XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Способы аппроксимации функций иа гранино 626 нахождения можно вычислить из (12.21) значение и(Мо) в любой точке Мо с $ Как и в двумерном случае, получить аналитическое решение ГИУ (12,21) удается лишь для простейших областей (например, для шара, внешности сферы и полупространства [Х1Ц). Но ГИУ (12.16) и (12,21) можно решить приближенно численными методами. 12.2.
Способы аппроксимации функций на границе Первым этапом численного решения граничных интегральных уравнений (ГИУ) (12.16) и (12.21) является аппроксимация искомых функций и функций, заданных в граничных условиях на границе области решаемой задачи. Для этой цели удобно использовать разбиение границы на участки, которые по аналогии с конечными элементами также принято называть элементами, но ироничными (ГЭ), что и дало название соответствующему численному методу решения ГИУ вЂ” метводу ераничных элементов (МГЭ). Способы аппроксимации функций рассмотрим сначала для случая двумерной области Г, ограниченной кусочно гладким контуром Г (рис. 12.6). Границу Г разобьем на Мг граничных элементов Г„, и = 1, Фг.
Если на границе есть угловые точки. Рис. 12.6 636 И. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ то ГЭ расположим так, чтобы эти точки оказались на стыке элементов. В простейшем варианте МГЭ в каждом ГЭ можно взять один узел (точку Р„е Г„) и поместить его в середине элемента. Это означает, что в пределах каждого ГЭ функции аппроксимированы их узлов ми значениаии. Так как каждый ГЭ является гладким участком контура Г, то в любой точке Р Е Г„, и = 1, Фг, определен единичный вектор п,(Р) внешней нормали к Г. Пусть для определенности в области Р требуется найти решение уравнения Пуассона (12.13) с заданными граничными условиями, т.е.
решить ГИУ (12.14). Совместим точку Ме б Г с тп-и узлом, т.е. положим Ме- Р е Г . Для этого узла, лежашего на гладком участке границы, в (12.16) имеем <Р(Мо) = к. Поэтому вместо (12.16) с учетом аддитивности интеграла по Г [ЧП) запишем Нг =1 ~[д„рр) — ~, [~яраг[~~+ п=1 г + у(М) о (М) Н'(М), (12.22) где в соответствии с (12.1) о (Р) = — 1и г(Р,Р ) и" (Р) = (~уе(Р,Р ))ть(Р) = — ~~7!п ' )п(Р); l г(РР )1 Йо йо > Π— некоторый характерный размер области Р; г(Р, Р )— расстояние от точки Р Е Г до точки Р (см.
рис. 12.6). Используя (12.22) для каждого узла, получаем в матричной записи (12.23) где 1' и Я вЂ” матрицы-столбцы размера юг х 1, элементами которых являются узловые значения и„, д„, и = 1, Ф~,. В— 637 12.2. Способы аппроксимации функций на границе матрица-столбец размера ФГ х 1 с элементами Кл = )'(М)о,д(М) ~~Р(М), т = 1, ЖГ, (12.24) Н и С вЂ” матрицы порядка ЖГ с элементамн Ь „=кб „+ и'(Р)ЫГ(Р), д „= и (Р)ИГ(Р), Гп т, п = 11, ЫГ.
Здесь о „= 1 при т = и и о „= 0 при т ф и. Интегралы по ГЭ Г„, и = 1, Фг, входящие в выражения для Ь „и д „, в случае п ~ т можно вычислить при помощи обычных кеадратдрныг ~ор.идя. Но в выражениях для диагональных элементов Ь,„и д матриц Н и 0 интегралы являются несобственными, посколь- г 4 ку при сближении точки Р Е Г с точкой мо=р а Р Е Г (т-м узлом) расстояние г(Р,Р ) — аО, р О так что и (Р) -+ сю. Для прямолинейного ГЭ Г длиной 1, полагал, что нуль отсчета ко- 2 н(р) ординаты ~ расположен в средней точке Ме = Рис. 12.7 = Р,„е Г этого элемента (рис, 12.7), имеем д = и (Р) ЫГ(Р) = Гг ! л/2 = — 2 1п — ~Ц' = 1 ~1 — 1и — ). (12.25) Во 2Ве о Если же ГЭ криволинейный, то в окрестности точки Р Е Г его можно приближенно представить прямолинейным участком Г' длиной 1' с точкой Ме посередине, что дает Го,1Г' 638 !2.
ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЗЛЕМЕНТОВ Теперь функция и (Р) при РЕ Г 1Г' не имеет особенностей и можно применить обычные квадратурные формулы, а значение д' найти нз (12.25), заменив! на !' . В случае прямолинейного ГЭ интеграл в выражении для Ь равен нулю, так как тогда с* (Р) = О, Р Е Г 1(Р ), поскольку расстояние г(Р,Р ) = ~ между точками Р, Р Е Г изменяется в направлении, перпендикулярном единичному вектору п(Р) нормали в точке Р (см. рис. 12.7). Криволинейный ГЭ Г в малой окрестности точки Р Е Г снова можно представить прямолинейным участком Г' длиной !,'„н этот участок исключить при вычислении интеграла, положив и' (Р) йГ(Р) п' (Р) йГ(Р). Г~1Г' Г Но проще воспользоваться тем обстоятельством, что (12.23) справедливо и для частного случая !'(М) = О, М Е Р.
Тогда при задании на контуре Г значений и(Р) = ие = сопн1 решением уравнения Лапласа ~7~и(М) = О будет и(М) = ие, причем д( Р) = = О, Р Е Г, а вместо (12.23) получим Н!! = Он„где Он,.— нулевая матрица-столбец размера )УГ х 1. Теперь значения и„= = ие, п = 1, !УГ, будут удовлетворять матричному уравнению НЮ = Онг лишь пРн Условии Равенства нУлю сУммы элементов в каждой строке матрицы Н, т.е. при (12.2б) вюГУГ офтп Отсюда можно вычислить значение Ь, не прибегая к интегрированию по ГЭ Г Интеграл в (12.24) также является несобственным и сходится в окрестности точки Р Е Г, если функция у(М) ограничена в этой окрестности (см.
12.1). Его можно вычислить, например, при помощи кеадратурной формулы Гаусса, не ис- 12.2. Способы аппроксимации функций на границе бзик пользующей значения подынтегральной функции в граничных точках. Иной путь состоит в том, чтобы в малой о-окрестности 1!б(Р ) точки Р е Г радиуса Нао принять 2'(М) где у" — предел функции ДМ) при стремлении точки М е Р к точке Р . Тогда для пересечения Рб = РП Пб(Р ), считая, что о (1, получим 'е( Рг ! но б бб = ~(М)ц (М)с!Р(М) — ~ т!п — Йун(тсе На а а т бг бг ~г = — ~р(Ро) 1~ йа ~ — !п о + — — !нп — !п ~ а1 2 4 б-+а2 /Р 1 йг~ = !о(Р )у Н~~ — !и — — — ~ а~2 б 4у и в результате вместо (12.24) запишем йш =~6+ У(М)п (М)~Р(М), тп=11А!г, где последний интеграл можно вычислить по обычным квадратурным формулам.
Таким образом, для выбранного разбиения на ГЭ границы Г области Р н заданной функции у(М), М Е Р, в (12.23) определены все элементы матриц Н, 6 и В. Если на Г заданы значения и(Р) = уг(Р) искомой функции и(М), то в (12.23) известны все элементы и„, и = 1, Жг, матрицы (1. Тогда (12.23) переходит в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) И~ = =  — Н(1 относительно элементов д„, и = 11, !Уг, матрицы Я, которые являются узловыми значениями производных функции и по направлению единичного вектора гб(Р„) внешней нормали к контуру Г в узловых точках Ро б Г„. После решения этой СЛАУ, используя (12.14) при 1о(Ма) = 2к, в любой точке Ма с Р 640 НЬ ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ можно вычислить значение искомой функции Нг,г (м)= — 1 д ) (Рлг )»ПР) — „) 1»лг)»ПР~)» 2х Г» + — / )'(М) е(М, Мо) 0Р(М) (12 27) 1 Г 2х,/ Погрешность вычислений по формуле (12.27) зависит от точности представления функций и(Р) и д(Р) их постоянными значениями в пределах каждого ГЭ и от погрешности при вычислении входящих в (12,27) интегралов.
Если в пределах каждого ГЭ Г„длиной 1„принять е(Р,Ме) = е(Р»,Ме) и и(Р,Ме) и(Р»,Ме), Р„Е Г„, и= 1, Юг, то (12.27) переходит в менее точную, но более простую формулу Нг в(Ме)»~~~~(ц ю(Р~,Ме) — и и (Р, М ))1 + »=1 + — / /(М) гл(М Ме) г1)г(М). (12.28) 1 2х,/ Предположим, что функция )(М) непрерывна в окрестности любой точки Ме области Р или Ъ'. Тогда несобственные интегралы по Р в (12.27) и по Ь' в (12.28) сходятся равномерно в окрестности этой точки (см. 12.1) и их можно дифференцировать по координатам точки Ме как по параметрам [Ъ'1Ц, Это позволяет вычислить не только значения искомой функции в точке Ме, но и значения ее производных в этой точке, что важно при решении некоторых прикладных задач. Например, при решении задачи теплопроводности наряду с вычислением температуры часто необходимо вычислить плотность теплового потока, выражаемого через градиент температурного поля.
В более общем случае, когда заданы граничные условия (12.15), будем иметь 1Ч~ узлов на участках Г С Г контура Г и №г' — — Юг — №г узлов на участках Г, = Г 1Г*. Подставив в 12.2. Способы аппроксимации функций иа границе 641 (12.23) ип еп (;(Р„) в узлах Р„Е Г* и т7„= 7з(Р„) — ип в узлах Рп Е Г„придем к СЛАУ АХ= В', (12.29) где Х вЂ” матрица-столбец размера Мг х 1, элементами которой ЯвлЯютсЯ неизвестные значениЯ т7„в Узлах Рп Е Г' и ип в Узлах Рп Е Г„упорядоченные в соответствии с нумерацией узлов. При этом для элементов матрицы А порядка т"тг и матрицы- столбца В' размера Фг х 1 получим выражения цптл = цтпь+ 9тпьЯ,Рь) цтпп = дтппт т" г 'чг 6;, =6»-',~,~,Б(Р )+~~,7 ьЯ(Ра)т (12.30) тт= 1 если Рп Е Г', Рь Е Г„и ц ь= — я ат и ° =Ь +и пЯРп)т т'г жгп Ь'„=Ь„-~й,Л(Р,)+~ д„„У,(Р„), (12.31) ппи если Рп Е Г., Рь Е Г'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
