XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 55
Текст из файла (страница 55)
7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕ'4НЫХ РАЗНОСТЕЙ Используемые в задачах математической физики модели физических процессов (см. 1-3) предполагают в большинстве случаев непрерывность распределения искомых величин в пространстве и их непрерывное изменение во времени. Вместе с тем можно получить некоторое приближенное представление о пространственном распределении и эволюции во времени этих величин, если оперировать совокупностью их значений в фиксированные моменты времени на конечном множестве точек пространства.
Ясно, что уменьшение интервалов между выбранными фиксированными моментами времени и сокращение расстояний между выбранными точками пространства должны приближать такое дискретное представление к непрерывному распределению искомых величин. 7.1. Понятие о сеточных методах Множество точек пространства, используемых для приближенного представления непрерывного пространственного распределения какой-либо величины, называют нроснзранставенной сеткой, а точки — узламн ~или узловыми точками) этой сетки.
Аналогично множество фиксированных моментов времени называют временнбй севкиной, а такие моменты времени — узлами этой сетки. Объединение пространственных сеток, рассматриваемых в выбранные фиксированные моменты времени, образует множество узлов нроснзранстввенно-временной сензкн. Множество узлов пространственной сетки в фиксированный момент времени называют слоем нроснзран- 402 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОС7 ЕЙ ственно-временной сетки. Значение величины в узле сетки называют узловым. При необходимости значения величин в промежутках между узлами сетки можно найти интерполированием.
Это позволяет получить по дискретной информации об искомых величинах их приближенные непрерывные зависимости от пространственных координат и времени. Прн рассмотрении пространственного распределения искомых величин их зависимость может быть существенной не от всех трех пространственных координат. Тогда наряду с общим случаем трехмерной сетки в частных случаях она может быть двумерной или даже одномерной. В стационарных задачах искомые величины не зависят от времени.
Поэтому необходимость в использовании временнбй сетки при решении таких задач отпадает. Поннтия сетки и сеточного узла являются основными при построении большой группы приближенных методов решения задач математической физики, называемых сетонкымк методамк (иногда используют собирательный термин — метод сеток). В таких методах непрерывное пространственное распределение искомых величин н описание их непрерывного изменения во времени представляют совокупностью их значений в узлах пространственно-временной сетки. При этом производные искомых функций, входящие в дифференциальные уравнения математической физики и краевые условия, приближенно заменяют (аппроксимируют) в каждом узле конечными разноспими. В итоге исходную математическую формулировку задачи сводят к системе уравнений (в общем случае нелинейных) относительно неизвестных узловых значений.
Такие уравненкя называют раэкостными, а их систему вместе с правилами их построения называют разкосткой схемой. Одной и той же краевой задаче могут соответствовать различные разностные схемы. В случае линейной задачи разностная схема включает систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). 403 7. Ь Понятие о сеточных методах Описанный подход приводит к одному из наиболее широко применяемых вариантов метода сеток — методу конечных раэностаеб (МКР) приближенного решения задач математической физики.
Но математическая формулировка таких задач может и не содержать дифференциальных уравнений, а включать интегральные уравнения (в общем случае — интегро-дифференциальные) или функционалы в которых искомые функции входят в подынтегральное выражение (Х'у'). В таких случаях узлы пространственно-временнбй сетки используют для построения нвадратурныг формул, что позволяет приближенно заменить интегралы соответствующими нвадратурными суммами, содержащими узловые значения искомых функций. В итоге метод сеток также приводит к системе уравнений относительно неизвестных узловых значений. Отметим, что группу соседних узлов пространственно-временнбй сетки можно и~пользовать для построения непрерывной функции, имеющей так называемый конечный носитель (например, являющейся интерполлционным многочленом, принимающим некоторое значение в фиксированном узле и нулевое значение во всех соседних).
Из таких функций, построенных для каждого узла сетки с конечным числом узлов, можно составить базис конечномерного функционального пространства, в котором применимы проекционные методы приближенного решеяия задач математической физики. При таком сочетании эти методы иногда называют уьроекционко-сеттьочнььмй. В частности, подобный подход приводит к методам конечных или граничных элементов, которые также обычно относят к группе сеточных методов. При этом под элементом в общем случае понимают подобласть пространственно-временнбй области, содержащую группу соседних узлов соответствующей сетки, используемую для построении упомянутой непрерывной функции, т.е. конечный или граничный элемент является конечным носителем этой функции.
'См., например: Марчук Г.И., Аеошков И.И. 404 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ 7.2. Аппроксимация производных конечными разностями Можно выделить два основных способа построения приближенных формул для производных функции по ее значениям в узлах пространственно.временной сетки. Такие формулы принято называть аппроксимирующими, а замену ими производных в уравнениях — аппроксилвацией производных. Рассмотрим эти способы применительно к действительной функции и[х) одного переменного х.
Как и в случае численного дифференцирования, они основаны на использовании интерноллиионных,нногочленов или на применении формулы Тейлора [1Ц. Отличие состоит в том, что при численном дифференцировании известны узловые значения функции, а при аппроксимации производных эти значения еще предстоит найти в процессе приближенного решения задачи. Пусть и„— значения функции и[х) в узлах х„, и = 1, Х, одномерной сетки. Известно [1Ц, что для функции и[х) можно построить интераоллционный нногочлен Лагранжа Ж Н им [х) — Л~~ ин 1н [х) ~ 1н (х) — П 1 [7.1) пз=1,клайн степени Ф вЂ” 1, принимающий в узлах значении и„.
При зтом для значений х, не совпадающих с узлами, погрешность на равномерной сетке с расстоянием а между соседними узлами [гиаголе сетки) пропорциональна 6". Дифференцированием [7.1) можно получить и1'1 [х) йн (х), х Е (хы хк), й = 1, 1У вЂ” 1, но погрешность зтой приближенной формулы оценить сложно. Погрешность выражений, аппроксимирующих производные функции и[х), называемую погрешкосепь7о аппроксимации, удобно оценивать, используя второй способ построения приближенных выражений для производных путем представления зтой функции формулой Тейлора в окрестности фиксированно- >.2. Аппроксимапиа проиааолиых конечными разиостами 405 го узла хо.' и(х)=и„+и„(х — х„)+и„+...+и„, +..
о (х — х„) 1ь) (х — х„) 2 ..+и1 )," +0((х — х„) +'), (7.2) где и„=и (х)~ ~, /с=О,т, причем и„= и„= и(х„). Слага(я) ОО 1о) емое 0((х — х„) +1) указывает, что погрешность представления функции и(х) ЕС [хм хм] при помощи (7.2) имеет (т+1)-й порядок малости при х — ~ х„. Этим способом установлено (П), что для первой производной а для второй производной и„+, -2и„+и„, „,>„ (7.3) где Й = )х„~1 — х„) = сопвс. Таким образом, погрешность аппроксимации первой производной пропой и левой конечными разностями имеет первый порядок малости при и -+ О, а иентральнпй конечной разностью — второй порядок малости.
Такой же порядок малости имеет погрешность аппроксимации в (7.3). Для краткости обычно говорят просто о пор.адке поерешноспзи аппроксимае4ии, опуская слово „малости". Отметим, что правую и левую конечные разности (или конечные разности вперед и назад соответственно) можно рассматривать как центральные, но при аппроксимации первой производной в промежутпочных узлах х„~17з = х„~ Й7'2, т.е. и'„+,7, — — +0(й'), и'„,7, — — +0(й').
(7.4) 406 7. ОСНОВЫ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ РАЭНОСТЕЙ Порядок погрешности аппроксимации производных можно повысить, построив конечно-раэностные соотношения, содержащие большее число узловых значений функции и(х) ) П). В случае сетки с переменным шагом между соседними узлами, используя (7.4), приближенно получаем и и+1/2 и-1/2 1 'ии.!.! ии ии — ! ии) и' — и' ии Ь„ Ьи Ьп+!/2 Ьп-1/2 1 ГДЕ 6» = -(Х»Е! — Хи !), 6„~!/2 —— ~Х„~! — Х„1 ДЛЯ ОЦЕНКИ ПО- 2 рядка возникающей в (7.5) погрешности сначала при помощи представления (7.2) функции и(х) в окрестности узла хи запишем единым выражением значения этой функции в узлах х„4!. 62 /,з ! ип1/2 пу их!/2 и„п! — — и„х и„Ь„~!/2+ и„~ ии + 2 " 6 64 65 Ье Ы/г .„»Ы/2 „„»Ы/2 24 " 120 " 720 црЬ»+!/2 Ьи — 1/2 и 3 1 иие! — ии ии ! — ии ) и ( + 6» 6»+1/2 Ьи-1/2 2 2 (7.7) и !.1/2 и+1/2 и — 1/2 + и 1/2 Таким образом, аппроксимация (7.5) имеет первый порядок погрешности.
Нетрудно убедиться, что при постоянном шаге сетки 6» = 6„~!/2 = 6 (7.7) переходит в (7.3). Чтобы аппроксимировать в узле хп неравномерной сетки четвертую производную функции и(х), в соответствии с (7.5) Затем, Разделив Равенство (7.6) с веРхними знаками и+и в ИНДЕКСаХ Н ПЕРЕД СЛаГаЕМЫМИ На Ьи+!/2, а РаВЕНСтВО С НИЖНИМИ ЗНаКаМИ „—" — На 6»,/2 И СЛОЖИВ ПОЧЛЕННО рЕЗуЛЬтатЫ, получим 407 7.а Метод баланса можно записать 1 ии - — ( 1е / и+1 и п-1 ии) + 6„~ 6и„„би „, а затем прн помощи (7.5) выразить вторые производные в узлах Хп И ХпХ11 ю 1 (и 42 — и 41 и — и +11 ии ( + 6ибп4.1/26и+1 /1п.1.3/2 6и+1/2 1 ии+1 — ии ии 1 — иит )+ биби+1/2 6п4.1/2 6и — 1/2 г ( + 1 /и„-г — ии 1 ии — ии 1) + "п" -1/г6 -1 6п-3/2 6и — 1/2 1 (ии41 — ии и ), (7.8) 6и 6и-1/2 6и+1/2 ! где 6„а1 — — -)х„~г — х„) и 6паз/г (х„аг — х„41(.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
