XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 40
Текст из файла (страница 40)
6.1 т„(тх) = ЦА„Х„(и) — У„(Ам)Цн1д„1-+ 0 при и -+ оо. (6.3) Значение у„(и) — это расстояние в Н(А„) между элементами А„Х„(тс) и Ко(Атс) (см. рис. 6.1). Теорема 6.1. Если о„= ОА„')(т (ео) -+0 при и-+ос, (6А) Будем говорить, что последовательность (щ'„'1 сходится, если выполнено условие ()х,', — Х (тс'И(р1д„1-~ О при и — ~ оо, причем элементы Х„(ио) в каком-то смысле приближают элемент тх'. Полагая далее А„линейным оператором, имеющим обратный оператор А„', примем, что А„аппроксимирует оператор А на элементе и 6 О(А), если 286 6.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ то последовательность (х„') сходится, причем Йх„' — Х„(а'Я~О1А„1 < о„, и б 1Ч. (6.5) ~ В силу равенств А„х'„= У„'(у) = У„(Аи') с учетом (6.3) имеем !1х — Х (и )ПО1А.)= НА„'А (х„' — Х (и')) ЦО1А„1 < < ЦА,,'О ~/А„х,', — А„,(Х„,(и')) // = =1!А„'!! ~!У' (Ам') — А„(Х„( '))~~ = ПА 'ПЪ( ') = ю„, что доказывает теорему. ~ Теорема 6.2, Если о„— ~ 0 и У„(Х„(м')) -~ и' при п — ~ оо, а оператор У„является линейным и ограниченным, то последовательность (а„) элементов и„= У„(х'„) сходится к искомому элементу и', причем йи„— и'ПО1А) < йЩю„+ ЯУ„Х„(и') — и'~)О1А1, и Е г1.
(6.6) м Действительно, учитывая равенство и„= 11„(х'„) и неравен- ство треугольника, находим ~~и„— и'1!П1А1 = 1!С~ (х„') — и'!!П1А> = = ~! ф„(х'„) — У„Х„(и')) + (У„Х„(и') — и') )~,1 < < )~~Г„(х') — ЕУ„Х„(м П А +~!У„Х„(и') — и 0О А < < ЦсУ„Ц Цх„' — Х„(и') Ц1Э1А 1+ ЦУ„Х„(и') — и'~~1Э1А1.
В частности, если операторы А„, п 6 )Ч, аппроксимирувт оператор А на элементе и и операторы А„1 ограничен~ то последовательность (х„'~ сходится. Но, согласно теореме 6А, если выполнено условие (6А), то последовательность может сходиться и в случае, когда либо отсутствует аппроксимация, либо оператор А„' не является ограниченным. бл.
Общая схема построения приближенных методов 287 Отсюда получаем (6.6), так как в случае и„~ О при и -+ оо справедливо утверждение теоремы 6.1 в виде (6.5). ~ Пусть оператор 17„, не являясь линейным, может быть представлен в виде 17„(х) = т'„х+ В(у), где Р„: О(А„) -+ В(А)— линейный ограниченный оператор и В. "В(А) -+ В(А) — некоторый оператор. Тогда нетрудно проверить, что теорема 6.2 сохраняет силу после замены в (6.6) ]]Щ на ]11~„'ц.
Практическое применение теорем 6.1 и 6.2 обычно затруднено, так как элемент и' неизвестен, но они оказываются полезными при построении приближенных методов. Пример 6.1. В примере 4.17 установлено, что интегральное уравнение П рода иЯ вЂ” КЯ,1) и(С) д1 = Я), (6.7) где с Е [а, Ь], и(с), У(с) Е С[а,й], К(Я,1) — ядро этого уравнения, непрерывное в квадрате [а, о]~, имеет единственное решение и'(С) при задании действительной функции Д() и выполнении условия (4.43) (6.8) д= (б — а) шах ]К(~,1)[< 1.
~ли(ад) Один из методов приближенного решения (6.7) состоит в разбиении отрезка [а, 5] на и — 1 частей точками С;, г = 1,и, и приближенной замене определенного интеграла нвадратурной суммой. Тогда вместо (6.7) получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) о ;-ЕОуКТЛ1)х;=у.. 1.7=1,и, у;=И,), (6.9) 1 па относительно значений х; = и(С,) искомой функции и(С) в узлах С; соответствующей нвадратурной форлеулм (здесь ь1 весовые коэффициенты этой формулы).
288 в. пРиБлиженные АИАлитические метОды В данном случае линейные операторы А и А„определены левыми частями (6.7) и (6.9) соответственно. Из (6.7) следует, что Р(А) = В(А) = С[а,Ь]. Операторы Х„и 1'„совпадают, т.е. Х = 1'„, и отображают бесконечномерное множество С[а,Ц непрерывных на отрезке [а, Ь) функций на подмножество Р(А„) = В(А„) и-мерного арифметического пространства К" значений х; = Х„(и,) и у; = У„(!,) в узлах с; квадратурной формулы, где и; = и(с;), !, = !ф), 1= 1, п. Запишем СЛАУ (6.9) в виде А„х„= у„, А„= ! — В„, где х„и у„— векторы с координатами х; и у,, 1= 1, и, !в тохедественный оператор, а „— оператор, матрица (В; ) которого имеет элементы В; = Р Кфф), г,! = 1, и. Норму этой матрицы, соответствующую кубической норме векторов х„и у„, найдем как наибольшую сумму абсолютных значений элементов В; в строке, т.е.
п н [((В; )8 = тах ~~ ~Р,КД,~ )[ < ~) ~Р,[ п1ах (КЯ,Р,Я. Для большинства применяемых квадратурных формул весовые коэффициенты положительны, н их сумма равна Ь вЂ” а [Ч1). Поэтому с учетом (6.8) получим следующую оценку для нормы оператора В„." )[В„[) = ))(В;,))) < (Ь вЂ” а) шах [К(С,1)! = д < 1. б 8е(а,ь] Согласно теореме 4.18, заключаем, что оператор А„= ! — В„ имеет обратный оператор А„', причем 9А„'([ < —. Это означает, что существует вектор х„' с координатами х,', 1= =1, и, который является единственным решением СЛАУ (6.9).
Попытаемся теперь применить теорему 6.1 для проверки сходимости последовательности (х'„!. Предварительно при б.!. Общая схема построения приближенных методов 289 помощи (6.3) найдем выражение для у„(и), для чего с учетом (6.7) и (6.9) запишем при ! = 1, и (х„(х,(( =х„(х„(=„-1 к(ь,е(.р(а, а (А„Х„(и)), = х; — ~ 1З,Кф,( )х . !и! Следовательно, ь (х„х„(,((,-(ь'„(х,((,=~к(ех(,О(е-~век(Ь,Ы,(((, х=! Отсюда в соответствии с (6.3) получаем ь у„(и) = шах ~ ! К(с(,!) и(1)д1 — ~~Ь О1Кфф) и(С1) (=!са (,/ е (и! = тах Щ, (6.10) (=(,в (6 — а)ь 180(п — 1)д (6.11) где М4 — наибольшее значение на [а,6] абсолютной величины четвертой производной по ! подынтегральной функции К(с(,1) и(1) в (6.10). В данном случае применение теоремы 6,1 возможно, если располагать оценкой для („(и').
Покажем, что где 11; — погрешность используемой кеадратуриой формулы при фиксированном аргументе с( ядра К(с(,1) в (6.10). При равномерном разбиении отрезка [а, 6] на четное число Ь вЂ” о п — 1 (и > 3) частичных отреэиое раэбиеиил длиной 1! =— и — 1 можно использовать квадратурную формулу парабол, для которой [ х(1] 290 6, ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ и'(с) = КЯ,«) и'(«) а«+ «(Я), а (6.12) дифференцированием зтого выражения находим Ь и'(«)а««+, т= 1,4, (6.13) й(та / д~та й(та а и убеждаемся, что функция и'(~) также четырежды непрерыв- но дифференцируема. Учитывая, что (см.
пример 4.17) ((и')(с(аь) = п1ах ~и'(Я)) < ' = шах Щ)), о о !)У!!С[а,Ь) 1 и располагая оценками для наибольших абсолютных значений производных функций К(с,«) и 1(с) по с, можно найти такие о оценки и для в (6.13), а затем получить оценку М4 для йаата производной д4К(ьа «) о(«) дтаК(ьс ) д4-та о(«) д,4 — ~. С4 д, д,4 от=1 подынтегральной функции в (6.10). В итоге из (6.10) и (6.11) получаем (Ь вЂ” а)Ь 160(и — 1)4 М" зту оценку можно получить, если функции К(С,«) и 1(Я) четырежды непрерывно дифференцируемы по своим аргументам, т.е. покажем, как в таком случае можно найти значение М4 в (6.11). Тогда интеграл в (6.7) можно рассматривать как зависящий от параметра ~ и дифференцировать его по зтому параметру ('т'1).
Поскольку функция и'(С) удовлетворяет (6.7), т.е. бл. Общая схема построения приближенных методов 291 т.е. в соответствии с (6.3) оператор А„аппроксимирует опера- тор А на элементе и'. Поскольку то и„-+ 0 при и -+ оз, а значит, согласно теореме 6.1, последовательность (ж'„) сходится, причем из (6.5) следует, что координаты (х„'), вектора ж„' при и-+ оо стремятся к значениям ио(С;) искомой функции ио(я) в соответствующих узлах формулы парабол. В простейшем случае можно принять, что приближенное решение (6.7) является непрерывной действительной функцией и„(С) = У„х'„, совпадающей в узлах С; со значениями (х'„); и линейной между соседними узлами, т.е.
воспользоваться линейкой интперполлцией. Тогда для нормы определенного таким образом оператора У„имеем ]]Щ = 1, причем функция У„Х„(и') совпадает в узлах 5 с искомым решением ио(С), а между соседними узлами линейна. Поэтому в случае линейной интерполяции ]!Ц Ь (Ь- а) ИП Х (" ) " ]]с],И < Мг — = Мг где Итак, и о„ вЂ” + О, и У„Х„(ио) -+ ио при и — +оз. Следовательно, согласно теореме 6,2, последовательность (и„(С)) приближенных решений (6.7) сходится к искомой функции ио(с), причем в соответствии с (6.6) ]]и„,(р) — ио(О!]С]а Ь] = так (и„(~) — иа(0( ( ~Е]а,Ь] Мд (Ь вЂ” а)в (Ь вЂ” а) ~ (+Мг 1 — д 180(п — 1)д 8(п — 1)г 292 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ Более быструю сходимость последовательности (и„(С)) к искомому решению можно обеспечить, если оператор 11„задать соотношением и и (С) = ,'Ь, О;К(С,С,)(х„');+ ~(С), (6.14) !м! т.е.
и„= Е!„(х'„) = $'„х'„+ !'1", где Ä— линейный ограниченный оператор, заданный выражением и Ь„х„'= 'Ч иЬК(Б,Е!)(х„);. Ь=! В этом случае, учитывая (6.8), имеем где ~(х'„!! = шах )(х„');! — кубическая норма вектора х'„. Отсюда в соответствии с (4.26) следует, что 0Г„)! < д < 1. Теперь так что, принимая во внимание (6.10), (6.11) и (6.12). получаем (~У„(х„и') — и'!(с(, ь) = !пах )й„(г) — и'(с)( = сн(а,ь) Ь (Ь-а)Ь = !пах Л~~ 11!К(бали (с!) К(6!)и (!)!(! ~ ~М4 4. !=! а Таким образом, и в этом случае справедливо утверждение теоремы 6.2 о сходимости последовательности (и„'(С)» к искомому 6.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
