XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Пусть Я(О,Ц вЂ” нормированное пространство непрерывных на отрезке [О, Ц функций ~ (с обычными операциями сложения и умножения на число) с нормой 1/2 ]Л = Д(я)] Йя,,1 Е ФО, Ц. а 206 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ Доказать, что оператор А: Я[0, Ц вЂ” » фО, Ц, действующий по правилу ~Р= А1 4=» ~Р(х) = ~х(х), х Е [О, Ц, не является непрерывным, а оператор А: С[0, Ц -+ Ч[0, Ц, действующий по тому же правилу, непрерывен. 4.9. Доказать, что оператор А: С[0, Ц-+ С[О,Ц, действующий по правилу у = А)' 4=» у(1) = е' +'у(л) пя+1Т(0) + 1~у(1/2) +1~ХЯ о при 4 б [О, Ц, является вполне непрерывным.
4.10. Является ли оператор А: С[0, Ц -+ С[0, Ц, действующий по правилу р= А~ 4=» у(1) = 1~У(Ф), 1Е [О, Ц, вполне непрерывным? 4.11. Выяснить, будет ли вполне непрерывным оператор А: С'[О, Ц вЂ” ~ С[О,Ц, определяемый равенством (Ау)(1) = —, 1с[О,Ц. 4.12. Доказать, что оператор А: Бр[а,е] -+ Бр[а,6], р > 1 (см. задачу 4.4), действующий по правилу у= А,) 4=» ~Р(а) = Щ4Н, ~ Е 1р[а,6], а является вполне непрерывным. 4.13. Доказать, что для линейного ограниченного функционала г': 14 ~ яь, определенного в нормированном пространстве Р, норма []г']] = 1п1 М =1пГд,, где М и а.
— множества всех чисел М и К, таких, что ]Ге] < М[]и[]Н для всех и Е Р и [г'и] < К для всех и 6 И, удовлетворяющих условию []и[[и < 1. 207 Вопросы и задачи 4.14. Найти норму линейного функционала Г, определенного в нормированном пространстве Й: а) г(х) =2х(1) — х(0), х=х(1), хай=С[ — 1,Ц; 1 б) Е(х) = х(1) (21 — 1) Й, х = х(1), х Е й = С[0, Ц; о 1 в) г'(х) = 1х(1) Й вЂ” х(0), х = х(1), х б Ы = С[0, Ц; о 1 г) г'(х) = 1~х(1)й, х =х(1), х Ей= Ьз[ — 1,Ц; -1 д) Г(х) = 1~х(1) Й, х = х(1), х б Р = Б1[ — 2,2].
-г 4.15. Доказать, что оператор А: са -+ Р (й, У вЂ” нормированные пространства) является линейным ограниченным, и найти его норму, если: с а) (Аи) (1) = и(л) 1Ь, Р = С[0, Ц, У = С[0, Ц; о б) (Аи)(1) = и(Е), й = С[-1, Ц, У = С[0, Ц; в) (Аи) (1) = Ри(0), й = С[0, Ц, У = С[0, Ц; г) (Аи) (1) = и(1Р), Р = С[0, Ц, У = С[0, Ц. 4.16. Доказать, что оператор А: С[0, Ц -+ С[0, Ц, определяемый равенством (Аи)(1) = и(1) + 1л и(а) Иа, 1 Е [О, Ц, о является линейным ограниченным. Доказать, что существует оператор А ', обратный к оператору А, причем этот оператор также является линейным ограниченным.
Найти А '. 208 4. НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ 4.17. Для каждого значения параметра о Е К найти спектр оператора А: С[0, Ц -+ С[0, Ц, определяемого для любой функции У Е С[0, Ц равенством (АД(х) = х)'(х)+ оТ(0), х б [О, Ц. Какие точки спектра принадлежат точечному, остаточному, непрерывному спектрам? Имеет ли этот оператор собственные функции? 4.18. Доказать, что операторы, определяемые соотношениями (4.31) и (4.33), являются линейными и ограниченными. 4.19.
Доказать, что следующие уравнения имеют единственное решение в банаховом пространстве С[0, Ц: 1 1 Т 1(у) агссд(е +" — 1п(1+ /ху)) а) 1(х)+ — / 2,/ х7 «-уз+ 1 (у=О; о 1 У(у) у ,/ Тз(у)+х4+ уз+9 о 4.20, Доказать, что оператор А: Ар[а,Ь) — ~? р[а,Ь], действующий по правилу А<Р=,)' с-=~ У(1) = К(1,з)д(з)(1з, 1 Е [а,6), й где К(1,з) — функция, непрерывная в квадрате [а, Ьр, является вполне непрерывным. Найти спектр этого оператора, если: а) К(1,з) =ел~, а = О, Ь = 1; б) К(1, з) = 1 — з, а = О, Ь = 1; в) К(1, з) = 1з(1 — 1з), а = О, Ь = 1; г) К(1, з) = ~~ з, а = О, Ь = и. ью1 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 5,1. Гильбертово пространство йий = ~/(и, и).
Неравенство Ноши — Буняковского (5.1) ~ (и, о) ~ < ~/(, и) Л, о) (5.2) 'Д. Гильберт (1862-1943) — немецкий математик, Бесконечномерное банахово пространство, в котором введена операция скалярного умножения, индуцирующая норму этого пространства, называют гняьбертовыае*. Мы будем обозначать его, как правило, символом Я (по первой букве фамилии Д. Гильберта). Скалярное произведение элементов и и о будем обозначать (и, о). Напомним, что операция скалярного умножения удовлетворяет следующим аксиомам скалярного умножения (в их формулировках и, о, ео — произвольные элементы линейного пространства, а о — произвольное действительное число): 1) (и, о) = (о, и) (симметрия); 2) (и+ео, о) = (и, о)+(ео, о) (дистрибутивность); 3) (ои, о) = о (и, о) (однородность); 4) (и, и) > О, причем (и, и) = О тогда и только тогда, когда и = О (неотрицательность скалярного квадрата). В случае комплексного гильбертова пространства аксиома симметрии принимает вид (и, о) = (о,и).
Норма в гильбертовом пространстве, порожденная скалярным умножением, выражается через скалярный квадрат (и, и): 210 а. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ )(и, оЯ < йи)))(ей. (5.3) Пример 5.1. В линейном пространстве Х функций, непрерывных на отрезке [О, Ц, скалярное умножение можно ввести соотношением [1Х) (Т",д) = ~(х)д(х)дх, ); д Е Х. (5.4) Несложно проверить, что для формулы (5.4) выполнены все аксиомы скалярного умножения. Это пространство, являясь линейным (см. пример 2.1), будет нормированным.
При этом норма, индуцированная скалярным умножением, определена соотношением ()Д = )'2(х)дх, )'б Х, о Последовательность функций из Х, Яундаментальнал в нормированном пространстве Х, может не иметь предела в Х, т.е. нормированное пространство Х со скалярным умножением (5.4) не является полным (а значит, и гильбертовым). Например, нетрудно показать, что последовательность (у„) не- 'Г. Шварц (1843-1921) — немецкий математик.
справедливо для произвольного евклидова пространства, в том числе и для гильбертова пространства (в последнем случае его иногда называют неравенством Шварца' ). Отметим, что неравенство Коши — Буняковского преврашается в равенство тогда и только тогда, когда элементы н и и линейно зависимы, т.е, один из них может быть получен умножением другого на число.
В частности, это верно, когда хотя бы один из элементов и, о является нулевым. С учетом (5.1) неравенство(5.2) принимает вид 211 5.1. Гильбертово пространство прерывных на отрезке [О, Ц функций (о„(х), рассмотренных в примере 4.3 (см. рис. 4.1), фундаментальна в Х, но не является сходяшейся в Х, Известно', что гильбертовым является пространство функций У(х), суммируемых на отрезке [О, Ц с квадратном.
Это пространство обозначают Аз[0, Ц. Скалярное умножение в нем определяют соотношением (~, д) = ) (х)д(х)((х, У, д Е Ьг[0, Ц, (5 5) о а норму — соотношением (5.6) Равенство (5.5) аналогично (5.4), но теперь интегралы в (5.6) и (5.5) следует понимать как интегралы Лебега. Нетрудно убедиться, используя свойства интеграла Лебега [!Х] (они аналогичны свойствам определенного интеграла), что для (5.5) выполнены все аксиомы скалярного умножения. Сходимостпь в среднем квадратичном фундаментальной последовательности [д„(х)) функций д„(х) Е Аз[0, Ц к функции д(х) Е Аз[0, Ц означает, что Отметим, что непрерывные, непрерывно дифференцируемые заданное число раз, кусочно постоянные и измеримые ограниченные функции (в том числе принимаюшие на [О, Ц конечное число значений) составляют всюду плотные подмнохеес)нва гильбертова пространства Аз[0, Ц [1Х].
Поскольку в Аз[0, Ц су- 'См., напрвмер: Колмогоров А.В„Фолио С.В. 212 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ шествуют счетные всюду плотные подмножества (нацример, многочлены с рациональными коэффициентами), то пространство Ьг(0, 1] будет сспарабсльным. 41 Гильбертовым пространством является множество Ьг(й) действительных функций, суммируемых с квадратом на измеримом множестве й С И" (ХЪ ]. Скалярное умножение в ьг(й) вводят соотношением Для этих функций конечен интеграл Лебега который определяет норму в Ьг(й). Обобщением пространства Ьг(й) является гильбертово пространство Ьг(й,о) функций, суммирусмых с квадратом и с весом о, где о(х) — неотрицательная измеримая на Й действительная функция.
Для функций из Ьг(й,о) конечен интеграл Скалярное произведение в Ьг(й) имеет вид (ХЪ'] (У д) = Е(х)д(а)о(х)дх, У д Е ьг(й,о). Гильбертовым будет и линейное пространство Ь (й) векторных функций 1: Й -+ 1ь™, определенных на измеримом мно- 213 брк'Гильбертово пространство жестве й С К", для которых конечен интеграл где (, ) обозначает операцию стандартного скалярного умнолеения векторов т-мерного евклидова арифметического пространства.
Правило скалярного умножения в Ь (й) задает 1т) Отметим, что в Аз[0,1], 1,э(й) и Ь (й) считают равными 1п~) любые две функции, отличающиеся на множестве, для которого мера Лебега равна нулю (говорят также „на множестве меры нуль"). Это обеспечивает выполнение аксиомы скалярного умножения (и соответственно нормы), согласно которой (и,и) = О только в случае, если и является нулевым элементом линейного пространства.
Напомним, что если элементы и и о гильбертова пространства Н связаны соотношением (и, о) = О, то их называют ортогональными. В этом случае используют запись и 1. о (или о .1 и). Если элемент и( Е 'Н ортогонален каждому элементу и надпространства М С 'Н, т.е. и( 1. и, и Е М, то этот элемент называют ортогональным надпространству М и пишут и(1. М.
Если последовательности (и„) и (ив) элементов гильбертова пространства Н по норме сходятся к элементам и и о, то существует предел [!Х) (%„ов)=(и,о), и,оЕН. (5.7) Полагая в (5.7) сначала о„= о, и Е 1ь(, а затем о = и и о„= и„, н с Я, получаем 1пп (и„, о) = (и, о) и 1пп [[и„[[= [(и[), (5.8) 214 5. ОПЕРАТОРЫ В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ в частности при о = и из первого равенства (5.8) имеем !Пп (и„, и) = (и, и) = ЦиЦ . (5.9) Замечание 5.1, Элемент и Е 'Н, ортогонзльный множеству М, всюду плотному в гильбертовом пространстве Н, является нулевым элс.нентом 'Н, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
