XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 57
Текст из файла (страница 57)
При д(х) > О, х 6 (0,1), коэффициенты в (7.24) удовлетворяют неравенствам ܄— а„— с„> О, а„> О, п=1,Ж-1, с„> О, и = 1,%-2. (7.25) В рассматриваемом случае выполнены неравенства (Ь„( > (а„(+ )с„) > (а„(, и = 1, А'-1, (7.26) причем а1 = он 1 = О, т.е. при п = 1 и п = 1У вЂ” 1 первое неравенство в (7.25) является заведомо строгим. Если это неравенство является строгим хотя бы для одного значения и, будем говорить о трехдиагональной мапгрице с часгпичкым диагональным преобладанием. В случае д(х) > О, х 6 (О, 1), все неравенства в (7.26) строгие, т.е.
А — матраца с диагональным преобладанием. СЛАУ, у которой матрица с диагональным преобладанием, имеет решение, и притом единственное (ИЦ. Это решение можно найти мешодом Гаусса. Для решения СЛАУ, матрица которой имеет частичное диагональное преобладание, наиболее эффективным является мепгод прогони~ основанный на возможности выразить любое узловое значение и„, и = 1, Ж вЂ” 2, через значение и„+г в соседнем 417 7.4. Пример простейшей раэностпой схемм узле, т.е. (7.27) в=1,% — 2, и„= р„и„+1+ и„, причем из первого равенства (7.24) имеем р1 —— — ' и и~ —— Р', а ь, ь, ' далее из (7.24) при помощи (7.27) находим 6„— а„н„~ ܄— а„р„ Подставляя ич г — — ру зим 1 + рм т в последнее равенство (7.24), получаем У;ч 1+ам 1им з ви-1 = Ьм-1 — а~ч 1р~ч-з (7.29) ) б„) = )6„— аппо 1) > )Ьп) — )апре 1) > )Ь„! — )а„) > О, т.е.
Ь„ф О. Кроме того, имеем (сьп( > )сп), и = 1, Х вЂ” 2, и в данном случае )сап( > (ап), и = 2, Ж-1. Позтому (~ып) = —" < 1 и (с„) |а„! < рл и(. Следовательно, алгоритм метода прогонки, исполь- Это позволяет затем при помощи (7.27) и предварительно вычисленных по формуле (7.28) козффициентов ц„и р„найти остальные значения и„, где номер в последовательно принимает значения Ж вЂ” 2, ..., 1.
Решение СЛАУ (7.24) существует и единственно, если по формулам (7.27) — (7,29), полученным из СЛАУ зквивалентными преобразованиями, можно однозначно найти неизвестные значения и„, и = 1,Ж вЂ” 1. Это будет в том случае, когда ни один из знаменателей 9,„= 6„— а„в„1 в (7.28) и (7.29) в процессе вычислений не обращается в нуль. С помощью метода математической индукции покажем, что для существования и единственности решения СЛАУ достаточно выполнения условия (7.26). Действительно, сл1 = Ь1 ~ О и )р1~ = — ' < 1. Пред)Ь| ( положим, что сл„1 ф О и ~р„1~ < 1 при 2 < и < Ю вЂ” 1. Тогда получаем 418 7.
ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ зующий рекуррентные формулы (7.27) и (7.28), не приводит к накоплению вычислительной погрешности, связанной, например, с ошибками округления. В таком случае говорят, что алгоритм обладает вычислитпельной устпобчивостпью. В рассматриваемом случае алгоритм метода прогонки обладает устпобчивостпью и по входным данным, поскольку возможные погрешности в задании исходной информации прн формулировке краевой задачи (7.20), (7.21) не возрастают в процессе вычислений благодаря выполнению неравенств ~1т„~ < < 1 и (а„( < (Ь„( < 1. Алеоритпм называют устпойчивым, если он обладает одновременно и вычислительной устойчивостью и устойчивостью по входным данным, и неустообчивым в противном случае. Для СЛАУ (7.24) справедлив так называемый прииттип маттсимума, состоящий в том, что и„< 0 при выполнении неравенств (7.25) и ир < О, ин < О, у„< О, и = 1, Ат — 1.
Докажем зто от противного. Предположим, что и„> 0 в одном или нескольких внутренних узлах х„, и = 1, А' — 2. Обозначим через х узел, в котором значение и > 0 является наибольшим. Тогда в соответствии с (7.25) имеем а„,и >а„,и „ с и >с и и с учетом (7.24) запишем 0 < (6 — а — с ) и,„< < б„,и„, — а,„и~ ~ — с,„и +~ =у„, < О. (7.30) Полученное противоречие (О < 0) доказывает, что и„< О, п = = 1, Ат — 2. Если же наибольшим является значение иьт ~ > О, то при т = Ж вЂ” 1 также приходим к противоречию в (7.30), поскольку аН ~ > 0 и сН ~ = О. СЛАУ (7.24) получена эквивалентными преобразованиями из СЛАУ (7.22).
Поэтому принцип максимума по отношению к (7.22) можно сформулировать так: и„< 0 при выполнении неравенств (7.25) и ио < О, ин < О, ~„< О, и = 1, А' — 1. Х4. Пример простейшей реоностной схемы 419 Если в (7.22) ~„= О, и = 1, 1У вЂ” 1, то для узловых значений оп, п = 1, А1 — 1, являющихся решением такой СЛАУ при пп = ие и нл! = и,ч, справедлива оценка и!ах (и„! < шах((ие), (и,ч() = М > О. (7.31) п=1,%-1 Действительно, рассмотрим совокупность узловых значений („= н„— М, и = 1, Х вЂ” 1, которые будут удовлетворять (7.22) при )'„= — Мд„Ь < О, и= 1, Ж вЂ” 1, причем со =оп — М < О и ~1х = = ол! — М < О.
Поэтому, согласно принципу максимума, имеем С„< О, или ьп < М, и = 1, 1У вЂ” 1, откуда следует (7.31). Пусть теперь множество узловых значений и1„, и = 1, А! — 1, удовлетворяет СЛАУ (7.24) при условии шо = шм = О, Обозначим У = шах Щ и рассмотрим совокупность узловых п=1, 1Ч-1 значений хп = -Ух„(1 — х„) = — Уйзп(1У вЂ” и) > О, и = 1, Ж-1. 1 1 2 " " 2 Непосредственной проверкой убедимся, что тогда значения Ь„= и1„— г„, в = 1, М вЂ” 1, будут удовлетворять СЛАУ (7.24) при условии 1,е =(л! =О, если в ее правой части 7"„заменить на 7'„— У вЂ” д„лп < О, и = 1, А!-1. Следовательно, согласно принципу максимума, получим ~„< О, или хп (1 хп) шп ~< хп — У 2 — и!ах )Я, и = 1, Х вЂ” 1. (7.32) х„(1 — х„) 2 п-1,1х-! Отсюда с учетом А!6 = 1 находим У~2 12 шах (ш„( < п1ах (г„! < — = — п1ах )Я. (7.33) м!,Х 1 =1т-'1 8 8 =1,Ж-! 420 Х ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ Ясно, что при заданных значениях ие и ин решение СЛАУ (7.24) можно представить в виде и„= и„+ и~„.
Поэтому с учетом (7.31) и (7.33) справедлива оценка шах )и„+ го„! < шах (и„) = о=к %-1 < шах )о„) + шах )го„) < аж1,Л~-1 а=1,М-! 1г < шах~)ие(, (инЦ+ — п1ах (Я. (7.34) 8 п=~,Н-~ Теперь вывод об устойчивости по входным данным алгоритма метода прогонки при решении СЛАУ (7.22) можно перенести на соответствующую этой СЛАУ разностную схему. Пусть й„, и = 1, Ю-1, — решение СЛАУ (7.22) при правых частях 1„ и заданных йо, йн.
Тогда значения и„= и„— й„, п = 1, Ф вЂ” 1, будут удовлетворять СЛАУ (7.22) при правых частях Ь|„= =,1'„—,)'„и заданных Ьио = ие — йо, Ьин = ин — йн, а вместо (7.34) получим шах )0„( = шах (и„— й„( < в=1, М-1 а=11, Н-1 1з < п1ах((Ьие), )Лина + — шах ).ЛЯ. (7.35) 8 =1,Н Значения Ь|„, и = 1, Ф вЂ” 1, и Ьио, Ьин можно рассматривать как погрешности при задании исходной информации для краевой задачи (7.20), (7.21). Выполнение неравенства (7.35) означает, что рассматриваемая разностнал схема обладает устойчивостью по входным данным. Перейдем к оценке погрешностей, возникающих при приближенном решении краевой задачи (7,20), (7.21).
Пусть функция и(х) является точным решением этой задачи и предположим, что й(х) имеет на отрезке (О, 1) непрерывную производную четвертого порядка. Тогда, подставляя в разностные уравне- 7,4. Пример простейшей разиостиой схемы 421 ния (7.22) вместо и„значения и„= и(х„) и используя прибли- женный вариант (7.7) при 6„~272 — — гг, получим е— й и„г — 2и„+ и„+г + д„й„— 1„— и„+ и„— + " 12 — ['2 + п„й„— ['„= й„'~ — = гг'„, п = 1, г"т' — 1, (7.36) " 12 поскольку, согласно (7.20), -й'„'+ г7„й„— 7"„= О. Значение йг гр = шах [ф„[ = — гпах [й~~[ < — гг~, М4 — — гпах [й~~(х)[, и=1,м — г 12 е-г,лг — г 12 ее[о,г) [ — х„ [й„— и„[ < х„— гпах ф„[ < п=г,%-1 < Млгг х„", и=1,% — 1, (7.37) 24 откуда следует М41 2 Ьи = гпах ~йе — и„[ < — 6 . 96 (7.38) Значение Ьи называют погрешкосгпью разкостпкой схемы.
Если .Ьи — г 0 при 12 -+ О, то говорят, что решение разностных уравнений сходится к решению соответствующей краевой назовем поерешкостью аппроксимации ОДХ (7.20) рассматриваемой разностной схемой. Говорят, что разностное уравнение аппроксимирует ОДУ, если 4Р -+ 0 при Ь -+ О. При Ф этом показатель степени пг' в неравенстве Ф < С'о-., где С' > ) 0 — некоторая константа, называют порядком аппроксимации. В данном случае т' = 2. Иэ (7.36) следует, что значения й„, п = 1, Ж вЂ” 1, удовлетворяют (7.22) при замене 7"„на 7„= 7'„+ г[г„, т.е. значения Ьи„= й„— и„удовлетворяют условиям Ьио — — Ьилг = 0 и СЛАУ (7.22) при замене в ней 7"„на г[г„. Тогда в соответствии с (7.32) н (7.36) имеем 422 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
