XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Так как функция ~7и(Р)уа(Р), Р Е 5ы ограничена, то из (6.171) следует, что и(Р) -+ д(Р) при 13 -+ оо, т.е. при предельном переходе будет удовлетворено главное граничное условие (6.168) исходной краевой задачи. Ясно, что при минимизации (6.172) с фиксированным конечным значением Д полученное приближенное решение аб(М), М Е к', не будет удовлетворять (6.168), но по мере возрастания Д значение последнего интеграла в (6.172) будет стремиться к нулю и иб(Р) -~ д(Р), Р Е 5ы Отметим, что построить базисные функции и„и проекционные функции нь так, чтобы ио(Р) = иь(Р) = О, Р Е 5ы Й, п = 1, У, можно следующим образом. Если подобрана такал функция оз Е В1 = В(А1) 0 17(В1), что оз(Р) = 0 при Р Е 5м а й Е 01 и функции йь имеют в области Ъ' кусочно непрерывные производные, то функции и„= озй„и ць = озйь будут удовлетворять всем необходимым требованиям.
При решении многомерных задач функции по(М) и нй(М) можно представить в виде произведения сомножителей, завися- 386 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ щих только от одной координаты точки М б %'. Если область У в направлении одной из координатных осей (например, оси Ох1) ограничена плоскостями, перпендикулярными этой оси, то для упрощения подбора таких сомножителей можно принять коэффициенты а„в (6.166) зависящими от этой координаты. Тогда вместо СЛАУ (6.158) получим систему Ю обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) относительно Ю неизвестных а„= а„(х!), и = 1, 1У, причем порядок этих ОДУ будет совпадать с порядком старшей производной но х! в дифференциальном операторе А. Для решения такой системы ОДУ необходимо испольэовать граничные условия, заданные на указанных плоскостях.
Описанный способ построения приближенного решения многомерной задачи, известный как лает!вод К!змт!ворована', аналогичен методу разделения переменных (меп!оду Фурье). Этот способ можно использовать н в случае, если в выбранной системе криволинейных координат область т' в направлении одной из них ограничена координатными поверхностями. Рассмотрим случай, когда физические процессы, описываемые операторным уравнением вида (6.151), зависят от времени. Тогда оператор В! в (6.151) будет включать дифференцирование по времени, т.е.
искомая функция и(1, М) будет зависеть не только от пространственных координат точки М б $' в области У, но и от времени 1. При этом в (6.151) и в граничные условия (6.163), (6.164) могут входить функции Я,М), 71(1,Р) и 72(1, Р). Тогда, используя метод Канторовича, приближенное решение йм можно искать в виде йн(1,М) = по(1,М)+~~! а„(1) и„(М), 1> О, М Е Ъ~, (6,173) 'Л.В. Канторович (1912-199б) — отечественный математик и экономист, лауреат Нобелевской премии эа работы по математической экономике.
б.10. Особенности выбора базисных функций 387 где функции ио н и„удовлетворяют условиям ио(С, Р) = Л (1, Р) и ив(Р) = 0 при Р Е 51. В этом случае, подставляя (6.173) в (6.152) и проводя прн условии иь(Р) = О, Р Е Я1, преобразования, аналогичные предыдущим, получаем систему А(' ОДУ |ав (ъъ)464 м(|(А „)о ~466|6 оюз))= бю (1в — (А )ое — ев м)ююю|(Ь вЂ” дм) 466, (6.174) ха где й = 1, Ф, относительно функций а„(1), и = 1, Ж. Важно подчеркнуть, что теперь оператор В) действует не только на функции и„, зависящие от пространственных координат, но и на функции а„(1). Для решения системы ОДУ (6.174) необходимо задать начальные распределения й(')(М) = и01(О,М), М е у, искомой функции (при г = 0) и ее производных по времени до порядка тс включительно, если в операторе В1 старшая производная по времени имеет порядок тс+ 1.
Например, при В = 0 начальные значения а„(0) можно найти из условий равенства нулю взвешенной невязки, возникшей при подстановке (6.173) при $ = 0 в начальное условие и(0, М) = й(о)(М). Это приведет к СЛАу = |(ю'")(М\ — (ю,м)) %(м)6, 1= 1, 6'. (6 176) Пример 6.16. Рассмотрим задачу нестационарной теплопроводности в твердом теле, описываемую дифференциальным 388 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ уравнением (при 1 > О, М Е $~) вида (2.53) с(М)д™ ~(Л(М)~Т(~,М)) =1,к (~,М), (6.176) где с(М) н Л(М) — объемная теплоемкость и коэффициент теплопроводности материала тела, а 7~, (1, М) — объемная мощ- (И ность источников энерговыделения.
Пусть искомая функция Т(1, М), описывающая распределение температуры на участках 51 с Я и Яз = о '151 кусочно гладкой поверхности о, ограничивающей область $~, удовлетворяет граничным условиями вида (2.55) и (2.56) Т(1,Р) = ~1(1,Р), Р Е Яы (6.177) Л(Р)ЯТ(1,Р)п(Р)+~3(1,Р)Т(1,Р)=Я(1.,Р), РЕЯз, (6.178) и начальному условию Т(О,М) = 7о(М), М Е $'05з, (6.179) Ти(1,М) = Те(1,М)+~ а„(1)и„(М), 1 > О, М Е $', (6.180) где функции То и и„удовлетворяют условиям То(1,Р) = 71(1,Р) и и„(Р) = 0 при Р Е л1, то система ОДУ (6.174) для нахождения в момент времени 1= О, принимаемый за начало отсчета. В (6.176) — (6.178) все функции эа исключением искомой Т(1,М) считаем заданными.
Сопоставляя (6.176) с (6.151), устанавливаем, что в данном случае правая часть (6.151) соответствует функции 1(71, оператор В1 определен первым слагаемым в левой части (6.176), а оператор А~ определен равенством А|и = Л17и. Граничные условия (6.163), (6.164) и (6.177), (6.178) совпадают по форме. Поэтому если приближенное решение задачи (6.176)-(6.179) представить аналогично (6.173) в форме 389 Д.бд. Првекинонный метод функций а„($) примет вид где )с = 1, Х. Необходимые для решения этой системы начюьные значения а„(0) получим из СЛАУ вида (6.175) при к = 1, Ж Изложенный подход применен для приближенного решения одномерной задачи нестационарной теплопроводностн в плоской стенке (см. примеры 6.7 и 6.10).
Дополнение 6,1. Проекционный метод Рассмотрим обобщение метода ортогональныи проекций, известное как проекционный мегпод. Этот метод есть метод приближенного решения операторного уравнения Аи = У в гильбертовом пространстве М, где А — линейный оператор, имеющий область определения В(А) н область значений В(А), всюду плотные в Я. Будем также предполагать, что существует ограниченный обратный оператор А Последовательность подпространств Нн С Я назовем предельно плотной в Я, если для любого элемента и Е Н последовательность расстояний (р(и, Нн)) от и до надпространств Нн удовлетворяет условию р(и,Нн) = 1п(' Ци — явЦ -+ 0 при М вЂ” + со.
(6.181) мЕНн 390 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОЛЫ Суть проекционного метода состоит в следующем. Для операторного уравнения Ам = у выберем две последовательности (11ч) и (Уь) подпространств (1а С Р(А) н Уч С Л(А), 111 с г1, предельно плотные в Н. Для каждого подпространства Ум выберем ограниченный линейный оператор Рм: Я-+ Уч с областью значений К(Р~д) = Уч, удовлетворяющий условию РД = Рн (такие линейные оаерагаоры называют ароемммонмыми, или ороемтдорами).
Последовательность решений ич е ау операторных уравнений РнАм = Рм у, й Е г1, при некоторых условиях можно рассматривать как последовательность приближений для решения операторного уравнения Аи = У. Описанная схема приближенного решения операторного уравнения Аи = у является корректной прн выполнении двух требований: 1) каждое операторное уравнение РИАм = Рн~ имеет решение 11„Е 11у, и притом единственное; 2) последовательность (ин) сходится к искомому решению и операторного уравнения Аи = у в каком-либо смысле (например, по норме гильбертова пространства).
Теорема 6.11. Пусть А: Р(А) -+ В(А) — взаимно однозначный линейный оператор в гильбертовом пространстве 'Н, Р— проектор в Я, удовлетворяющий условию У = ЩР) С С В(А), и 11 С П(А) — подпространство в Н. Если выполнены условия РАй1 = У н ()Рп$~ > т$~о(), и Е А1У, (6.182) где т > 0 — некоторое число, то для любого элемента у Е Я операторное уравнение РАи = Ру имеет решение в 11, и притом единственное. ~ Пусть Р— сужение проектора Р на надпространство Ас1, т.е.
Ри = Ри при и Е АГ В силу условия (6.182) линейный оператор Р имеет нулевое ядро, т.е, кегР= 10). Поэтому он Д.6.1. Проекционный метод является взаимно однозначным и отображает подпространство АУ взаимно однозначно на $'. Следовательно, существует обратный оператор Р '. Ъ'-+ АУ. Так как линейный оператор А обратим, то определен линейный оператор А 'Р '. $'-+ У, обратный к линейному оператору РА. Существование такого оператора означает, что для любого злемента у Е Я операторное уравнение РАм = Ру имеет решение и, принадлежащее У, и притом единственное. При зтом и = А 'Р '(Ру).
~ Теорема 6.12. Пусть А: Р(А) — ~ В(А) — взаимно однозначный линейный оператор в гильбертовом пространстве Я, для которого Р(А) и В(А) всюду плотны в Я; (Ур~) и ($Я вЂ” некоторые последовательности подпространств в Н и Рм.' Н вЂ” ~ 1~у, Ж б М, -- проекторы, образующие равномерно ограниченную последовательность, т.е. ))Р~ч)! < С, М е г1, для некоторого числа С > О. Тогда, для того чтобы при любом у б Н каждое операторное уравнение РыАи = Рд~, Ю Е М, имело единственное решение му б Ук, причем ()Амч — Д -+ О при М -+ оо, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1) последовательность подпространств АУл предельно плот- на в Я; 2) РюАЮру = Ъм, Ж Е Я; 3) существует такое т > О, что для каждого номера Ж выполняется неравенство ОРчпО > тцпй', и Е АУч.
При выполнении указанных трех условий скорость сходимости последовательности (Аиу — Д к нулю определяется соотношением ))Аи~ч — Д < (1+ — )р(У, АУч). С ~ Н е о б х о д и м о с т ь. Предположим, что для любого злемента у Е Я каждое уравнение Ри~Ам = Рг~~, Ж б г(, имеет единственное решение иы Е Цч, причем ))Ачеч — П -+ О при 392 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 1ч' — 1 оо. Тогда, согласно неравенству РЦ,А~3гх) = Ы 'Оу — ой < ))у — Аил1Ц, юЕАБрр заключаем, что р(~, Абл1) -1 О и последовательность подпространств (А01у~ является предельно плотной в 'Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
