XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В случае рав- 2 НОМЕрНОй СЕТКИ (6„41/г = 6„43/г = 6и = 6 = Сеням) ПОЛУЧИМ Г, ии+г — 4ии+1+био — 4ии 1+ии г п /14 (7.9) Можно показать, что погрешность аппроксимации в (7.8) имеет первый порядок, а в (7.9) — второй порядок. 7.3. Метод баланса (р(х) и'(х)), (г(х) ин(х)) (7.10) В дифференциальные уравнения задач математической физики, вытекающие из законов сохранения физических субстанций и описывающие процессы в неоднородной среде, часто входят выражения вида 408 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РА ЗНОСТЕЙ и аналогичные им, причем функции р(х) и г(х) в своих областях определения могут иметь точки разрыва первого рода.
Но даже в случае дифференцируемости этих функций при аппроксимации таких выражений нецелесообразно предварительным дифференцированием выделять в них явно старшую производную функции и(х). Дело в том, что при этом в рззностном виде будут нарушены условия баланса, соответствующие закону сохранения рассматриваемой физической субстанции, или условия равновесия действующих нагрузок. Кроме того, функции о(х) = -р(х) и'(х) и ге(х) = г(х)ио(х) имеют определенный физический смысл (например, плотности теплового потока, если и — температура, а р — теплопроводность среды, или изгибающего момента, если и — прогиб балки, а г — ее жесткость на изгиб), так что эти функции также желательно аппроксимировать на одномерпоа сетке (обычно в ее промежуточных узлах). Рассмотрим аппроксимацию первого выражения в (7.10) в узле х„Е ~х„ы х„+1] сетки с переменным (в общем случае) шагом, предполагая, что функция р(х) на отрезке [х„ы х„+1] положительна и имеет конечное число точек разрыва первого рода, но функция о(х) = — р(х) и'(х) непрерывна на этом отрезке и непрерывно дифференцируема в интервалах между точками разрыва.
Сначала проинтегрируем равенство и (х) = — — на х(х) р(х) отрезке (х„, х„+г]: х ~+1 х е1 Г ни(х) )' о(х) ох = и„+1 — и„= — г — дх ох / р(х) и приближенно примем, что о(х) о„+ 7 = о(х + 7 ) = сопя1. при х Е (х„, х„+1]. Тогда получим хп+1 1 дх ко+1 — и -оп+г)г / 1 р( )' хп 409 7.3. Метая бааанеа и отсюда и„+1 — и„ ма+1/2 Ра+1/2 а+ 1/2 (7.11) где аа+1 1 1 ( 11х Ра+1/2 " + /2 / Р(х) Аналогично находим и„— и„1 и — 1/г Р -1/2, > й„1/г (7.12) где Ра-1/2 Аа-1/2 ./ Р(х) 1 Используя центральную конечную разность в узле х„, с учетом (7.11) и (7.12) получаем '+1 (ра+1/2 / +Ра-1/2 е /' ( ' ) п /г.+1/г — 1/г Описанную процедуру построения аппроксимации левой части (7.13) называют мегггодом баланса (иногда интегро-интерполяционным методом), поскольку правая часть (7.13) позволяет в разностной форме выполнить условия баланса, соответствующие тому или иному закону сохранения.
Если функция и(х) имеет смысл температуры, а Р(х) — теплопроводности среды, то отношения "~м' в (7.11) и (7.12) равны суммарным Р Ы/г термическим сопротивлениям слоев неоднородной среды, расположенных между соседними узлами, а выражение в скобках в правой части (7.13) является суммой прнтекаюших в узел х„ 410 7. ОСНОВЫ МЕТОДА НОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ тепловых потоков. Если же и(х) трактовать как распределение электрического потенциала, а р(х) — как электрическую проводимость, то в скобках в правой части (7.13) получим сумму электрических токов, притекающих в этот узел (отношения "аы' в (7.11) и (7.12) будут суммарными электрическими Р я1/2 сопротивлениями слоев среды между соседними узлами).
Аналогичную трактовку имеет (7.11) — (7.13) применительно и к другим физическим процессам. Оценка порядка погрешности, возникающей при аппроксимации левой части (7.13), в общем случае довольно сложна*. В частном случае р(х) = ро = сопе1 имеем р„х1~2 — — ро и аппроксимация (7.13) равносильна (7.5), т.е. имеет первый порядок погрешности, который возрастает на единицу при Ь„~17э = 11 = = сопас, поскольку тогда аппроксимация (7.13) будет равносильна (7.3).
Если функция р(х) непрерывна, то можно получить аналог формулы (7.13), заменив в ней р„я171 на р„~171 —— р(х„~17з). Оценим возникающий при такой аппроксимации порядок погрешности, полагая, что функции и(х) и р(х) непрерывно дифференцируемы необходимое число раз на отрезке х Е (х„1, х„+,]. Для этого сначала при помощи представления вида (7.2) функции п(х) = — р(х) и'(х) в окрестности узла х„запишем единым выражением значения этой функции, вычисленные в точках х„х1~1 — — ха ~ па~1/з/2: р(х) и'(х) ~ = р(х) и'(х) ~ а~1/2 ~ (р(х) и (х)) ~ + — (р(х) и (х)) йз ~ — (р(х) и(х)) / + ..
"См., например: Самарский А.А. 411 7.3. Метод баланса Затем после почленного вычитания из равенства с верхними знаками „+" в индексах и перед слагаемыми равенства с нижними знаками „-" получим р(х) и'(х) ~ — р(х) и'(х) ~ (р(х) и (х)) ~ х=х Ь„ — .(* ° ° Ьг /2 )о и+4/г -~/г ХюХп 4(ЬП+1/г + ЬП вЂ” 1/2) ГдЕ Ь„= так(Ьп,/г, Ь„+~/2). Теперь при помощи разложения функции и(х) в ряд Тейлора в окрестности точек х„~~/2 запишем значения этой функции, вычисленные в узлах х„и х„х1. 4 ох 1/2 1 о Ьг пх1/2 и„= ип~,/г ~ и (х) ~ + — и (х)) + 2 2 ~х=хпп|р 4 'х=хпа~/2 8 24 'х=хпаыг 16 Ьг ! Ьпх1/2 1 и ! п~!/2 ипх1 — — и„х~/г ~ и (х) ~ +-и (х)~ )х=х ыр 2 2 х=хпЫ 22 ух( ~ п~1/2 ~о ( ) ) п~1/2 + 6 ~х=х„Ыр 8 24 )х=хпа,/2 !6 Вычитая почленно из последнего равенства предыдущее, полу- чим 2 пх1/2 4 х=х аы/х Ьп~1/2 'х=хпЫ ~х 24 412 7.
ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ если умножить это равенство иа значение р„+1/2 = р(х~ы/2) " учесть, что р(х) и'"(х) ~ = р(х) и"'(х) ~ х ~ (р(х) и (х)) ~ +0(6„), то получим 62 ~р(Х)и'(х)~ =р„~1/г "+' "~р(х)~ил(х)~ ~~=~вьц2 6((я1/2 24 6з — (р(х) и (х)) ~ +0(6„). После почлепиого сложения строк с верхним и нижним зваками соответственно и подстановки результата в (7.14) находим ! А 1 / и„е1 — и„ и„ 1 — и„ 1 (р(х) и (х)) ~ = ~ р~+1/2 + Р~-1/г / х=х 6(( и+1/2 ((-1/г Ф=Хн — ((р(х) и'(х)) + (р(х) и'"(х)) ) ~ х ~ пах„ /2 1,г х — + 0(6з) (7 15) ((+1/2 ((+1/2 ((-1/2+ ((-1/2 З 24 Итак, при равномерно расположенных узлах (6„х1/2 — — 6„= 6 = = сопвФ) погрешность аппроксимации левой части (7.15) первым слагаемым правой части (7.15) имеет второй порядок, а если узлы расположены неравномерно, то лишь первый порядок.
Теперь перейдем к аппроксимации второго выражения в (7.10) в узле х„Е (х„г, х„+2) неравномерной сетки, предполагая, что функция г(х) на отрезке (х„г, х„+2) положительна и имеет конечное число точек разрыва первого рода, но при этом 413 Т.З. Метод оааанса Отсюда, используя (7.4), получаем ги /пи+1 пи пи-1 пи '! 2хи ( + )1 /ги /2»+1/2 /2»-1/2 (7.16) где Х»+ «2 Х» 1/2 Аналогично находим Го+1 Пи+2 Пи+1 Пи Пи+1 п/и+1 = + "и+1 "и+2/2 " +1/2 и-1 Пи-2 п-1 Пи Пи-! ) (7 18) П/и-1 л ~ + " -З/2 -1/2 Здесь х»-1(2 +3/2 х -2/2 х»+1/2 1 И /2»ХЗ/2 = (Х»Х2 Х»Х1~1 /2»Я! = -(Хихг Х»~1 Х»~З/2 = Х»Х! 2-' + Ь„аз/2.
В итоге, использУЯ (7.5), полУчаем ) ~ ) ). (7.19) /ги /2»+1/2 /2» 1/2 ф ункция п1(х) = г(х) и"(х) непрерывна на зтом отрезке и дважды непрерывно дифференцируема в интервалах между точка- и ю(х) ми разрыва. Сначала проинтегрируем равенство и (х) =— т(х) На ОТРЕЗКЕ (Хи 1/2, Хи+1/21, ПРИбЛИжЕННО ПРИНЯВ На ЗтОМ ОТРЕЗ- ке и/(х) и/и хх и/(хи): Х +1/2 Х»+! /2 х +1/2 ' Их=и' — и' = ! — Нхвп/„| /1хг »+1/2 -1/г = ! г(х) и,/ т(х) ' Х -1/2 Х» — 1/2 Х» — 1 (2 414 Х ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕИ Аппроксимация производных при помощи метода баланса приводит к единообразным выражениям вне зависимости от того, как расположены возможные точки разрыва функций р(х) и г(х) в (7.10). В случае неоднородной среды использование метода баланса обычно позволяет ограничиться применением равномерной сетки с постоянным шагом.
7.4. Пример простейшей разностной схемы В одномерных стационарных краевых задачах математической физики искомые функции зависят лишь от одной пространственной координаты и не зависят от времени. В математическую формулировку таких задач входят обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) с граничными условиями. Рассмотрим построение разностной схемы для сравнительно простой краевой задачи, описываемой линейным ОДУ второго порядка — и (х)+д(х) и(х) = 7(х), х Е [О, 1], (7.20) где д(х), 7'(х) Е С[0, 1], с граничными условиями и(0) = иа и(1) = иь (7.2! ) К задаче (7.20), (7.21) можно прийти при рассмотрении установившегося распределения температуры и(х) в тонком цилиндрическом стержне длиной 1, торцы которого имеют заданные значения температуры йа и иь а на его боковой поверхности происходит теплообмен с окружающей средой (рис.
7.1). При этом интенсивность теплов 'ц, обмена задает функция д(х) > О, х 6 [0,1], а изменение температуца ры и,(х) среды вдоль стержня— функция 7'(х)/~1(х). Разобьем отрезок [О, 1] внутренними точками х„= пЬ, и = Рис, 7.1 = 1, Ж вЂ” 1, на Ю частичных от- 7.4. Пример простейшем ревностной схемы 415 резков равной длины Ь = 1/А7, т.е. введем равномерную одномерную сесину с номерами узлов и = О,~Ч. Для каждого внутреннего узла х„, и = 1, Ж вЂ” 1, используем аппроксимацию (7.3) второй производной ив(х), имеющую второй порядок погреисиостпи. Тогда из (7.20) получим систему Ф вЂ” 1 разносптных уравнений +д„и„= ~„, и =1, У-1, (7.22) (7.23) Ам=у включает квадратную трехдиагоиальпую матприцу 2+ д~Ьз — 1 Π— 1 2+ дзЬз — 1 Π— 1 2+ ЧзЬз О О О О О 2+р,,Ьг 1 О О ...
— 1 2+ух 1Ьз О т порядка Ж вЂ” 1 и векторы и = (и1 из ... и„... ищ 1) у = т = (у, уз ... у„... ук,), где у~ = 71Ьз+ив, ук-1 = Пч-1Ь + +им и у„= Д„Ьз, и = 2, М-2. Из (Ю вЂ” 1)з злементов матрицы относительно неизвестных узловых значений и„искомой функции и(х), причем д„= д(х„), Д =Дх ) и в соответствии с (7.21) ио йо им= иь Итак, разностная схема в данном случае состоит из равномерной одномерной сетки с %+1 узлами и системы (7.22) разностных уравнений при заданных значениях ив и ик. Ясно, что (7.22) образует систему А7 — 1 линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно узловых значений и„, п = = 1, Ю вЂ” 1, магпричная запись которой 416 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ А ненулевыми являются лишь ЗХ вЂ” 5 и соответствуют коэффи- циентам СЛАУ (7.22), которую можно представить в виде Ь1и1 — с1 иг = у1 + Ь и — у„п = 2, Ж-2, (7.24) — ан 1ин г+ Ьн 1ин 1 — — ун где а„=с„|— - 1, п=2,У вЂ” 1, и Ь„=а„+с„+у„Б ~0, п= = 1, 1У-1, если учесть, что а1 — — сн 1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
