XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Этот интеграл сходится, так как существует предел правой части (12.2). Итак, учитывая предельное значение интеграла 1з, получаем интегральное представление дважды непрерывно дифференцируемой функции и(М) в произвольной точке МОЕРввиде 2пв(М0) = и(Р) )7)н ' ) п(Р) НГ(Р)— г(~ ~МО) По Г -1)т )е)) )е)~ ' а)е)+ г(Р, Мо) По Г +~)е',)н))ь " ' ' ~е)н), н,н ~ г, е ~ е. )11л) Пусть теперь точка Мо находится на кусочно гладкой границе Г области Р.
В частности, Мо может быть угловой точкой этой границы (рис. 12.2). Дугой Г, окружности радиуса с с центром в точке Ме выделим подобласть Р, С Р. Тогда на замыкании 7. = Р.).) Г„) ) Г, области Р„= Р~ (Р,ОГ,) с участком 626 Иь ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Г, Рис. 12.2 Г С Г внешней границы имеем изи= О и к функциям и, основа можно применить вторую формулу Грина: и~У иИ'= (ии и — ий и)НР= — (и17и — иЧи)п6Г+ (и~и — иЧи)тьйГ. (12.6) Г, Ге Аналогично предыдущему можно показать, что средняя часть (12.6) при с-+ О имеет пределом несобственный интеграл (12.4), который сходится на пересечении области Р и окрестности ЩМе) точки Мо 6 Г.
Второй интеграл в правой части (12.6) по аналогии с (12.3) представим в виде Ь~р(р) ь|р(е) ди(Р) 7~ = с1п — ~ — Ну — / и(Р) п(р, Р Е Г, (12.7) к. / где Ь~Р(г) = 1,/е, 1, — длина дуги Г,. В силу ограниченности первых производных функции и на 7 первое слагаемое в правой части (12.7) при с -+ О исчезает. Второе слагаемое можно представить в виде -Ь(р(с)й„где и, — среднее значение функции и на дуге Г,.
Так как й, -+ и(Ме) при с-+ О, а Ьу(г) при этом стремится к значению у(Ме) угла, образованного касательными к контуру Г в угловой точке Ме 6 Г и обращенного 627 ИЛ. Граничные интегральные уравнения в сторону области Р (см. рис.
12.2), то 1" -+ — !р(Ме)и(Мо) при е-+ О. Ясно, что если точка Мо 6 Г лежит на гладком участке контура, то у(Мо) = и Но теперь при е -+ О несобственным станет и первый интеграл в правой части (12.6). Представим его в виде и(Р) ту!и ' те(Р) оГ(Р)— à — (~7п(Р)) ез(Р) !и ' ИГ(Р), Мо Е Г, (12.8) г(Р, М,) Г и убедимся, что он сходится на участке Гя = Г П 1)л(Мо) границы Г, попавшем в некоторую е-окрестность СБ(Ме) точки Мо б Г. Если Гя состоит из прямолинейных участков, то на них ('7!и г(Р Мо))п(Р) = О и первый интеграл в правой части (12 8) является собственным. Если же Гл состоит из криволинейных участков Гл~ и Г~л (рис.
12.3), то получим неопределенность вида О/О д 1 дг сову (~7!пг(Р,Мо))те(Р) = — 1пг = — — = —, дп гдо г где т — угол между направлением и вектора внешней нормали те(Р) и вектора г, проведенного из точки Мо в точку Р б Гл, а Рис. 12.3 628 12, ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ г = ~г~.
Раскроем эту неопределенность по правилу Бернулли— Лопиталя (1Ц: — е(п~дт . ОГ 1пп — = 1пп — = — 1пп —, г->о г г-+о 1 дг г-+о дг ' поскольку т-+ к/2 при г-+ О. Величина — характеризует криду дг визну участка Г~ в окрестности точки Мо е Г~ и для кусочно гладкой границы Г имеет в любой точке Мо конечные односторонние пределы. Таким образом, и в этом случае первый интеграл в правой части (12.8) является собственным.
Ясно, что этот вывод справедлив н в случае, если Г~ состоит из прямолинейного и криволинейного участков, имеющих общую точку Мо б Гл. Второй интеграл в правой части (12.8) будет сходящимся, если для любого о > 0 существует такое е(а) > О, что Гд Функция и(М) непрерывно дифференцируема на участке Г5 и поэтому ее производные ограничены, т.е. существует такое число С1 > О, что 1(Чи(Р)и(Р)~ < С1 при Р Е Гь.
Но тогда справедлива оценка | (17и(Р)) и(Р)1п ' йГ(Р) < Яо < С1 / !и <1Г(Р), Мо Е Гл. (12.10) г(Р, Ме) Гз 12.1. Граничные интегральные уравнение б29 Если Г1 состоит из прямолинейных участков, то на каждом из них в предположении, что 6 < 1, имеем г, = Ве(6)!пд) — б — )(тЯ)!пЯ!) = Но(6(!пб( — 6). Тогда при выборе числа е ) О, такого, что б()пБ! — Б <— С~йе ' условие (12.9) будет выполнено.
Если же Г1 состоит из криволинейных участков Г~~ и Г~~' (рис. 12.4), то на любом из них (например, на Г~) интеграл в правой части (12.10) можно представить в виде и =//ьнеие!Ггп ) = г! 6 =/ ! 1е( — ) и, ~12.11) о где ( > 0 — координата, отсчитываемая от точки Ме вдоль касательной к кривой Г~~, а и = ц(() — уравнение этой кривой, й~ ~ причем п(0) = — "! = О. Убедимся, что этот интеграл схоЖс 14=о е!п10! Рнс, 12,4 630 Гь ВВеДение В метОД ГРАничных элементОВ дяшийся и его значение путем уменьшения числа Б > 0 можно сделать меньше любого наперед заданного числа о/См Для подынтегральной функции Т"(х) в (12.11) выберем в качестве функции сравнения д(~) = — „и вычислим при А Е (0,1) 1 !(ш — = !пи~ )!п — )!п(~((1+ я 1+ ( — ) =О.
Г(х), ~ (( (1з (((1 я б~о д(~) б~о 11о Ч хз В силу признака сравнения несобственный интеграл 1з от неограниченной функции б(х) сходится, поскольку сходится интеграл от функции д(х). Так как в некотором промежутке [О, б) справедливо неравенство Г(~) < Кд(с), где К = сопя1 > О, то б б бз ~~ К д(ь) (1( = К / ,Г(К К вЂ” /Сл — 1 Л Тогда при выборе 5, удовлетворяющем условию условие (12.9) будет выполнено. Итак, интеграл 7б в (12.8) является сходящимся, а из (12.6) следует, что для случая Мо Е Г будет справедливо интегральное представление (12.5), если в нем в соответствии с предельным значением интеграла (12.7) заменить 2п на Р(Мо). Тогда для общего слУчаЯ Мо Е Р, УчитываЯ, что (Р(Мо) = 2Я' пРи Мо Е Р, получаем .( м .(-|(( и, .(-.(( (м(( ( (- г "(М Мо)~7 н(М)(бР(М), МЕР, МоЕР, РЕГ, (12.!2) 631 12. К Граничные интегральные уравнении где д(Р) = (~7и(Р)) уе(Р) и и" (Р,Ме) = (Чи(Р,Мо))п(Р) = — ~1У!и ' ~п(Р).
г(Р, Мо) 1 Если функция а(М) в области Р удовлетворяет уравнению Пуассона хуян(М) + у(М) = О, М Е Р, (12. И) где 1'(М) — заданная функция координат точки М, то из (12.12) следует ГИУ + 1(М)п(М,Мо)пР(М), Мб Р, Мо6 Р, РЕ Г. (12.14) Отметим, что подынтегральная функция в последнем интеграле в правой части (12.14) известна и его можно вычислить при любом положении точки Мо 6 Р. Для решения зтого ГИУ необходимо на контуре Г задать граничные условия. Если в точках Р Е Г заданы значения и(Р) = 21(Р), то, полагая в (12.14) Мо 6 Г и подставляя заданную функцию и(Мо) = )1(Мо), получим ГИУ + У(М) п(М,Мо)пР(М), М Е Р, Мо, Р Е Г, относительно производной н(Р), Р Е Г, искомой функции и(М), М Е Р, по направлению внешней нормали в точках Р Е Г. 632 12.
ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ После нахождения функции д(Р) можно вычислить при помощи (12.14) значение и(Ме) искомой функции в любой точке Ме Е Р. При задании в точках Р Е Г значений д(Р) = Тз(Р), полагая в (12,14) Ме Е Г и подставляя вместо п(Р) заданную функцию Уг(Р), Р с Г, приходим к ГИУ + У(М)п(М Мо)пР(М), М Е Р, Мо, РЕ Г, относительно значений искомой функции и(Ме), Ме б Г, на границе, которые входят и в левую часть, и в подынтегральную функцию первого интеграла в правой части зтого ГИУ. После нахождения зтих значений можно также вычислить при помощи (12,14) значение и(Мо) искомой функции в любой точке Мо б Р 21Р1 Рис, 12Л В более общем случае на контуре Г (рис.
12.5) могут быть заданы граничные условия И.1. Граничные интегральные урааненме 6ЗЗ где )ы 7з, )1 — известные функции точки на контуре. Тогда вместо (12.14) получим е)М.),)М.)= /)д) ),)Е,М)-У))),')),М.))ГГ)Е)— г -1 ()ые) — е)е) )е)) )ем ) — )е) ')ем ))м(е)-~ г. + У(М)))(М,Мо)ЙР(М), М Е Р, Мо 6 Р, РЕ Г.
(12.16) Б (12.16) неизвестными являются значения и(Р) в точках Р Е Г. и значения с1(Р) производной функции и по направлению вектора внешней нормали в точках Р Е Г". Получить аналитическое решение ГИУ (12.16) удается лишь для области Р простейшего вида (например, для внутренности и внешности окружности и для полуплоскости). Перейдем к рассмотрению трехмерных задач.
Фундаментальное решение уравнения Лапласа и)(М,Мо) = 1 в )из позволяет найти интегральное представление функции и(М) в области У, ограниченной поверхностью .5' (ХП). Для случая, когда поверхность о' кусочно гладкая, а функция и(М) дважды непрерывно дифференцнруема на замыкании У = У).) о', это представление можно записать в виде -1))е)-)ем)- )е)-) М)) «)- — )н(М,Мо) т7 и(М) ПУ(М), М, Мо Е У, Р б 5, (12.17) где н)'(Р, Ме) = (Ян))п(Р) — производная функции н) по направлению единичного вектора та(Р) внешней нормали к поверхности о в точке Р б 5. Для функции и(М), удовлетворяющей 634 ~З. 88оДЯНоо 8 1иот'ОД ГРДНОЧНЬ1л" ЭЛ~ЭЛ~111'Оо уравнению Пуассона т' (М)+У(М) =0, М Е У, (12.19) где 1(М) — заданная функция, путем, аналогичным рассмотренному для плоской области, можно получить, используя (12.17), ГИУ (и,) (м|=~ь(е) р;м~ — (и) '(км))и(е-~ + У(М)го(М,Мо)ЙУ(М), М,Е У, РЕЯ, Ме Е У, (12.19) где м(Ме) — телесный угол, под которым иэ точки Ме Е У видна внутренность области У (в частности, ы(Ме) = 4н при Ма Е У и м(Ме) = 2л, если точка Ме лежит на гладком участке поверхности 5).
Если граничные условия имеют вид Е и(Р) = Л(Р), Р Е 5' С 5; (12.20) (17и(Р))п(Р) +ЯР) и(Р) = 6(Р), Р Е 5„= Я~.Ь", где ~~, ~з, 13 — заданные функции, то иэ (12.19) получим -" "=/~ - "- 51 +1((ы ) -и ) ( и-(, ь)- ~ )- ~,иь)) ол~ + У(М)ю(М,Мо)с(У(М), М Е У, Ме Е У, РЕЯ. (12.21) В этом ГИУ неизвестными являются функция и(Р), определенная на Я., и функция д(Р), определеннал на 5'. После их 12.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
