XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Тогда вместо (8.3) получим систему Ж вЂ” 1 разностных урав- нений 1 / и„+! — и„и„! — и„! ~Р +Цг „+Рн-1/г )+% и„= н ~~в+1/2 и-1/2 =,1„+ г„ио+ в„ил!, где А„— весовые коэффициенты квадратурной формулы, а  — ее ногрешнос!пь, причем узлы х„квадратурной формулы совпадают с узлами сетки. Тогда, пренебрегая в (8.21) значением В и используя для аппроксимации производной и'(х) в (8.20) левую конечную разность, можно записать ц П Разностные схемы дла стационарных задач 437 и = 1, Х-1, где дополнительно обозначено 2 ~21/2 за+1/2 1 а„ = — ( а*(х)с/х.
6„,/ 1 — / г'(х)с/х, 6„,/ -1/2 — 1/2 Сравнивал эту систему с (8.9), видим, что в левой части уравнений появились еще два слагаемых, н систему можно записать в виде — 1р„ио — а„и„2 + 6„и„— с„и„+1 — у/он/1/ = у„, п = 1, А/ — 1, (8.23) где /Р„= г„6„1 26„= а„/2„. В случае связанных граничных условий аналогично (8.22) прн х = 0 имеем (см. пример 8.1) Ж-2 6оио — Я д„'ио — у/ои/ч = уо (8.24) где д„', п = 1, А/ — 1, 2ро н уо — известные коэффициенты, Тогда (8.22) — (8.24) образуют СЛАУ вида (8.10) с квадратной мат- рицей 6о (8.25) 0 0 0 ...
Ьл/ 2 -сл/-2-У/л/-2 -д/ -дг -дз ". -д/ч-2 6/2/ порядка А/+1, которую можно получить нз трехдиагональной матрипы (8.11) того же порядка заменой окаймляющих ее строк и столбцов строками и столбцами с ненулевыми (в общем случае) элементам н. д( дг Уз 61 -с1 0 -ог Ьг — сг 0 -оз Ьз дл/-2 О 0 0 438 8.
ОДНОМЕРНЫЯ ИРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Для одномерных стационарных задач, описываемых линейными ОДУ выше второго порядка, разностная схема представляет собой СЛАУ с матрицей, в большей мере заполненной ненулевыми элементами, чем трехдиагональная матрица, характернал для задач с ОДУ второго порядка. Это связано с необходимостью использовать для аппроксимации производных порядка выше второго значения функций более чем в трех соседних узлах. Прямер 8.2. Рассмотрим построение разностной схемы краевой задачи для линейного ОДУ четвертого порядка (г(х)и"(х)) +д(х)и(х) = Дх), х Е (0,1), (8.26) Рис.
8.1 Рис. 8.2 где г(х) > го > 0 и д(х) > 0 на отрезке [О, 1). Таким уравнением описывается, например, поперечный прогиб и(х) балки под действием распределенной поперечной нагрузки 1(х). Балка имеет переменную жесткость г(х) на изгиб и лежит на упругом основании, реакцию которого определяет слагаемое д(х) и(х). Для задачи с дифференциальным уравнением (8.26) должны быть заданы четыре граничных условия.
Если речь идет об изгибе балки, граничные условия отражают то, как закреплены ее концы. Так, для консольной балки с жестко защемленным левым и свободным правым концами (рис. 8.1) граничные условия имеют вид и(0) = и'(О) = ии(1) = и'в(1) = О. Если балка имеет на концах опоры, допускающие (в отличие от жесткого эащемления) поворот ее поперечного сечения пропорционально действующему вэтом сечении изгибающему моменту (рис. 8.2), то в этом случае граничные условия принимают следующий вид: и(0) = и(1) = О, и'(0) = аг(0) и"(0), и'(1) = 1)г(1) и"(1). Из 439 В.
!. Рээиостные схемы Лля стааионариых задач сОЯΠ— Ноп1+ еоаг = УΠ— б, по + с., и1 — 1(1 иг + е! аз = у1, (8.27) ал! 1и!ч-з — ба!-1и/е-2+с!е-1и!ч-1 — Н!ч 1и!ч =у!ч 1, а!сны ! — быих! !+сын!ч = у!ч. Аппроксимация четвертой производной в ОДУ (8.26) возможна при помощи центральных разностей лишь в узлах с номерами и = 2, А/-2. Для этих узлов иэ (8.26) в соответствии с (7.16) — (7.19) следует аиии г — биии 1+с аи — Н„и +1+е„и„+г — — Уи, (8.28) ГдЕ С уЧЕтОМ ТОГО, Чта Ьи,/г + Ьи+1/г = 2Ьи, 2 си + Ги-1 аи— Ьи-3/2Ьи-1 Ьи-1/2 ги-1 б.=а.+Ь Ь2 и-1/2 2 Ьи, Ьи+1/г 1 и+1 1 и+1 еп— И„= еи+ " +з/гбп+1 Ь +1/г ".
+1/1„+,/г 2ги + г ит1/2 п-1/2 уи = ХиЬи, си сс би — пи + 11„— еи + УиЬи, и = 2, А/ — 1. этих уравнений при о =,9 = 0 вытекают условия жесткого защемления, а при о — 1 со нли,д — 1 оо — шарнирного опирания: иа(0) = 0 или яа(1) = О. Предположим, что четыре граничных условия для ОДУ (8.26) заданы попарно на каждом из концов отрезка (О, 1] и содержат (в общем случае) линейные комбинации первых трех производных функции и(х) в точках х = 0 и х = 1, причем третья производная входит лишь в одно условие из каждой пары. Тогда на одномерной и, вообще говоря, неравномерной сетке с узлами хи, и = О, А/, граничные условия можно аппроксимировать при помощи правых и левых разностей (см.
7.2). В результате получим уравнения 440 а ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДА ЧИ Разностные уравнения (8.27) и (8.28) образуют СЛАУ вида (8.10) с илтидиаеональной мвнгрице41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 О 0 0 0 0 со -"о ео -Ь1 с1 -Иг аз Ьг сг 0 аз -Ьз 0 0 е1 0 -пг ег з — "з О 0 0 0 0 ... а,ч 1 -Ь~ч ~ сл г -НА' О 0 0 0 0 ... 0 а~ч -Ьу са порядка %+1 Ясно, что е„=а„ег, и=2,)Ч вЂ” 4, и Н„=Ь„+„и=2,% — 3, но в целом эта матрица будет симметрической лишь в некоторых частных случаях задания граничных условий. ф СЛАУ вида (8.10) с полученными выше матрицами можно решить методами линейной алгебры (в частности методом Гаусса), на основе которых разработаны алгоритмы н составлены программы, входящие в математическое обеспечение ЭВМ.
Однако эти программы предусматривают обычно запись в памяти ЭВМ всех элементов матрицы СЛАУ, содержащей для системы из 1У уравнений Фг элементов. Вместе с Ж значениями правых частей алгебраических уравнений исходная информация составляет Ж(А'+ 1) чисел. Прн решении СЛАУ методом Гаусса количество арифметических операций пропорционзльуз Для решения СЛАУ с трехдиагональной матрицей наиболее рациональным является метод прогонки. Ниже (см.
Д.8.1) рассмотрены различные модификации этого метода, позволяющие в некоторых случаях получить решение СЛАУ с матрнцей, отличающейся от трехдиагонзльной, например с пятидиагональной матрицей. аЗ. Задача Штурма — Лиувиллл 8.2. Задача Штурма — Лиувиллн Вернемся к случаю р(х) > ро > 0 и до ( д(х) < 0 (х Е [О,!]) в (8.1), характерному для систем, в которых возможны явления бифуркации, резонанса, теплового взрыва и т.п. Для таких систем может быть поставлена задача нахождения критических условий, при которых возникают подобные явления, т.е. вычисления критических нагрузок, резонансных частот колебаний, предельных значений теплового воздействия и т.д. Такие задачи включают однородное обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) вида (8.1) при 1(х) = 0 с однородными граничными условиями.
Входящий в ОДУ искомый критический параметр находят из условия существования нетривиального решения однородной задачи, которую называют задачей Штурма — Лиувилля. Применим метод конечных разностей к приближенному решению такой задачи с ОДУ вЂ” (р(х) и'(х)) — (Л вЂ” а(х))и(х) = О, х Е [О, 1], (8.29) и граничными условиями и(0) = 0 и и'(х)~, = 0 на концах отрезка [О, 1]. При этих условиях и при выполнении неравенства к~ра > -де оператор А, заданный при помощи (8.29), будет положительно определенным (см.
пример 5.10) с положительными собственными значениями. При невыполнении этого неравенства свойство положительной определенности может быть утрачено, но оператор А останется симметрическим, а его собственные значения будут действительными числами [ХЧ]. В случае равномерной одномерной сетки с шагом Ь = 1/1У и узлами х„= пй, и = О, Ю, рассматриваемой задаче отвечают разностные уравнения (при иа = 0) — а„и„1+(܄— Л)и„— с„и„+1 — О, и = 1, Ю, (8.30) 442 а ОднОмеРные НРАВВые 3АдАЧИ где в соответствии с методом баланса с,~ = О, а также х +К/3 1 1 Г дх — = — =Ь ~' с„ а„ч.1 р(х) х 1 Г 6„= а„+с„+ — / о(х) Их, (8.31) х -Ч2 и = 1, Х-1, и, кроме того, о 1 Ьы = аы+ — / о(х) Их. 6 .Г 6 — .
О ... О О -а2 62 — С2 ... 0 0 0 — аз Ьз ... 0 0 (8.32) 0 0 0 ... бы 1 — сн1 0 0 0 ... -аы Ьн порядка М, будет равенство нулю определителя де1(А — Л1). Так как в (8.31) а„+1 = с„, и = 1, Ф вЂ” 1, то матрица А является симметрической. Поэтому все корни Л, т = 1, Ю, характеристического уравнения де1(А — ЛГ) = 0 этой матрицы действительные и являются ее собственными значениями. Отметим, что переход от (8.29) к (8.30) позволяет найти приближенные значения Л' лишь Ж собственных значений Л т = 1, Ф, оператора рассматриваемой задачи. Условием существования нетривиального решения следующей из (8.30) однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Аи — Л!и = О, где и = (и1 из ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
