XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Кроме того, в соответствии с сооупношеннлми Коши (3.30) 1/дй; дйу~ еб — — — ~ — + — ") (12.70) 2 1дх дх,) и в соответствии с обобщенным законом Гуно (3.31) об = ЛО6;, + юг;,, об = Л56;. + 2неб, (12.71) 1— о;,еб = (Л860 + 2йе;,) — (М;„+ Зеб — 56,,) = 3 = Л60+2ребгб = ЛОО+ (о; — Л6)е; = о, е, . где 6 = е, 6;, — объемная деформация; 6; — компоненты единичного шензора второго ранга, для которого 6; = 1 при в' = у и 6; = 0 при 1ф,у.
Используя (12.71), можно установить, что с учетом 6;„6; = 3 бб5 12.$. Статическаз задача теоРвн УоРУгости Отсюда интегрированием по области У получаем (12.72) У читывая (12.68) — (12.70) и симметрию тензора напряжений, преобразуем интеграл в левой часты ( асти (12.72): У 1 Уди; дй,~ )' дй; ,/ о 2 ~дх, дх;!,/ х, — "н й е15 — — ой;Й/= рсйщИЯ+ Ь;й;дК <Т,йнуи; ,/ ох„. т 1 Аналогично можно преобразовать интеграл в правон части (12.72), в результате вместо (12.72) получим итоговое соотношение | р,и; НЯ+ Ь;й;е1У = р,и; сБ+ Ь;и, НЪ' (12.73) я и помянутой теоремы: работа первой системы снл на перемеупомянуто щениях, вызванных второй системой сил, равна р системы на перемещениях, вызв н ы р а н х пе вой системой.
Чтобы избавиться в правой части (12.73) от интеграла по области И и перейти к ГИУ необходимо располагать решением задачи для перемещений в неограниченной линейно упругой М 1ьз сос едоточенс е е вызванных приложением в точке Мо Е р ной силы у. Для зтого рассмотрим уравнение ( . ) р (3.40) пзео ии упругости в перемещениях, полож ив в нем вектор плотности объемных сил равным Ь(М) = У(Мо)оз(М, Мо), где бз(М, Мо)— М МЕ~'= = Ъ'О 5, непрерывной на замыкании т' области Ъ', свойством ы(Мо) У(Мо) | ПМ)оз(М Мо)пк(М) = 0, Мому', 666 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ где м(Мо) — телесный угол, под которым из точки Мо е Г видна „внутренность" области Ъ' (в частности, м(Мо) = 4я при Мо 6 Ъ' и м(Мо) = 2я, если точка Мо лежит на гладком участке поверхности 5). Тогда (3.40) примет вид 1 1 ~за+ Ч(Чм) = — — уоз, 1 — 2и Й (12.74) где и = — коэффициент Пуассона упругой среды. Л з(л+ р) Решение (12.74) будем искать в виде м = и'+ и, причем и* удовлетворяет векторному уравнению Пуассона 1 ту и* = — =лоз Н (12.75) или в проекциях на координатные оси Ох;, 1 = 1, 3, (12.76) Известно (Х1Ц, что' и, = =', где г — расстояние между Л 4ярг' точками М, Мо Е Кз, удовлетворяет (12.76).
Тогда У и 4яйг (12.77) (1 — 2и)Ч7~й+ ~7(7м) = — Ч(Чи*) (12.78) относительно искомой векторной функции и. Применяя к нему операцию ротора и учитывая, что '7х(17~Р) = 0 для любой дважды непрерывно дифференцируемой действительной функции Р, получаем ~7з(~7ха) = О, где 0 — нулевой вектор. Таким образом, проекции д; = (~7хй)е; векторной функции д = ~7хй будет удовлетворять (12.75). Подставляя теперь и = и'+ и в (12.74), получаем уравнение 12.$.
Статическое эадача теории упругости 667 на координатные оси Ох;, 1 = 1, 3, с орптами е; удовлетворяют уравнениям Лапласа 17зд; = О, т.е. являются гармоническими функциями, Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что по мере удаления от точки Ме е Й перемещения, деформации и напряжения, вызванные приложением в этои точке силы у, стремятся к нулю, в том числе и д,-т О, 1= 1,3. Но функция д;, являясь гармонической в пространстве Кз и обращаясь в нуль на бесконечности, равна тождественно нулю (Х 1). Таким образом, д ='Яхи = О и поэтому существует скалярный потенциал Ф искомого векторного поля, задаваемого функцией й, т.е.
й = ~7Ф. Тогда из (12.78) получим (1 — 2и)тУ тоф+ ~7(т(~7Ф)) = — ~7(~7тл*), или '17(2(1 — р)~7~Ф+ ~7тл') = %'Ь = О. Отсюда следует, что функция й = сопле. Но на бесконечности она должна обращаться в нуль. Поэтому с учетом (12.77) имеем Правая часть (12.79) определена всюду в л1з, кроме точки Ме приложения силы У. Пусть функция 4 удовлетворяет уравнению ~7~4~ = 1/г. Тогда вместо (12.79) запишем 1-72Ф э' 7(~172Ф) ~72(е7Ф) 8кр(1 — р) 8к,и(1 — р) Этому равенству удовлетворяет функция ф У (12.80) 668 12.
ввкдкник в мктод грлничных элкмкнтов 1 с( гс(Ф 1 Последовательным дифференцированием находим — — (г — ) = — (г -) = г, так что действительно ~72 ~-) = —. Подставляя ср = — в (12.80), 27г~ 1 г ~27' г. 2 получаем 1 та = ~7Ф = — ~7(~~7г). 16л(с(1 — и) В итоге, учитывая (12.77), имеем и = и*+ й = — ~7(~~7г). 1 4л)лг 16л(с(1 — и) (1 2.81) Это решение получено в 1848 году У. Томсоном*. Оно является йгундаментальным решением однородного уравнения (3.40) теории упругости в перемещениях (цри Ь = О).
Для перехода от (12.72) к ГИУ удобно представить (12.81) в проекциях и;(М) = и( )(М, Мо) 71(М0), 1,1= 1, 3. Тогда значение функции и, (М,Мо) будет указывать перемещение в точке (1) М е ль~ в направлении оси Ох;, вызванное приложением в точке Мо единичной силы в направлении оси Охь Положим у = ~Яес и, учитывая, что е,е1 = Бп, запишем д, , дгг дгг 17(717г) = е; — Яес — е,) = Я е, = 71 е;. 'дх;1 дх, '7 'дх,дх, ' дх,дхс 'У. Томсон (лорд Кельвин) (1824 — 1907) — английский физик и математик.
Убедимся, что функция гр = г/2 является решением уравнения 172ф = 1/г. Для этого поместим точку Мо в начало сферических координат, в которых это уравнение примет вид (ХП) 669 12.5. Статическая задача теории упругости В итоге вместо (12.81) получим ~)е) ~~е, д г е; Бн 1 д г и (Л.
4яДг 16я р(1 — и) дх;дх~ 4я р ( г 4(1 — и) дх,дх) Отсюда находим искомую функцию (0 1 Г Ьп 1 дзг(М,Мо)1 и, (М,Мо) — „=~ — ~. (1282) При помощи (12.82), используя соотношения Коши (12.70) и обобщенного закона Гука (12.71), можно найти деформации и напряжения в точке М Е Кз, вызванные приложением в точке Мо единичной силы, направленной вдоль оси Ох~.' 1 Гд (')(М,Мо) ди()(М,Мо)( 21, дх дх, о~~)(М,Мо) = Лей)(М,Мо)60+ 2ре~ )(М,Мо), (12', 1 = 1, 31 ~и )=/Ь оч )'тиы —;ти<и~ги ~)аигу+ + Ь;(М)и; (М,Мо)П)'(М), МЕЪ', РЕЯ, МоЕ г' ° (12.83) а затем вычислить проекции р, (М,Мо) = о," (М,Мо)и (М) (0 ()) вектора напряжений на площадку, проходящую через точку М н имеющую направляющие косинусы и (М) единичного вектора п,(М) нормали к этой площадке.
Подставляя в (12.73) и, (М,Мо) вместой;, ар, (М,Мо) вме- (1) — (0 сто р; и полагая Ь, = фзбн, с учетом указанного выше свойства дельта-функции получаем ГИУ 670 И. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ г —, ( -)=Е/(Р.( -).(0( '-)-.'(Р-)р(0(РР-)) (Р)+ пж1л и + 6,(М)и~ (М,Р )ЙУ(М), 1,1=1,3, или в матричной записи, учитывая, что точку Мо можно совместить с любым гп-м узлом, Нб =64+Р, (12.84) где О, ф и й — матрицы-столбцы размера ЗЖл х 1 узловых значений из(„И+, — гм( Р„), рз(„1~+; — — р;(Р„), п = 1, ЛЪ, и Нз( 11+~ — — 6;(М) н) 1(М, Р ) Нl(М), гп = 1, Лъ~, (12.85) Это ГИУ можно решить при помощи МГЭ. Для этого кусочно гладкую поверхность 5 разобьем на Мя граничных элементов (ГЭ) Я„, и = 1,Л~~, причем угловые точки и ребра, если они есть на поверхности, расположим на стыке элементов.
Тогда в пределах каждого ГЭ будет определен единичный вектор внешней нормали к поверхности. В простейшем случае в каждом ГЭ о'„функции и;(Р) и р;( Р) аппроксимируем значениями и;(Р„) и р;(Р„) соответственно в точке Р„Е 5„, помещенной в середине ГЭ, т.е. приближенно заменим эти функции их узловыми значениями в и-м узле. Совместим точку Мо Е Г с гп-м узлом, приняв Мо — — Р Е Е Я,„.
Для этого узла, лежащего на гладком участке границы, в (12.83) имеем м(Мо) = ы(Р ) = 2к. Тогда вместо (12.83), используя свойство аддитивности определенного интеграла, получаем 12.5. Статическая задача теории упругости соответственно, Н и С вЂ” матрицы порядка ЗЯБ с элементами йз1 11+1 з1„1Гт — + р,. (Р, Р ) 115(Р), ш, и — 1, д1л Г 81 уз1т-1)+1,31а-1)+~ / не (~ ~ Рт) 11~(~ )1 ™~ 11 1> дЪ1 Г (1> о „= 1 при пт = п и о „= 0 при т ф и. Подынтегральные функции в интегралах по ГЭ 5„, н = = 11, Нл, входящих в выражения для элементов матриц Н и С, при и ф т ограничены. Поэтому такие интегралы можно вычислить при помощи обычных квадрагпуриых формул ['11П). При и = т несобственные интегралы в выражениях для элементов матрицы С можно вычислить аналитически, если ГЭ 5 является плоским .
В случае криволинейного ГЭ в окрестности точки Р Е 5 целесообразно ГЭ аппроксимировать плоским участком 5', вычислить аналитически вклад в несобственный интеграл на этом участке, а на остальной части ГЭ, где отсутствуют особенности в подынтегральных функциях, использовать для вычислений обычные квадратурные формулы.
Выражения для элементов матрицы Н при и = т также содержат несобственные интегралы. Можно избежать их вычисления, если учесть, что матричное уравнение (12.84) справедливо и для частного случая переме1цения области У как твердого тела при отсутствии поверхностных и объемных сил и заданных значениях и;(Р„) = и,' = сопв1. В этом случае матрицы Я и О будут нулевыми и вместо (12.84) получим НО =Оза1ч где Оза1 — нулевая матрица-столбец размера 31тя х 1.
Теперь заданные значения из1„П+; — — и, (Р ) = и,', 11 = 11, 1чг, будут удовлетворять матричному уравнению Нб = Оза1 лишь при 'См., например: Бенеодиси П., Баттер4илд Р. б72 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ условии > 5 ~3(ри-1)+1,3(«-1)+> ()> !> 1 1> 3 (12 88) «=1 Отсюда можно вычислить значения 63( П+! 3( П+;, не прибегая к интегрированию по ГЭ Я . Интеграл в (12.85) также является несобственным. Можно показать, что он сходится в окрестности точки Р Е Г, если функция 6!(М) ограничена в этой окрестности.
Его можно вычислить, например, при помощи соответствующей кеадрарвуррром формулы Гаусса, не использующей значения подынтегральной функции в граничных точках. Если на границе з области (р' заданы значения перемещений и!(Р) =~;(Р), РЕЯ, 1=1,3, тон (12.84) будут известны все элементы матрицы (7. Тогда (12.84) переходит в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно значений р,(Р«) в точках Р„Е Я„. После решения этой СЛАУ, используя (12.83) при ьр(Ме) =4п, в любой точке Ме Е У можно вычислить значения Фл ,!м,1=Гр р 1~.!«!Р.м !рр[р1- и>и! я « Ф~ - Я «1>*„! ~ р~ ( Р м ! р! ! и! р и=! Я + 6;(М) и; (М, Ме) !(ЦМ) > М б 1р, Р Е 5, Мо Е )р.
(12.87) Приняв, что и,. (Р,Мо) жи, (Р„,Мд) н р; (Р,Мо) р; (Р,Мо) (П (!) (!) (!) Р„с з„, п = 11, А(я, в пределах каждого ГЭ с площадью з„, вме- 12.5. Статическая задача теораы упругост» 673 сто (12.87) получим менее точную, но более простую формулу кч(Мо) = у (ра(Рв)п; (Рв,Ме) — пч(Рв)р; (Рв,Мо))~в+ + 1>;(М) и; (М, Мо) с1У(М). (12.88) т' Можно показать, что несобственный интеграл по области У в (12.87) и (12.88) сходится равномерно в окрестности точки Мо б У, если в этой окрестности функцил о;(М) ограничена.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
