 — 2~) йги*(4) г д(г = 2(1 — С+ ба(! — ()) и вычислим (Аи*, и*) =2 / (! — С+6Сс(! — ()) х Р Я о 35+ 14С+ 2Сг 105 Аналогично =4 25 — 36 !и 2 499 — 7201п 2 2329 — 3360!и 2 3 10 С+ С'7!. В результате получаем (Аи*, и*) 35+ 14С+ 2Сг (Ви*, и*) 6,5391+ 2,7653С+ 0,3132Сг Наименьшее значение этого выражения Л1 5,3028 соответствует значению С ж 0,9785.
Таким образом, замена функции й(х) более сложной функцией и*(х) позволила понизить верхнюю оценку наименьшего собственного значения Л1 менее чем на 0,5% Для уточнения нижней оценки значения Л1 запишем ВУ* = — = Аи* = 2(1-С+6С~(1 — ()). 4~*(х) (1+с)г бло. Особенности выбора базисных функций 371 Отсюда найдем У*(ф) = (1 — С+ 6С61 — ~)), а затем с учетом полученного значения С вычислим Г 2 2 245- 7С+ 50С2 (Аи', з") = / (1+с) (1 — С+6Сс(1 — с)) йс = о Таким образом, (Аи ~ ) 245 7С+ 50Сг (Аи', и') 35+ 14С+ 2Сз Заменяя в (6.141) Л1 на Л1, ос на ос* и подставляя (6.144), получаем 4,8983 < Л1 < 5,3028. Сравнение с (6.146) показывает, что нижняя оценка возросла и теперь отличается от верхней оценки менее чем на 8%.
6.10. Особенности выбора базисных функций Из рассмотрения различных вариантов нетода ортогональных проекций видно, что базисные функции и„в гильбертовон пространстве Н, которые входят в представление приближенного решения операторного уравнения Аи = у, должны удовлетворять ряду требований.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
