XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 84
Текст из файла (страница 84)
— ~ с(У+ Йе е / дурее а д~ра» (е) д~раа (е) д~ро 4/ ~1-' д., - д.,)~™ д., "д.,~ -(е) (е) (е) Г (е) (е) ~ + — ))аР(')~и +и ~~61 бев — +61 6 Я вЂ” ~е(У- )ед 1 е (е) д(ооа (е) д(саа а д(оо а даро 4( ~"* д* - д*1 Я"' д* '"' д.;,) 1 а а 610 ) Е ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ д (') д (') Ф (е) д~р„ду) (е) д~р,„д~р) (е) др„д~р) (е) (е) . (е) (е) (е) (е) = и„— + и, — = 2и„—— дх дхь ' дх; дх)е "1 дх. дхь (е) (е) (е) (е) =2 — и „+2 — и Ф) (е) дФе дФ! (е) ду~е дх "" дх дх "з дх (,) Уд(п~(') д(р('» д~р('~ д(п~')~ В итоге (11.77) примет вид д,(,(и) х, аби„, — Ь,„, у', й = 1, 3, и)„ (, и = 1, Ю„(11.78) где д (') д (') (е) (е) (е) . (е).
+ Й(') ~ <р(') ~ — — + бяь — — ) И$' (11.79) , /др, д~р„д(п) д~р„~ ~, дх, дхь ' дх; дх; ) Так как ~р ' б)„, = ~р„' б)„= ~р,', а результат суммирования по (е) (е) (е) повторяющемуся индексу не зависит от обозначения этого индекса, то второй и третий интегралы в правой части (11.77) д, (.) д„(«) равны. Кроме того, бре ~" = ~", а также З, ае, ' 611 Ы.4. Задачи теории упругости Ьм = Ь(') ~р(') р(') ВЬ" — р(„') р~') р(') 418. (11.80) Элементы йм „составляют симметрическую матрицу К(') порядка 3)е'„называемую матрицеб жесткости КЭ, а элементы Ьм — матрицу-столбец В(') размера ЗМ, х 1. Отметим, что при использовании симплексных КЭ в виде тетраэдров (для трехмерной задачи) — = у,„= сопя(, так что с учетом (10.31) дае )8и,щ (Л ~Рм Уео +И (Йу 'Рая +6)ЙУп У~д )))е1 (е) (е) (е) (е) -(е) (е) (е) (е) (е) где Л(') и р(') — средние арифметические узловых значений констант Ламе КЭ с номером е = 1, Е.
Подставив (11.78) в (1136), запишем необходимое условие .е(и,би] = 0 экстремума функционала (11.65): Е (И~~~„,.ищ — Ьм)биц', — — О, у,1=1,3, (,п=1,Ж,. еим Чтобы использовать зто условие для нахождения узловых значений перемещений, перейдем в нем прн помощи матриц Й„ е = 1, Е, устанавливающих соответствие между номерами узлов каждого КЭ с номерами М узлов сетки КЭ (см. 10,3), от и„и би „к и~ч и биьь, А, )е' = 11, Д(п, соответственно: (е) (е) Е Яе(й,„'~„и„'~ иу4, — 6д)ы~'~биЬь = О, у, й = 1, 3, (11.81) нли в матричной записи бУ (КУ вЂ” В) = О, где К вЂ” симметрическая илобалькал матрица жесепкостпи порядка ЗМп с элементами 812 11.
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ (1 и  — матрицы-столбцы размера 3%в х 1 с элементами и1ч) и 6ьь = ~ си(ь' 6(~ь соответственно. (е) (е) с=1 Если игнорировать граничные условия (11.б4), заданные на участках 51 поверхности 5, то вариации биЬе в (11.81) можно считать произвольными, что приводит к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) йу,,1и н1ч,=6сы Ь,Я=1,Жп,,1,)с=),3, (11.82) или в матричной записи Кс1 = В.
Однако в узлах сетки с номерами дс', соответствующих точкам Ре1, б 51, значения иеи — и„'(Рю ) заданы, т.е. в (11.81) бай, = 0 прн Ь = Х'. Упорядочим номера Д(' так, чтобы Д(' = Ф"+1, Д(П, где Ф* = = Ф~ — Д(1 и Д(1 — общее число узлов на участках 51. Тогда в остальных узлах с номерами Ь = Д( = 1, Ж' вариации биьь будут произвольны. Таким образом, условие (!1.81) будет выполнено, если искомые узловые значения и1и1, )У = 1, Х', удовлетворяют СЛАУ К" с1" = В, где К вЂ” симметрическая матрица порядка Зйй, полученная из глобальной матрицы жесткости К вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих номерам )й' = = 1ч'+1, Фп, а (1 и В" — матрицы-столбцы размера 31й х 1 с элементами и)ч1, Дс = 1, М", и 6у,ь — — 6ьь — )сьь,1иби (Рм'), Ь = 1, Ю', соответственно.
Отметим, что лсагарица К' является слабоэаполненной, поскольку любой ее элемент отличен от нуля лишь в том случае, если номера строки и столбца соответствуют номерам узлов сетки, принадлежащих одному и тому же КЭ. Это позволяет использовать для численного решения СЛАУ с такой матрицей способы, приводящие к экономии вычислительных ресурсов ЭВМ'. 'Смс Дисордис А., Лю Дис., а также; Писсинеики С. 613 11яс Задачи теории упругости Динамическая задача. Перейдем к рассмотрению динамической задачи теории упругости, описываемой уравнениями Ламе (11.62), которым соответствуют уравнения движения (2.85) д и1 д011 р' — = — +Ь,=О, д11 дяй 1,1= 1, 3. (11.83) Аналогично статической задаче теории упругости на участках 51 и 51 — 5~ 51 поверхности 5, ограничивающей область У (см.
рис. 11.2), зададим граничные условия вида (11.64) и(1,Р) =и,'-(1,Р), Р 6 51, 'о; (1,Р)ну(Р) = р,'($,Р), РЕ 5з, и,(1,М) = ~ и141(1)<р14(М), М Е У, 1=1, 3, (11.84) где идн(1) — зависящие от времени проекции перемещений в узлах сетки КЭ, а линейно независимые функции формы узлов где ие(1, Р) и ре(1, Р) — заданные функции времени н координат точки Р. В качестве начальных условий примем зависимости проекций и;(О,М) = и;(М) перемещений и ' ' = й;(М) ди,(0, М) В1 скоростей от координат точек М Е У в момент времени 1= О, принимаемый за начало отсчета. Сформулированной задаче не удается поставить в соответствие функционал, для которого ее решение было бы его точкой экстремума.
Поэтому в качестве интегральной формулировки этой задачи примем условия (6.76) ортогональности невязок, которые возникают при подстановке в (11.83) и в граничные условия искомого приближенного решения, Ют.-мерному (по числу узлов сетки лагранжевых КЭ в области У) подпространству Я1ч гильбертова нросптранстпва Я непрерывных на У = У 0 Я функций, имеющих в У кусочно непрерывные производные и принимающие на 51 нулевые значения. Это решение будем искать в форме 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ 614 этой сетки Е )о)у(М) = ~~) й„)у(Р1')(М), Я= 11,)уп, (11.85) ем 1 образуют базис Д1Х-мерного подпространства.
Можно показать', что указанные условия ортогональности приведут к системе ЗЖе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) тЫибь1 + йЬь,)у1иг2 (1) = 51,1(1), (11.86) е(~н)у (1) 1(12 Ыу = Р (М)'Рь(М) Р)у(М) 1( являются элементами симметрической елобальмоб лвотри1(ы масс М порядка Хе. Ее (как и глобальную матрицу жестко- сти) удобнее формировать из вкладов отдельных КЭ. Учитывая (11.85), эти значения можно представить в виде Е в„= Е 1' е' (м) (а),*'ее'(м1) (он е( ) 1м1) ее = в=11, е =Е ° — (е) (е) (е) т(„111 Й„),, е=1 'Смл Заруоин В.С., Селиванов В.В.
ь,)11 = 1,Ю~, /с,у = 1,3, с начальными условиями н)у (О) = = й (М)у), где М)у е й' — точки, соответствующие узлам с номерами Л'. Отметим, что элементы йьу в общем случае могут зависеть от времени, поскольку в них входят заданные в (11.83) и граничных условиях функции йу и р', Й = 1, 3, вообще говоря, зависящие от 1. Входящие в (11.86) значения 615 11А. Задачи теории упругости где т11„) — — р (М) ~р11 ) (М) ~р~') (М) и"у'. Элементы т1„, 1, п = 1, Ж„образуют симметрическую мо— (е) трииу масс КЭ с номером е, имеющую порядок Ж,.
Эти элементы распределяют массу КЭ т1') = р (М)~Л' по его узлам в виде сосредоточенных масс так, что изменение кинетической энергии дискретной системы совпадает с ее изменением в КЭ при непрерывных распределениях плотности р'(М) и проекций ' *, М е $~„скорости'. Матрица масс дн,(1, М) аналогична матрице тепдоемкости. Поэтому для вычисления ее элементов в случае симплексных КЭ можно использовать соотношения, полученные для матрицы теплоемкости (см.
11.2). Чтобы представить (11.86) в матричной записи, перейдем к глобальной матрице масс М порядка ЗФп с элементами т1,а 1ч = тз1~, 1)+аз11о П+ — — турбь и запишем — И~У М вЂ” + Кс1 = В. Йз (11.87) Снова примем, что в Х1 узлах сетки с номерами №, соответствующих точкам Рм Е 51, в силу граничных условий заданы зависимости иан,(1) = и;'(1,Р' ). Поэтому вместо (11.87) будем иметь — <1з У' М вЂ” + К*У = В", (11.88) 'См., например: Зарубин В.С., Селиванов В.В.
где М* — симметрическая матрица порядка ЗХ* = З(ЖП вЂ” Х1), полученная из матрицы М вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих номерам № = Х'+1, Жп, а У* и В* — матри- 616 1Ь ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ цы-столбцы размера 3№ х 1 с элементами иле,(1), Ю = 1, №, и Бе ь (1) = бе.ь (1) — ~се,ь у~ и (1, Рц ~)— даеео(1 Р „) ь"лч'1 2 ' ~ и' Й соответственно. От (11.88) обращением матрицы М можно ,перейти к нормальной системе 02(У и найти решение этой системы с учетом заданных начальных условий численно, например, методом Руиае — Кутты. 11.5.
Электромагнитное поле в цилиндрическом волноводе При проектировании устройств для передачи энергии электромагнитными волнами возникает необходимость анализировать электромагнитное поле в волноводе — цилиндрическом канале (не обязательно с круговым поперечным сечением), образованном электропроводными (обычно металлическими) стенками'. Примем, что стенки волновода являются идеальными проводниками, что соответствует поверхности, отражающей без потерь падающую на нее волну (аналогично прохождению света через трубу с зеркальной внутренней поверхностью). Пусть среда, заполняющая волновод, имеет значения диэлектрической и магнитной проницаемостей е = 1, 1е = 1 н в ней отсутствуют электрические токи и заряды.
Тогда при распространении в волноводе электромагнитной волны с частотой еа форма волны для любой проекции векторов напряженности электрического Е и магнитного Н полей, описываемая функцией и пространственных координат, удовлетворяет уравнению Гельмаольиа (3.60) й~и+ /с~и = О, (11.89) где с 2,9979 10ам/с — скорость света в вакууме. 'Смл Сильееетер П., Феррари Р. 11ля Электромагнитное поле в пивиидричесном вовиоводе 617 Ось Охз декартовой прямоугольной системы координат направим вдоль образующей цилиндрического волновода с произвольным замкнутым контуром Г его поперечного сечения, ограничивающим односвязную область Р (рис. 11.3).
Вдоль этой оси в достаточно длинном волноводе могут распространяться бегущие волны [Х111. Опишем изменение формы одной из таких волн в направлении оси Охз функцией соя,дхз ()3 ) 0) и примем, что в этой волне Нз = О, т.е. отсутствует проекция вектора Н на ось Охз. В этом случае проекции Н1 и Нз вектора Н, а также проекции Е1 н Ез вектора Е можно выразить через проекцию Ез [ХП]. Так как в идеальном проводнике вектор напряженности электрического поля является нулевым, а на внутренней поверхности стенок волновода как на новерхносепи разрыва тангенциальная проекция вектора Е в соответствии с (3.89) непрерывна, то Ез — — 0 в точках Р Е Г.
Рис. 11.З Подставляя и = Ез = ю(х1,хз)сов,9хз в (11.89), получаем уравнение Гельмгольца относительно функции чр(М) =ю(хыхз) двух переменных: ~зчо+Ав= О, (11.90) где 17~ ~— двумерный оператор Лапласа в координатной плоскости к~ Охз, а Л = хз — Дз. Эта функция должна удовлетворять однородному граничному условию 618 ПЬ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ ,Г[ ] = — у ((~7ю) — Лв~) пг", 1 Г (11.92) минимизируемый на множестве непрерывных функций ы(М), принимающих в соответствии с (11.91) нулевое значение на контуре Г и имеющих в области Р' кусочно непрерывные производные. Используя аналогичную описанной выше (см. 11.2) процедуру разбиения области Г на Е конечных элементов (КЭ) с общим числом ЖЕ узлов и необходимые условия минимума функционала (11.92), получаем однородную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) АИ'= ЛВИ; (11.93) Отсюда следует, что в волноводе возможно распространение волн рассматриваемого типа лишь с такими значениями ~3, для которых при заданных значениях Й существует ненулевое решение краевой задачи (11.90), (11.91), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
