XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Но при этом коэффициенты в (8.9) примут вид а = — — —" 6 =2 — +ой с = — + —" Р» Р» Р» Р» Р» » так что матрица (8.11) утратит симметричность, а для выполнения неравенств (7.25), связанных с существованием для т порядка У+ 1 и (%+1)-мерные векторы и = (ио и1 ... ил~), т У=(Уо У1 ". Ум) . Так как а„=с„1, п=1,1У, то эта матрица симметрическая. Она содержит не более 2Ф+1 не равных между собой ненулевых элементов и является матриией с частичным диагональным преобладанием, поскольку 6о > со и Ьу > а~и. СЛАУ с такой матрицей может быть решена метподом прогонки.
430 а ОднОмеРныЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ данной разностной схемы приииипа максимума, шаг сетки не- обходимо будет выбирать из условия Ь шах —" <2. М (8.12) =1,а'-1 Ри Это условие может оказаться весьма обременительным при резком изменении функции р(х) на отрезке [О, 1], когда ~р'(х)~ достаточно велико при х Е [О, 1]. Нарушение условия (8.12) может привести к утрате матрицей (8.11) свойства частичного диагонального преобладания, что не гарантирует эффективности метода прогонки и ставит под сомнение возможность использования данной разностной схемы на практике.
Замечание 8.2. Другим примером утраты свойства частичного диагонального преобладания матрицей (8.11) при аппроксимации дифференциального уравнения являются задачи, описываемые ОДУ (7.20) при а(х) < 0 или (8.1) при р(х) > 0 и д(х) <О, х 6[0,1]. Ограничение на выбор шага сетки возникает и для задач, в которых наряду с диффузионным переносом физической субстанции необходимо учитывать и конвективный перенос движущейся средой (см. 1.2).
В качестве примера рассмотрим установившийся процесс переноса вещества с концентрацией и в одномерной системе, описываемый ОДУ вЂ” Ри"(х) + и(х) и'(х) = ((х), х Е [О, 1], (8.13) где и — скорость среды, Р— коэффициент диффузии вещества в среде, а функция у(х) характеризует в данном случае интенсивность подвода вещества в систему. Это же ОДУ описывает перенос тепловой энергии, если и считать температурой среды, Р— коэффициентом температуропроводности, а ~ — величиной, пропорциональной мощности распределенных источников теплоты. И К Разностные схемы для стационарных задач 431 Аппроксимация производных в (8.13) иекзпралькыми разкостаами на равномерной одномерной сетке с узлами х„= п6, и = О, 1Ч, и шагом 6 приводит к разностным уравнениям Р сн 2Р Р ио ( 2+ )""-'+ 2 "" ( г )и"+' со вторым порядком аппроксимации, которые соответствуют (8.9) прн Р ин 2Р Р иа а„= — + — ", Ь„= —, с„= — — — ", и = 1, Ж-1.
(8.14) 62 26 62 62 и(х) и'(х) ~ = и„" " +0(6), анри с„<О— и(х) и'(х)~ = и„"~ +0(6). Обьединяя зти соотношения в одно о(х) и'(х) ~ = ((и„(+ ио) + +((о„! — оо) " "+ +0(6), получаем разностные уравнения вида (8.9) с первым порядком аппроксимации и козффициентами Р )и„! — ин 62 26 2Р )и„) Ь = — +— и— Р )и„( + оо 62 26 Теперь условие частичного диагонального преобладания матрицы А в СЛАУ (8.10) выполнимо лишь при — < 1, причем 1е„~ь 2Р хотя бы для одного значения и зто неравенство должно быть строгим.
Это условие будет выполняться в любом случае, если в (8.13) аппроксимировать первую производную левой или правой разкостью, ориентированной против движения среды, т.е. при ц„> О использовать соотношение 432 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДА ЧИ п = 1, Ж вЂ” 1. Нетрудно проверить, что теперь матрица (8.11) сохраняет свойство частичного диагонального преобладания при любых значениях и„, но порядок аппроксимации разностной схемой уравнения (8.13) снижен на единицу. чг.
Вернемся к рассмотрению разностной аппроксимации ОДУ (8.1). Если входящие в него функции р(х), д(х) и ('(х) являются периодическими с периодом 1, т,е. р(х) = р(х+1), п(х) = д(х+ 1), 1(х) = 1(х+1), х б К, то это ОДУ может иметь периодическое решение и(х) = и(х+1), х б 1ч, с тем же периодом. Для поиска такого решения вместо граничных условий (8,2) на концах отрезка 10, 1) следует задать условия „сшивания" и(0) = и(1), р(х) и'(х) ~ = р(х) и'(х) ~ .
(8.15) Если р(+О) = р(1 — О), то второе равенство в (8.15) переходит в равенство производных и'(О) = и'(1). Это означает, что решение в точках х = 0 и х = 1 будет гладким. Такая задача возникает, например, нри нахождении распределения температуры при установившейся теплопроводности в упомянутом выше тонком стержне длиной 1, если он изогнут так, что его торцы находятся между собой в идеальном тепловом контакте.
При зтом температура и(х) и тепловой поток н(х) = — р(х) и'(х) изменяются вдоль стержня непрерывно. ревностную схему для поиска периодического решения можно построить исходя из следующих соображений. Если на каждом из отрезков (О, 11, (1,21), ... ввести неравномерную (в общем случае) сетку с %+1 узлами, причем узлы хм, хзм, ... будут общими для соседних отрезков, то коэффициенты и правые части в (8.9), а значит, н искомые узловые значения и„ станут повторяться с периодом Ж, т.е. а П Раэностные схемы Лля стационарных задач 433 Тогда вместо (8.8) в дополнение к (8.9) получим — аоим-~+ Ьоио — сои~ = уо и иы = ио (8 16) СЛАУ (8.8), (8.16) можно привести к матричной форме (8.10), но теперь А!-мерные векторы и и у будут иметь координаты и„и у„, и = О, Д! — 1, а квадратиал матрица А порядка Л примет вид Ьо — со 0 ...
0 — ао — аг Ь~ -сг ... 0 0 Π— Ь ... О О А= (8,17) О 0 0 ... Ьм г -сж-г — с>ы ~ 0 0 ... -ам-~ Ьл!-д Таким образом, матрица А теперь не является трехдиагоиальной, что пе позволяет применить для решения этой СЛАУ обычный вариант метода прогонки. Вместе с тем матрица (8.17), как и матрица (8.11), является симметрической, т.е. ао = = сч ы а число ие равных между собой ненулевых элементов будет пе более 2!У.
К СЛАУ с матрицей, отличной от трехдиагональпой, приводит и разиостиал схема краевой задачи для ОДУ (8.1) с граничными условиями, которые зависят ие только от граничных значений искомой функции и ее производной. Такие еракиикые услови.я называют свлзаккылаи. В частности, такие граничные условия могут содержать интегралы от искомой функции. Рассмотрим на примере, каким образом может войти такой интеграл в граничные условия.
Пример 8.1. Если для ОДУ (8.1) вместо (8.2) заданы оба условия иа одном конце отрезка [О,!) при х = 0 в виде и(0) = ио и и'(х)[ = и~~, то вместо краевой задачи получим задачу Коши для ОДУ второго порядка ['и'111] с указанными начальными условиями при х = О. Такие условия могут быть заданы, например, как результаты измерения температуры одного из торцов 434 Я. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ стержня (см. рнс. 7.1) н проходящего через этот торец теплового потока. Тогда целью решения задачи будет нахождение распределения температуры по длине стержня, соответствующее этим результатам измерения. В общем случае неравномерной одномерной сетки с номерами узлов и = О,/ч' нз второго начального условия, используя правую конечную разность, находим и1 = ив+ и,',/21/2 н далее, разрешая (8,3) относительно и»+1, и = 1, Ж вЂ” 1, приходим к рекуррентной формуле Рп — 1/гй»+1/2 йп/1»»п+1/2 1 и»+1 = 1+ + /ип— Р»+1/2»»-1/2 Рп+!/2 Рп-1/2/1»+1/2 1п/1п/1п+1/2 ип 1 — .
(8.18) Рп+1/2~»-1/2 Рп+1/2 Однако алгоритм, использующий (8.18), не обладает нн вычислительной устойчивостью, нн устойчивостью ио входным данным, т.е. является неустойчивым, поскольку коэффициент прн ип заведомо превышает единицу. Рассматриваемую задачу можно свести к задаче Коши для нормальной системы двух ОДУ ['ч'1П) и'(х) = —, и'(х) = а(х) и(х) — /(х), х б <О, 1), (х) р(х) с начальными условиями и(0) = ио н ц(0) = р(0)ио = ое.
Тогда, используя правые конечные разности, получаем разностную схему — = дни» вЂ” /», и = О, /1/ — 1, (8.19) /2»+1/2 Рп /1»+1/2 с заданными значениями ио и ио. Выражая ип нз второго равенства (8.19) н подставляя в первое равенство, приходим к рекуррентной формуле /,г г ьг и»+1 = 1— и+1/2 /гп+1/2 ,Г /1 ип + оп+1 + Рп Рп Р» Я.1. Разностные схемы лла стацнонарных задач 435 Аналогично, выражая ип из первого равенства (8.19) и подстав- ляя во второе равенство, находим хг и '" +1/г 1 1)п+1 1 ! ип + Чп/гп+1/гип+1 )п/рп+1/2.
Рп г чп и+1/2 шах (2, =ер)-1 Р Это условие при больших значениях отношения д„/р„ будет весьма обременительным, поскольку его выполнение может привести к необходимости выбора чрезвычайно малого шага сетки. Ио рассматриваемую задачу можно сформулировать как краевую, если для ОДУ (8.1) наряду с граничным условием и(0) = ие прн х = 0 второе граничное условие задать при х =/ в виде р) *) ') *) ~ — / р)* ) ) *) р * = р)р ) и - / у)* ) р* . )р, а) Условие (8.20) получено интегрированием ОДУ (8.1) на отрезке [О, 1) с использованием заданного второго начального условия и'(х)[ = и'.
При построении разностной схемы входящие во второе граничное условие интегралы можно приближенно представить соответствующими кеадратурными суммами. Предположим, что для интегрируемой на отрезке [О, 1] функпни Г(х) 1 М Г(х) 1(х = ~ А„г'(х„) + Н, о ппе (8.21) Из последних двух формул следует, что для обеспечения вычислительной устойчивости алгоритма, построенного на основе разностной схемы (8.19), значения /г„+1/г должны удовлетворять условию 436 а ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДА ЧИ !ч л! ин — и а!-1 ч Рю — ~~ Апдиип =Роно — ~~Аь~у = У!ч, 6 ~-~/~ =о где ра! = Р(1) и рв = р(0), или !Ч-1 — !Р!чио — ~~1, д„и„+ Ба!ин = ул! (8.22) Здесь РМ Рн ~ра! = Авдо, ба! = — Анвк, да!-1= -~ Ан-1дгг-1 й!Ч-1/2 й!Ч-1/2 и д„= А„д„, и = 1, !ч' — 2. Ясно, что (8.22) в сочетании с разностными уравнениями вида (8.3) для внутренних узлов образуют СЛАУ, для которой матрица не будет трехдиагональной, 4 В некоторых случаях в ОДУ вида (8.1) могут входить слагаемые, зависящие от неизвестных граничных значений искомой функции: — (р(х) и'(х)) +д(х) и(х) =!(х)+г'(х)и(0)+в"(х) и(1), х б [0,1), где г'(х) и в'(х) — функции, интегрируемые на отрезке (О, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
