XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Таким образом, учитывал (6.156), СЛАУ (6.155) можно записать в виде Н С„ьа„= Д, /с = 1, М, (6.158) и=\ где и" — единичный вектор нормали к поверхности 5*, внешней по отношению к подобласти Ъм а через (А1и„)~ и (А1и„)э обозначены пределы векторной функции А1и(Р) при стремлении точки Р к Р' 6 Я* со стороны подобластей 1'1 и Уэ соответственно. Но при выборе и„Е 01 эти пределы равны, так что интеграл по поверхности Я* исчезает. Поскольку точки Р' Е 5 образуют в области 1' множество, имеющее равную нулю меру Лебега, то б.10.
Особенности выбора базисных фуикций где при /с, и = 1, Ф С„я = оьВ1и эй'+ + (А1и„) 17оь НУ вЂ” оь (А1и„) тай, (6.159) (А1и„(Р )), = (А1и„(Р')), Р' Е В". (6.160) Допустим, что функции ов, Й = 1, У, также разрывны на этой поверхности, т.е. пределы о„(Р*) и о„(Р ) каждой а значения ~ь = (7", ос), Й = 1, М, равны интегралам в правой части (6.152).
Следует отметить, что в методе наименьших квадратов такой подход не снижает требований к дифференцнруемостн функций и„, так как преобразование (6.156) скалярного произведения при выборе оа = Аиь вызовет, наоборот, повышение требований к дифференцнруемости функций и„. В самом деле, ~7оь = ~7(Аиь) и и„Е Р(Ч А). При выборе базисных функций можно сделать еще один шаг по пути ослабления требований к их гладкости в области У. Дело в том, что по физическому смыслу функция А1и обычно является вектором плотности потока некоторой физической субстанции (см.
1). Законы сохранения таких физических субстанций, как масса, энергия, заряд, количество движения, допускают разрывность этой векторной функции на некоторой поверхностна разрыва В*, но требуют непрерывности ее проекции (А1и(Р))та'(Р), Ре В', на направление нормали та* к этой поверхности.
Ясно, что это условие будет выполнено, если в (6.159) функции и„выбраны так, что и„Е Р1 — — Р(А1) 0 Р(В1), и=1, Ю. Предположим теперь, что функции и„, и = 1, М, в (6.159) выбраны так, что на поверхности В', разделяющей область У на две подобласти У1 и Уз (У = У1 0 Уз О В'), проекция (А1и)тх' терпит разрыв, т.е. в (6.157) нарушено условие 380 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ функции ил (Р) при стремлении точки Р к Р 6 В' со стороны то 6.157 подобластей Г1 и Г~ могут быть не равны.
Тогда вместо ( . ) будем иметь ( Аи„, ел) = илВги„НГ+ (А1и„)ЧилЫГ+ У + (А1и„)~(7илНà — ел(А1и„)па†~2 3 — (ил( )(А~и„)|п' — и( )(А|и„)гп') ИЯ. (6.161) Но для сходимости приближенного решения необходимо, чтобы условие (6,160) было выполнено. Для этого воспользуемся мегнодом взвешенных невязох, вы р б ав в качестве весовых (П (г)л угунниий -(и, + и„): 2 А ((А1и„)1п' — (А1и„)гп") " " И5 = О.
(6.162) Вычитая левую часть (6.162) из правой части (6.161), получаем (Аи„, ол) = иьВ1 и„ЫЪ'+ (А1и„)~(7ил<В'+ (А, и„) чуил И1— Ъ'1 ,(1) (2) и"~ ~ ~ И — '(Ал ) о — ) ((4 .~л'+(4 ) ') 3 я' Отсюда вытекает, что для исчезновения р интег ала по поверхности 5' достаточно непрерывности функций ы "и й=1М в точках поверхности 5'. Ясно, что поверхность 5' может быть выбрана в области )' произвольно.
Поэтому в случае непрерывных в области 381 б.! О. Особенности выбора баацсцых функций (6.163) и(Р) = (1(Р), Р Е 5ы а на участках Яз = Я ~ Я~ — граничное условие (А1и(Р))уа(Р)+ 6(Р) и(Р) = ~э(Р), Р Е Яз, (6.164) где Д, д и ~з — заданные функции. Тогда приближенное решение в виде (6.153) должно удовлетворять условию (6.163) в проекционных функций оа, к = 1, У, обладающих в ней кусочно непрерывными производными, для вычисления элементов С„ь к, и = 1, У, матрицы СЛАУ (6.158) применима формула (6.159).
Прн этом допустимо, чтобы функции А1и„, и= 1,Ж, были разрывны в точках, образующих в области $' множество, мера Лебега которого равна нулю. Например, если в (6.151) А является дифференциальным оператором второго порядка, т.е. А1 имеет первый порядок, то для вычисления интегралов в (6.159) от базисных функций и„, и = 1,М, достаточно потребовать, чтобы они обладали лишь кусочно непрерывными производными. Полученный результат справедлив н для частного случал метода ортогональных проекций — метода Бубнова — Галеркина при выборе в (6.153) иь = иы к = 1, М. В случае, когда А является положительно определенным оператором, для приближенного решения уравнения (6,151) можно применить метод Ритца. Тогда функции и„будут принадлежать соответствующему энергетическому пространству Нл, в котором определена энергетическая норма '0' 'йл, а функционал энергии (5.30) в рассматриваемом случае пРимет вид .У(и) = ((ий~л — 2(У", и).
Отметим, что Указанные возможности ослабления требований к гладкости базисных функций важны при численном решении задач математической физики, в частности методом конечных элементов. Теперь обратимся к вопросу об удовлетворении граничных условий на поверхности э, ограничивающей область ~'. Пусть на участках 51 С Я этой поверхности задано граничное условие 382 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ каждой точке Р б 5м а для выполнения (6.164) можно потре- бовать равенства нулю взвешенной невязки, возникающей при подстановке (6.153) в (6.164).
При выборе функций иь в каче- стве весовых будем иметь ((А~йн)а+,Зйи — Л)пью=О, /с=1, № (6.165) В этом случае вместо (6.153) целесообразно искать приближенное решение в виде 1Я йм = ио+ ~ ~а„и„, (6.166) где ир(Р) = ~1(Р) при Р б зм а функции и„и, иь выбрать так, чтобы и„(Р) = иь(Р) = О, Р б зм lс, и = 1, № Подставим (6.166) в (6.152) и выполним преобразования, аналогичные тем, которые привели и СЛАУ (6.158). Тогда с учетом (6.165) получим систему уравнений (6.158), в которой при й, и = 1, Ю Описанный подход позволяет не накладывать на выбор функций и„б Р1 — — В(А1) 0 В(В1), п = О, У, ограничений, вытекающих из условия (6.164).
В связи с этим такое ерамиимое условие обычно называют есняестввеимьям. В противоположность этому врамиимое условие (6.163), которому должно удовлетворять (6.166), называют елавмььм, а иногда вредварииеельмььм в том смысле, что оно должно быть учтено еще до нахождения коэффициентов а„при построении приближенного 383 б.!О. Особенности выбора базисных функций решения (6.166). Хотя приближенное решение можно строить, не соблюдая граничных условий, функции и„все же лучше выбирать с учетом этих условий, так как при их выполнении последовательность приближенных решений будет иметь более высокую сходимость, особенно в окрестности точек Р Е Яз.
Более строгое разделение граничных условий па главные и естественные следует из вариационной формулировки задачи для положительно определенного оператора А. Естественные граничные условия можно получить из условий стационарности функционала, входящего в эту формулировку, если приравнять нулю его первую вариацию. Граничные условия, не представленные в условиях стационарности функционала, являются главными. Преобразуя вариационную формулировку задачи, можно получить функционал Лагранжа, называемый иногда полным. Этот функционал отличается тем, что в условия его стационарности входят все граничные условия (отметим, что в теории упругости термин „функционал Лагранжа" имеет иной смысл).
При использовании такого функционала все граничные условия будут естественными и базисные функции можно выбирать лишь с учетом ограничений по их дифференцируемости. Если в вариационную формулировку задачи входит минимизируемый функционал, который допустимо рассматривать на множестве функций, удовлетворяюших главному граничному условию вида (6.163), то зто ограничение можно снять леепзодоле штрафа. Суть этого метода состоит в добавлении к функционалу положительного слагаемого, которое быстро возрастает, когда приближенное решение йб1 не удовлетворяет условию (6.163).
При минимизации такого функционала й1о(Р) — ь 11(Р) при М -+ оо, причем скорость сходимости к Л (Р) в случае Р б 51 будет зависеть от коэффициента, устанавливающего „тариф штрафа" эа нарушение условия (6.163). 'См., например. Мохлон С.Г., 1966, а такие: Ректорос К. 384 б. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Пример 6.14. Рассмотрим краевую задачу для уравнения Пуассона — ~7~и(М) = 7"(М), М Е У, (6.167) с заданными на кусочно гладкой поверхности 5, ограничиваю- щей область У, граничными условиями и(Р) = д(Р), Р Е 5~ С Я, (6.168) ~и(Р)ть(Р)+о(Р)и(Р) =о(Р)Ь(Р), РЕЯз-— 5~5ы (6.169) где п(Р) — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5 в точке Р 6 5. Одной нз интерпретаций этой задачи может быть нахождение установившегося распределения температуры и(М) в области У при заданном распределении д(Р) температуры на участках 5~ поверхности 5 и заданных на участках Яз условиях теплообмена с окружающей средой, имеющей температуру Ь(Р) (функция о(Р) > 0 характеризует интенсивность теплообмена).
Краевой задаче (6.167)-(6.169) соответствует вариацноннал формулировка, включающая минимизируемый функционал 1ХУ] ,7(и) = ~( — (17и) — ~и) ИУ+ — 1о(и — Ь) Ы5', (6.170) ,/ 2 2./ ~7и(Р)п(Р)+)уи(Р) =))д(Р), Р Е Ям )7 > О, (6.171) который рассматривают на множестве функций и(М), непрерывных на замыкании У = У 05 области У, имеюших в У кусочно непрерывные производные по координатам точки М Е У н принимающих значения и(Р) =д(Р) в точках Р Е 5О Эти функции могут не удовлетворять граничному условию (6.169), являющемуся для этого функционала естественным.
Если главное граничное условие (6.168) заменить естественным граничным условием х б.!О, Особенности выбора базисных функций 386 то вместо (6.170) получим функционал ць1=1(-'( е'-~.)о + — ~ о(и — Ь) п5+ — ~ (и — д) Н5, (6.172) 1Г, 11Г 2/ 2/ который можно рассматривать на множестве функций и(М), не удовлетворяющих граничным условиям на всей поверхности 5. Последний интеграл в (6.172) равен среднеквадратичной невяэке, вызванной нарушением главного граничного условия (6.168). При этом значение параметра Д в (6.172) определяет „тариф штрафа" эа нарушение этого условия, а по физическому смыслу характеризует в (6.171) интенсивность теплообмена на участках 51 поверхности 5 с условной окружающей средой, имеющей температуру д(Р), Р Е 51.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
