XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 61
Текст из файла (страница 61)
ин) вектор узловых значений, Π— нулевой вектор размерности М, 1 — единичная матрица порядка Х, А — трехдиагональнал матрица 443 З.Н Задача Штурма — Лиувиллл Х Х: а;х =Лх,, или (Л вЂ” ан)х;= ,'1 а, х . ум~,М 1Ф Отсюда с учетом неравенства треугольника находим )Л вЂ” а,;((х;( < ~~~ )а,1()х ), 1= 1, № (8.33) Выбирая 1 так, чтобы (х;) = 1пах )х ), из (8.33) получаем 1=~,~ )Л вЂ” а11) < ~ )а; ) — ~ < ~ (а;Д =р;, (8.34) )х ) о 1"! ,мТ;М умТ,У ЗФ Уф1 поскольку — < 1, 1 = 1, № Таким образом, все собственные И значения рассматриваемой матрицы лежат в промежутке, являющемся объединением отрезков (ап — р;, аи+ р;], 1 = 1, Х, а для наибольшего собственного значения имеем оценку Л „< щах (ап+р;).
1=1, Х (8.35) Установленные свойства собственных значений составляют со- держание уиеоремы Гершеорина' применительно к симме- трической матрице. 'С.А. Гершгории (1901 — 1933) — российский математик. Перед нахождением собственных значений и соответствующих им собственных векторов матрицы А целесообразно оценить промежуток их возможного изменения. Сначала рассмотрим произвольную симметрическую матрицу (а; ) порядка Ж с элементами а, = а;, г, 1 = 1, № Пусть Л вЂ” собственное значение этой матрицы, а хт — координаты соответствующего ему ненулевого собственного вектора. Тогда для 1= ГУ будем иметь (по индексу 1 нет суммирования!) Для трехдиагональной матрицы (8.32) из (8.34) и (8.35) получаем (Л вЂ” Ь„( < )а„) + (с„), и = 1, Х, (8.36) Л < п1ах ((а„)+Ь„+)с„!).
и=1, Х (8.37) Л „<2 шах Ь„ 1=1,% (8.38) наибольшего собственного значения матрицы А по ее наиболь- шему диагональному элементу. Замечание 8.3. Покажем, что любая трехдиагонэльная симметрическая матрица А = (а„) порядка Ю, у которой отличны от нуля все элементы а„„+1, стоящие над диагональю (такую матприцу относят к неразложимым), имеет простые собственные значения.
Для этого рассмотрим матрицу 5'= = А — ~7, где 4 — некоторое число. Сначала убедимся, что минор этой матрицы, соответствующий элементу л1ч1, отличен от нуля. Действительно, определитель матрицы з1 порядка Ж вЂ” 1, полученной вычеркиванием Ф-й строки и первого столбца в матрице Я, равен взятому с обРатным знаком пРоизвеДению элемента е11 = аю ~ О на определитель матрицы Яэ порядка У вЂ” 2, образованной вычеркиванием первой строки и второго столбца в матрице 51. В Если в (8.85) выполнено третье неравенство и Ь„> О, п = 1, Ю, то из неравенств (8.36), (8.37) следует, что Л > ܄— )а„! — (с„( > > О, т.е.
все собственные значения неотрицательны. Если к тому же А является машрицей с частичным диагональным преобладанием, то де1А ~ О (см. Д.8.1), т.е. она не имеет нулевого собственного значения и все ее собственные значения положительны, причем с учетом соотношений )Ь„! = Ь„> )а„)+ (с„), и = 1, %, иэ неравенств (8.36), (8.37) следует более грубая, но и более простая оценка Л.2. Задача Штурма — Лиувилля свою очередь, этот определитель равен взятому с обратным знаком произведению элемента лзз = азз ф О на определитель матрицы 5з порядка Ж вЂ” 3, полученной вычеркиванием в 52 второй строки и третьего столбца, и так до тех пор, пока не дойдем до матрицы Ял ~, имеющей единственный элемент лл ~ ч = аь кч ф О. Следовательно, матрица Ь' имеет ненулевой минор порядка Ю вЂ” 1, равный произведению стоящих над ее диагональю элементов и числа ( — 1)~ '.
Для матрицы (8,32) этот минор равен произведению всех элементов с„, и = 1, М вЂ” 1. Таким образом, согласно определению ранга матрицы [Н!), К85 > Ю вЂ” 1 при любом С. Но если С вЂ” собственное значение матрицы А, т.е. ое15 = с1е1(А — с1) = О, то К85 ( Ж. Отсюда следует, что К85 = 1Ч вЂ” 1, а размерность ядра оператора, которому соответствует матрица 5, равна единице (!У). Это означает, что каждому собственному значению матрицы А соответствует лишь один (с точностью до константы) собственный вектор. Но для любого с иосопрлженного оператора с симметрической матрнцей существует ортонормированный базис 1!У], состоящий иэ Ж линейно независимых собственных векторов этой матрицы, каждый из которых не может соответствовать двум различным ее собственным значениям.
Так как матрица А имеет всего Ю собственных значений, то кратииость каждого из них должна быть равна 1, т.е. все собственные значения простые. Для неразложимой трехдиагональиой матрицы с частичным диагональным преобладанием при а„„> О, п = 1, Х, все собственные значения положительны и попарно различны. -,ф Нахождение приближенных значений А' при Ю » 1 итерационными методами связано с многократным вычислением значения характеристического многочлена де1(А — И) матрицы А при пробных значениях Л. Применение в данном случае формулы вида (8.38) затруднено в силу нарушения условия частичного диагонального преобладания применительно к матрице А — Л1, что может вызвать неустойчивость процесса вычислений.
Су- 446 и. ОДНОЛЛВРНЬ1В НРАВВЬ1В ЗАДАРЕН шествует устойчивый и экономичный способ, требующий для вычисления Дес(А — Л1) всего 5% арифметических операций (сложений и умножений). Он основан на рекуррентной формуле М =Ь М„~ — а„с„1М„э, и=1,%, (8.39) где ̄— угловой минор порядка п трехдиагональной матрицы А — Л1. Такие миноры иногда называют главными или главными диагональными.
Для начала вычислений при п = 1 следует положить Мо - — 1 и М 1 — — О. Тогда, последовательно увеличивая и, при и = Ж получаем с(ес(А — Л1) = МН. Отметим, что наряду с решением уравнения ДеЦА — Л1) = 0 для нахождения собственных значений матрицы А и соответствующих им собственных векторов применяют итерационные методы, не использующие вычисление значений характеристического многочлена". Иной путь нахождения собственных значений связан с применением алгоритма, характерного для численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка [ЧШ]. Однако использование для этой цели рекуррентной формулы Ь„ — Л а„ и„+1 = и„— — "и„1, и = 1, Х вЂ” 1, (8.40) сп сп которая следует иэ (8.30), приведет в общем случае к неустойчивому алгоритму. Действительно, если задаться пробным значением Л и при п = 1 выбрать произвольное ненулевое значение и1 (например, и~ — — 1), что возможно, так как любому собственному значению Л соответствует собственная функция и( 1(х), определенная в однородной задаче с точностью до постоянного множителя, то из (8.40) при ио — — 0 можно найти значение иэ и затем, увеличивая номер и, последовательно все значения и„+1 вплоть до иы.
Но так как в (8.40) коэффициенты Ь„/с„при и„и -а„/с„при и„1 по абсолютной величине 'Смс Амосов А.А., Яяовнсквй Ю.А., Копченова Н.В. 447 В.г. Задача Штурма — Лиувиллв могут превышать единицу, то из-за накопления вычислитель- ной погрешности попытка уточнить значение Л, удовлетворяя последнее уравнение — а1чил1 1+ (Ьл — Л) иа1 = О (,41) однородной СЛАУ, может не дать положительного результата. Преодолеть возникающие трудности можно следующим образом. Обозначим р(х) и'(х) = -о(х) (8.42) и после подстановки в (8.29) получим о'(х) — (Л вЂ” д(х))и(х) = О, (8.43) причем (8.42) и (8.43) образуют систему двух ОДУ первого порядка.
На неравномерной одномерной сетке с узлами хп, и = = О, Ф, ей соответствуют разностные уравнения ип ип-1 Рп-1/2 у Оп-1/2~ -1/г п=1,М; (8.44) Ь Оп+1/2 Оп — 1/2+ п — 1/2+ п+1/2 2 (Л вЂ” дп)ип, о=1,А/-1, (8.45) где рп,/г и д„вычислены, согласно методу баланса, в соответствии с (7.12) и (8.4). Приняв и1 = 1, из (8.44) прн и = 1 и ио = О получим о1/2— — — — Тогда, задаваясь пробным значением Л, последоваР1/2 Лмг тельно при каждом значении и = 1, А/ — 1 находим сначала из (8,45) опе1/г, а затем из (8.44) /1а+1/2 ив+1 —— ип — о„+1/г, и = 1, А/-1. (8.46) Р»+1/2 Если при и = А/ — 1 вычисление по (8.46) даст ипе1 — ил1, не удовлетворяющее (8.41), то следует задать новое значение Л и 448 8. ОДНОМЕРНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДА ЧИ повторять описанную процедуру до тех пор, пока это уравнение не будет удовлетворено с заданной точностью. В итоге получим одно из собственных значений Л .
Такой алгоритм решения задачи получил название метода стрельбы. В данном случае ведется ппристрелка" граничного условия при х = / путем подбора параметра Л Отметим, что вычисления этим методом можно вести в обратном направлении, задавшись пробным значением Л и Ьи — Л приняв ил1 = 1. Тогда из (8.41) получим ип1 1 = —, затем ан из (8.44) найдем ол1 1/2, а из (8.45)— пл1-з/2+ /гл/-1/г ол1-з/2 = н1я-1/г — (Л вЂ” Чл2-1) ил2-1 2 пи-1/2 + /1п+1/2 1 пи+1/2 и„+1 = (1— (Л - Чп)/1и+1/2) в — — и -1/г.
2ри+1/2 Рп+1/г Отсюда следует условие устойчивости ! (Л Чп)/гп+1/2 йи-1/2 + /гиЧ-1/2 2ри+1/г и=1,/Ч-1, Это позволит из (8.44) вычислить ии/ 2, из (8.45) найти еп/ я/г и т.д. Если при последующем уменьшении и вычисленное из (8.44) значение ие будет отлично от нуля, т.е. не будет удовлетворять граничному условию при х = О, то следует корректировать значение Л до тех тех пор, пока это граничное условие не будет удовлетворено с заданной точностью.
Таким образом, в этом варианте метода стрельбы подбором параметра Л ведется „пристрелка" граничного условия при х = О. Процесс вычислений по формулам (8.44), (8.46) устойчив н погрешности не накапливаются при переходе от и-го узла к (и+ 1)-Му, ЕСЛИ КОЭффИцИЕНтЫ, СВяЗЫВаЮщИЕ Оп+1/2 С Ои и и„+1 с ии, не превышают по модулю единицы. Подставив второе равенство (8.44) в (8.46), получим 449 8.2. Задача Штурма — Лиуаклла или в случае равномерной сетки (Ь„~,~з — — 6 = сопя() Аг < ° Р"+Уз ш)п „вЂ”,,„, Л-д„' (8.47) Пример 8.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
