XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 48
Текст из файла (страница 48)
операторное уравнение Аи = у, у Е В(А), имеет единственное решение ио —— А !у. В силу свойств счетного базиса (Аи„) система (Аи„)!ч является линейно независимой при любом Ж Е !ч, 'Смх Градиннеан И.С., Рыхеик И.М. Теорема 6.7.
Пусть А — линейный непрерывный оператор в гильбертовом пространстве Я, область определения В(А) и область значений В(А) которого всюду плотны в Я, (и„)— счетный базис в В(А). Тогда построенное по методу наименьших квадратов приближенное решение (6.103) сходится в 'Н при !х'-+ оо к классическому решению операторного уравнения Аи = 1, У Е Н(А), если система (Аи„) является счетным базисом в В(А) и для некоторого т > 0 выполнено условие 350 6.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ т.е. СЛАУ (6.106) при любом Х имеет единственное решение относительно коэффициеытов а„, п = 1» № Кроме того, для произвольного у Е В(А) при заданном с > 0 можно ыайти такое № Е М и такие коэффициенты о„Е К, п = 1, №, что справедливо неравенство ~~У вЂ” ~~» о„Аи„~~ < тс.
(6.113) »»=! Если в (6.113) о замеыить соответственно на коэффициеыты а„, п = 11, №, найденные из условия (6.104), то ыеравеыство останется верным, поскольку в этом случае его левая часть достигает минимума. Но и при Х > № будет выполнено неравенство Ф а„Аи„(~ < тс, (6.114) если коэффициенты а„, и = 1, № найдены из условия (6.104). Действительно, при а„=о„, и = 1, №, и а.„= О, и = №+1, № левые части (6.113) и (6.114) совпадут, а при нахождении коэффициентов а„из условия (6.104) левая часть (6.114) может только уменьшиться.
Таким образом, с учетом (6.79), (6.114) и равенства у = Аиа получаем »!»!Аие — Айн»!»! = !»»!А(ие — й,»»)»!»! < тс. Отсюда, учитывая (6.112), имеем ~~ив — й!»!О < е. СледовательНО, иж -» ио ПРИ Ж вЂ” т ОО. В Отметим, что при выполнении условий теоремы 6.7 для построенного по методу нанмеыьших квадратов приближенного решения й!!» (6.103) имеем Айн -» у при Ф -+ оо, т,е. стремится к нулю норма )~Айн — Л невязки операторного уравнения, возникающей при подстановке йн в уравнение Аи= У. Это 6.8.
Методы Бубнова — Галериина и Ритца 351 позволяет при помощи вытекающего из (6.112) неравенства 1 'цй1о — иоц ( -'ц АЙо — Уц т (6.115) оценивать по норме погрешность приближенного решения. В заключение заметим, что (6.112) верно для полозсительно определенного оператора А. В самом деле, в этом случае в соответствии с (5.2) и (5.11) имеем 9Аи(Яиц > (Аи, и) ) 7з((ицз, откуда при уз = т следует (6.112). 6.8. Методы Бубнова — Галеркина и Ритца а„(Аи„, иь) = (у, иь), 1=1, Ж, (6.116) относительно коэффициентов а„. Такую процедуру нахождения приближенного решения операторного уравнения Аи = у называют меуподом двубнова" — Галеркина. Поскольку метод ортогональных проекций является, в свою очередь, одним из вариантов проекционного метода, то условия существования решения СЛАУ (6.116) и сходимости приближенного решения следуют нз теорем 6.11, 'И.Г.
Бубнов (1872-1919) — русский инженер. Рассмотрим частный случай метода ортогональных проекций приближенного решения операторного уравнения Аи = у, Пусть области определения О(А) и значений й(А) оператора А являются всюду плотными подмножествами сепарабельного гильбертова пространства И, а система (иь) — счетным базисом в О(А) и й(А). Приближенное решение йБ вида (6.79) уравнения Аи = у", согласно методу ортогональных проекций для случая, когда проекционные функции совпадают с базисными, т.е.
оь = ию /с = 1, А1, находим, решая получаемую из (6.80) систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 352 В. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 11п~1А = ~/(и, м)А, индуцированной энергетическим скаллрнььм произведением (и, и)А = (Ам, и) . Теперь приближенное решение операторного уравнения Ам = = у с положительно определенным оператором А вместо (6.79) можно искать в виде (6.117) и=1 где функции и„, и Е 1Ч, образуют счетный базис в энергетиче- ском пространстве ЯА.
При этом коэффициенты а„, п = 1, Ф, находят из решения СЛАУ (6.116), которая принимает внд Н ~~ь,а (и иь)А=(у мь) к=1, 1Ч. (6.118) 6.12 и замечаний 6.3, 6А (см. Д,6.1), Отметим, что метод Бубнова — Галеркина можно использовать, не накладывая на оператор А существенных ограничений: он может не быть положительно определенным оператором, симметрическим и даже линейным. Рассмотрим более подробно практически важный случай, когда оператор А является положительно определенным.
В этом случае элементы и„счетного базиса (и„), используемого при построении приближенного решения Йк вида (6.103), могут и не принадлежать области 0(А) определения оператора А, т.е. и„ф О(А), и = 1, Ж. Это существенно расширяет возможности метода Бубнова — Галеркина по сравнению с ме|подами коллокации и наименьших квадратов. Пусть ЯА — энергетическое пространство, которое является пополнением нормированного пространства О(А) по энергетической норме 6.8, Методы Бубнова — Гаперкина и Ритца 353 и, = 1 о„м„, о„= (у, та„)д, и„Е Нл, (6.119) обобщенного решения и. уравнения Аи = у. Это означает, что в случае ортонормированного в Нл базиса (и„1 приближенное *В, Ритц (1878-1909) — немецкий физик и математик.
Элементы (и„, ив)л, й, и = 1, Х, в (6.118) составляют матрицу Грома системы функций (и„)1ч, которая в силу свойств счетного базиса (и„) является линейно независимой в энергетическом пространстве Нл. Следовательно, определитель этой матрицы отличен от нуля, а СЛАУ (6.118) имеет единственное решение относительно коэффициентов аа, и = 1, Х.
Рас~мотрим еще один метод приближенного решения уравнения Ам = у с положительно определенным оператором А, в конечном итоге опять приводящий к решению СЛАУ (6.118). Обобщенное решение и. этого уравнения единственно и минимизирует квадратичный функционал 7(и1 = (Аи, и) — 2(У, и), который называют также функционалом энергии. Если элементы минимизирующей последова|иельности (йы) искать в виде (6.117), то при нахождении коэффициентов а„, и =1, А1, придем к совпадающей с (6.118) СЛАУ.
Такую процедуру нахождения коэффициентов принято называть меитодом Ритпца*. Таким образом, методы Ритца и Бубнова — Галеркина приближенного решения уравнения Аи = у в случае положительно определенного оператора А приводят к решению одной и той же СЛАУ (6.118). Однако метод Бубнова — Галеркина в отличие от метода Ритца можно применять и для решения уравнения Ам = у с произвольным оператором А. Пусть (м„) — базис в Нл, ортонормированный относительно энергетического скалярного произведения. В этом случае приближенное решение (6.117) с коэффициентами аа =е = (1', тв„)л, полУченными метоДом Ритца, бУдет частичной сУммой ряда Фурье 1ХУ) 354 а нРиБлилкенные АнАлитические метОды решение (6.117) уравнения Аи = у с положительно определенным оператором А сходится в ЯА к обобщенному решеыню (6.119) этого уравнения по энергетической норме, причем в силу свойств ряда Фурье [1Х] (6.120) Но для положительно определенного оператора А обобщенное решение и, уравнения Аи = у совпадает со слабым решением этого уравнения, удовлетворяющим равенству (и., в)А— = (у, н) для любого в б 'НА.
Это следует из совпадения СЛАУ для ыахождения коэффициеытов приближенного решеыия методами Ритпа и Бубнова — Галеркина. Поэтому приближенное решеыие йн сходится при Ю вЂ” ~ со и к слабому решеыию и„Е 'НА уравнения Аи = у по энергетической норме. Поскольку для энергетической нормы )~иОА > 711и(~, то йн сходится к и и по норме )~ 11 в гильбертовом пространстве. Замечание 6.1. Выбор в '(6.117) и (6.118) в качестве базисных функций (и совпадающих с ними проекционных) собствеыных элементов положительно определенного оператора А обеспечивает сходимость не только приближенного решения к слабому решению уравнения Аи= у, но и сходимость к нулю ыормы невязни этого операторного уравнения.
Дейсгвительио, пусть и„, п б (ч', — собственные элементы оператора А, соответствующие собственным эначеыиям Л„> О, образующие в Я ортонормированный базис. Если несколько различных линейно независимых собствеыных элементов соответствуют одному и тому же собственному значению, то положим, что в этом случае существует столько же равных между собой собственных значений, т.е. различными значениями индекса и обозначим различыые собственные элементы. Умножая скалярно равенство Аи„= Л„и„ыа иь и учитывая, что (Аи„, иь) = (и„, иь)А, запишем (Аи„, иь) = Л„(и„, иь) = Л„б„ь = (и„, иь)А, 6.6.
Методы Бупноаа — Рааеркииа и Ритца 355 где б„а = 1 при п = к и б„а = 0 при и ф. /с. Отсюда следует, что (а„, а„)л — — Л„и (а„, аь) 4 — — 0 при й ф и, т.е. в соответствии с (6.118) а„= ' ", так что вместо (6.117) будем иметь о " (У,а.) йл1= ~> ' " а„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
