XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 85
Текст из файла (страница 85)
задачи на собственные значения для оператора Лапласа Я. Этот оператор при условии (11.91) является положительно определенным (см. Д,5.3) и все его собственные значения Л„, и 6 М, положительны (см. 5.4). Таким образом, каждому собственному значению Л„) 0 соответствуют значение д„= ~/й2 — Л„и собственная функция в(М), М Е Р', характеризующая форму волны в плоскости поперечного сечения волновода. Наименьшему собственному значению Л1 отвечает также наименьшая (называемая критической) частота м.
= счГЛН ограничивающая снизу частоты электромагнитных волн, которые могут распространяться в рассматриваемом волноводе. Следовательно, наименьшее собственное значение Л1 задачи (11.90), (11.91) позволяет вычислить одну из важнейших характеристик волновода. Это значение для волновода с произвольным поперечным сечением можно найти при помощи метода конечных элементов (МКЭ). Для применения МКЭ от краевой задачи (11.90), (11.91) перейдем к ее вариационной формулировке, содержащей функ- пионал 11.о, Электромвгиитиое поле в иилиидричееком волиоводе б19 где И' — матрица-столбец размера Ю~ х 1, элементами которой являются узловые значения функции 1в; А и  — симметриче- ские матрицы порядка Хв с элементами В1е ~е Е Ю, М, Ась тл,~ ~~1,~) й1ь А1(„~й(~~~1, В(,м = ~~1,~~1,~~1,й(1ь В1(„)й~ ) .
е=1 1=1 пм1 ем1 Ри1 вм1 В этих равенствах 2 д ( ) д (е) А(') = 1~~ дд, д~ов дй, ,)( ~ дя; дя; 1и1 с В( ) (е) (е) (е ~1, (Аьв1 — ЛВьл1)И'л1 = О, Ь = 1, М.. (11.94) Элементы А1л1 и Вск1 в (11.94) составляют симметрические матрицы А„и В„порядка Х, соответственно, полученные вычеркиванием из матриц А и В последних 1л1 строк и столбцов. С помощью этих матриц (11.94) можно представить в матричной записи А.И'„= ЛВ.И'., (11.95) где И'„— матрица-столбец размера Ю. х 1, элементами которой являются значения функции 1в во внутренних узлах сеи1ки КЭ.
й„, — элементы матрицы й„устанавливающей соответствие (е) между нумерацией узлов в каждом КЭ с номером е = 1, Е и глобальной нумерацией, а у„, а = 1,Х„ — функции формы (е) этого КЭ, имеющего Ю, узлов и занимающего область Р',. Пусть Ф1 узлов, принадлежащих контуру Г, имеют номера Ю = М,+1, Жп, где Ю. = Фк — Ж1.
Поскольку в этих узлах заданы нулевые значения функции 1в, вместо (11.93) имеем однородную СЛАУ 620 ЗЬ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ Мппсрица В является полоясигпельно определенной. Это свойство сохраняет и матрица В.. Поэтому существует матрица В, ~, обратная к матрице В„, так что искомое значение Ле будет наименьшим корнем характеристического уравнения с1е~(А.В.' — Л1.) = 0 матрицы А.В,~, где 1, — единичная матрица порядка Ф,.
Существуют различные способы решения такого уравнения [11], [111). Матрица АВ„' в общем случае не является симметрической. Поэтому более удобный способ нахождения собственных значений и собственных векторов СЛАУ (11.95) связан с нст пользованием разложения Холецкого В„= ЯЯ, где Я вЂ” нижняя треугольная матрица порядка Ю,. Тогда после умножения (11.95) слева на Я ' получим или Ар=Лу, (11.96) где Ао В 'А.(5 ') — симметрическая матрица, а у=5 Ю.— М.-мерный вектор, координаты которого являются линейными комбинациями значений функции ш во внутренних узлах сетки КЭ и характеризуют форму волны.
Задачу нахождения собственных значений и собственных векторов СЛАУ вида (11.96) обычно называют алгебраической проблемой собственных значений. Алгоритмы численного решения этой проблемы хорошо разработаны и входят в математическое обеспечение современных ЭВМ'. Отметим, что аналогичная рассмотренной задача возникает при исследовании акустических колебаний в цилиндрическом канале, по которому распространяется бегущая звуковая волна. В замкнутом объеме, называемом резонатором, могут возникнуть стоячие акустические или электромагнитные волны. Их частота н форма также удовлетворяют уравнению Гельмгольца 'См., например; Воеводин В.В., а также: Уаакансон, Раянш.
б21 Вопросы и эадачи с однородными граничными условиями. Краевая задача (11.90), (11.91) описывает установившиеся колебания гибкой мембраны, закрепленной по контуру Г. К этой же задаче приводит анализ возможности теплового взрыва в твердом теле с внутренними источниками энерговыделения, объемная мощность которых возрастает с увеличением температуры . Вопросы и задачи 11.1. Вывести (11.11) и (11.12). 11.2. Получить (11.20).
11.3. Вычислить значения Сы в (11.32) в случае одномер1е) ных и двумерных симплексных конечных элементов. 11.4. Получить выражения для элементов матрицы А(е), входяшей в (11.54). 11.5. Вывести формулы (11.79) и (11.80). 11.6. Проверить справедливость выражений для элементов глобальной матрицы масс, входящих в (11.86). 11.7. Вывести выражения для элементов матриц А и В в (11.93) в случае одномерных и двумерных симплексных конечных элементов.
'Смэ Зарубин В.Сэ 1983. 12, ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИ'ЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Одним из эффективных путей приближенного решения задач математической физики является использование их интегральной формулировки в сочетании с применением метода граничных элементов (МГЭ). Этот метод можно рассматривать как модификацию метода конечных элементов (МКЭ) для аппроксимации искомых функций, но не в области $' решения задачи, а на ее границе 5. Это позволяет понизить размерность решаемой задачи: вместо трехмерной задачи в пространственной области решать двумерную задачу на ограннчнваюгцей поверхности, а вместо двумерной — одномерную на ограничивающем плоскую область контуре. В теоретической основе МГЭ лежит переход от задачи, описываемой дифференциальными уравнениями с частными производными, к ее интегральной уюрмулировке.
Но в отличие от МКЭ эта формулировка включает интегралы от искомых функций н их производных, вычисляемые лишь по границе области. хлнтлегральные уравнения, содержащие такие интегралы, принято называть граничными. 12.1. Граничные интегральные уравнения Рассмотрим последовательность перехода от математической формулировки задачи, описываемой дифференциальными уравнениями с частными производными, к граничному интегральному уравнению (ГНУ) сначала на примере двумерной краевой задачи для уравнения Пуассона. Обозначим через г = г(М,Ме) расстояние между точками Мо и М двумерной области Р, ограниченной кусочно гладкой 12.1.
Граничные интегральные уравнения кривой Г (рис. 12.1). Будем считать, что Г может содержать лишь конечное множество угловых точек (точка Ро на рис. 12.1), причем в этих точках сушествуют односторонние касательные н конечные односторонние пределы кривизны гладких участков кривой Г.
Напомним, что функция и(М М ) — (и ' (Г2 1) Рис. 12.1 г(М, МО) по дзи 1 2х2 + ди 21 дх1 г2 дх2 г2 1 г4 ' дзи дзи 2 х2+х2 2 гг и' и= — + — =- — +2 ' =- — +2 — =О дх2 дх2 г2 г4 г2 г4 1 2 прн г(М,Ме) ф О. По физическому смыслу и(М,Мо) описывает в координатной плоскости х10х2 осесимметричное скалярное поле, создаваемое источниками (например, температурное поле, создаваемое тепловыми источниками), равномерно распределенными на прямой, перпендикулярной этой плоскости и проходя1цей через точку Ма.
Если на такой прямой расположить с постоянной линейной плотностью положительные электрические заряды, то где йе ) Π— некоторое произвольно выбранное расстояние (например, характерный размер рассматриваемой области Р), является фундаментальным решением уравнения Лапласа м 2и = = О в И21ХП). Эту функцию иногда называют сингулярным решением уравнения Лапласа на плоскости, так как мзи(М Ме) = = О во всех точках М Е К2, за исключением точки Ме Е яь2, в которой и — у оо.
Действительно, поместив в точку Ма начало прямоугольной декартовой системы координат Ох1х2, запишем мм,мЕ = мам),,|м), . „„„ 624 НЬ ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ функция о(М,Мо) будет пропорциональна потенциалу возникающего при этом плоского осесимметричного электростатического поля. Пусть на замыкании Р = Ро Г области Р определена дважды непрерывно дифференцируемая функция и(М). Введем круговую окрестность С,(Мо) с центром в фиксированной точке Мо Е Р, ограниченную окружностью Г, радиуса в, не имеющей общих точек с контуром Г, и рассмотрим область Р„= Р'1 (11,(Мо) сг Г,) (см.
рис. 12.1). На замыкании У„этой области обе функции и(М) и о(М,Мо) дважды непрерывно дифференцируемы, причем ~~о=О, и к ним применима вторая формула Грина: т7г (о17и — и 17о)п НГ+ (о~7и — и~7о)я НГ, (12.2) где тг — единичный вектор внешней нормали к границе области Р.. Будем стягивать при в — ~ О окрестность 11,(Мо) в точку Мо. В точках окружности Г, внешняя нормаль направлена к точке Мо, так что ди (~7и)гг = —— до) 1 1 (~о)гь = — — ~ 1г = в1п — / — Жр — и(Р) Ир, Р Е Г,.
(12.3) Г ди(Р) 11о дг Кроме того, на этой окружности и = — 1и — и НГ = вч1уг, где ьг Е (0,2п) — угол, отсчитываемый от оси Охг (см. рис. 12.1). Второй интеграл в правой части (12.2) можно представить в виде 625 ) л. Ь Граничные интегральные урааненна Первые производные функции в непрерывны на 7 и потому ограничены. Следовательно, ограничен и первый интеграл в правой части (12.3).
Так как с1н — ' -+ О при с-+ О, то первое Ве слагаемое в правой части (12.3) стремится к нулю при с-+ О. Второй интеграл в (12.3) равен 2пй„где и, -- среднее значение функции и на окружности Г,. Так как и,-+ и(М0) при с-+ О, то в итоге 1г — + — 2хи(М0) при е -+ О. Первый интеграл в правой части (12.2) не зависит от е и поэтому при с — ) О сохраняет свое значение. Левая часть (12.2) при с-+ О является несобственным интегралом 10 — — 0%'~инР = — 1и ' Ч~н(М) НР(М) (12.4) по области Е от неограниченной в окрестности точки М0 функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
