XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 89
Текст из файла (страница 89)
— з) =з дхг . ' ЛОО з=1 3 зон! при йз < оо. Получившееся в итоге преобразования уравнение Пуассона (12.40) в сочетании с соответствующим образом преобразованными граничными условиями можно решить в области Р при помощи МГЭ (см. 12.2), а затем результаты решения перенести в исходную область т'. Однако такой путь не всегда удобен, особенно в случае области сложной конфигурации. Но для решения (12.39) в исходной области Ь' необходимо располагать узуидаменпгальиым реп!синем в пространстве Кз однородного уравнения 650 !2. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Отметим, что совмещение координатных осей и главных осей тензора Л не является обязательным условием построения фундаментального решения однородного уравнения стационарной теплопроводности в анизотропной среде.
При произвольной ориентации главных осей тензора Л относительно координатных осей из (2.96) получим з з — (Л! ) +1~~~1(М) = О, М 6 К (12.43) !=! 1=! Можно показать, что функция я з з ч — ! /з !а(М,Мо) = ~Д ~! р, (Ьх;(М)Ьх (М)) ) !ю! 1ы! (12.44) (м ! (м )=~!!!Р)9(Р м ! — т(Р)в(Р м !!м!Р)~- + 1г (М)!в(М Мо)!)Р'(М), М 6 К Р65, Мо Е 1'= $'05. где Ьх;(М) = х,(М) — х;(Мо) и р; = р; = сопя! — компоненты симметрического тензора козффициентов термического сопротивления среды, обратного к тензору Л, удовлетворяет (12.43) пРи 1!~ч (М) = О во всех точках М 6 К~, кРоме точки Мо, в которой в(М,Мо) — ! оо.
В формуле Грина вида (2.99) положим т = 3, а; = Ло, и = Т(М), о = ю(М,Мо), а й и дз! отождествнм с Ь' и 5 соответственно. Тогда (2.99) можно использовать аналогично процедуре, рассмотренной выше (см. 12.1), для перехода от (12.43) к граничному интегральному уравнению (ГИУ) 651 !э.з. Учет аниэотроаии и неоднородности Здесь ы(Мо) — телесный угол, под которым из точки Мр е 1' видна внутренность области $' (см. 12.2), з з д(Р) — ~~» ~Л»1 и;(Р), Р Е 5, ни! 1=! з з 1=! эн! где и;(Р) — проекция на координатную ось Ох; единичного вектора п(Р) внешней нормали к поверхности Я в точке Р Е Я. Как и ранее (см. 12,2), от зтого ГИУ можно перейти к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) (12.29) при заданных на участках Я' и Я„поверхности 5 граничных условиях вида (12.20) Т(Р) = у»(Р), Р е о" с З; (12.45) »э(Р) + 5(Р)Т(Р) = Л(Р), Р Е 5, = 5'! Я", гДе 7», 7з, Д вЂ” известные фУнкЦии положениЯ точек на гРаниЦе Я.
Решение СЛАУ относительно неизвестных узловыя значений Т„и»7„, ц = 11, )»1з, при разбиении поверхности Я на Хс граничных зледеенп»ов (ГЭ) позволит затем по формуле вида (12.37) вычислить значение температуры в любой точке Мо Е У: !»»э т»и» ' Я~е~ен„»ээ»е»-т~е ~еи»ээ!е»)+ и=\ Яо + — ф) (М) й»(М, Мо) йl(М). (12.46) к Отсюда можно перейти к более простой, но менее точной формуле вида (12.38). 652 12.
ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Пусть теперь требуется найти решение уравнения Пуассона вида (12.18) 11'1(М) Ч7 Т(М)+ =О, Мб У, (12.47) Л в трехмерной области У, состоящей иэ двух подобластеи У' и У", имеющих общую границу в виде кусочно гладкой поверхности Я* (рис. 12.9). В каждой иэ подобластей среду будем считать изотропной и однородной, имеющей постоянные, но различные коэффициенты теплопроводности Л = Л' и Л = Л" (далее одним и двумя штрихами отмечены величины, относящиеся к подобластям У' и У" соответственно). Это означает, что Я' является в данном случае поверхностью разрыва, причем сильнозо, если тепловой контакт между подобластями отличается в общем случае от идеального, т,е.
в соответствии с (2.65) Л'д'(Р) = о„(Т'(Р) — Т"(Р)) = -Лл'д'(Р), Р 6 Я, (12 48) где о„> Π— коэффициент контактной проводимости (см. 2.3), д'(Р) = ('7Т'(Р)) хь'(Р), г7п(Р) = (Т7Т"(Р)) в" (Р), Р б Я", хь'(Р) н хьн(Р) — единичные векторы внешней по отношению к соответствующим подобластям нормали к поверхности 5* в точке РЕ 5'. Напомним (см. пример 2.4), что при а„= О Рис. 12.9 1аЗ. Учет вниэотропии и неоднородности 653 участки поверхности 5' будут идеально теплоизолированными, т.е.
д'(Р) = ом(Р) = О, а при о„-+ оо тепловой контакт будет идеальным, т.е. Т'(Р) = Тв(Р), и соответствующие участки 5 составят поверхность слабого разрыва. Используя в каждой из подобластей фундаменгпальное реше- 1 ние уравнения Лапласа в Кз, имеющее вид в(М, Мо) = где г(М, Мо) — расстояние между точками М и Мо в К~, можно перейти к ГИУ вида (12.19) 1ммт1мв=ф'~г~ ~,м,~ оч ~, .П,ен Яу + 1к (М)и~(М Мо)г(Р(М), МЕЪ', РЕ5', МоЕ$~, (12.49) ~~м,~т1мо=~"~~д"оч ~Рм~-т"р~ ~ем.ц~иявн ям + 1у (М) ю(М1 Мо) Й~ (М), М Е Ъ', Р Е 5", Мо Е Ъ~, (12.50) км гдето = УО5', 5вси У О5', причем У и У' — участки внешней границы подобластей 1" и и'и соответственно, составляющие поверхность 5 = У 05", УГ1 У' = И (см.
рис. 12.9). Разобьем поверхности У, У' и 5" на №, №' и № граничных злементов соответственно с постоянными в пределах каждого ГЭ 5„значениями Т„и о„, и = 1, М, Х = №+М" +№, При переходе с использованием заданных на поверхности 5 граничных условий от ГИУ (12.49) и (12.50) к двум СЛАУ вида (12.29) общее' число неизвестных в каждой СЛАУ будет на № превышать число уравнений. Для объединения обеих СЛАУ в одну квадратную необходимо использовать условия (12,48) на поверхности 5', что даст недостающие 2№ уравнений.
После 654 ег, ввкдкник в мктод грлничных элкмкнтов решения квадратной СЛАУ относительно неизвестных значений Т„и д„можно вычислить значение температуры в любой точке Мо е У. Например, для точки Мо 6 Г получим Т~(Мо) — Е (М) п~(М, Мр) йl(М) + л Ъ'г — (д'„~ ~Р М ~~Б~Р) — 7 ~ '(РМ )ИЯР~). п=1 яи Отсюда можно перейти к более простой формуле вида (12.38). Ясно, что рассмотренную процедуру учета неоднородности области У можно испольэовать и в случае, если У состоит из более чем двух однородных подобластей с различными коэффициентами теплопроводности.
Однако в прикладных задачах коэффициент теплопроводности Л(М) может быть кусочно непрерывной функцией положения точки М Е У. Такая ситуация характерна, например, для нелинейной задачи теплопроводности в неоднородной области, когда коэффициент теплопроводности среды зависит от температуры и при решении задачи последовательными приближениями на очередной итерации может быть представлен кусочно непрерывной функцией Л(М), М Е У. В этом случае вместо (12.47) будем иметь уравнение Ч(Л(М)тЕТ(М)) + Е~~~1(М) = О, М б у. (12.51) Важно отметить, что функция ф1(М) в (12.51) при решении нелинейной задачи последовательными приближениями может отражать на очередной итерации зависимость объемной мощности внутренних источников энерговыделения не только от координат точки М Е У, но и от значений искомой функции Т(М) температуры. Применить МГЭ непосредственно к решению (12.51) не удается, так как для произвольной функции Л(М) неизвестно фундаментальное решение соответствующего однородного уравнения ~7(Л(М)~7Т(М)) = О.
Но при условии, что функция Л(М) 655 12.3. Учет аннэотропии и неоднородности имеет в области У кусочно непрерывные производные, (12.51) можно преобразовать, выделив в явном виде оператор Лапласа: Л(М)~7 Т(М)+ (Т7Л(М))Т7Т(М)+1~~ (М) = О, МЕ У. Отсюда, учитывая, что Л(М) > О, получаем х7 Т(М) + 1(М,Т) = О, М Е У, (12.52) где 7(М,Т) = ((Т7Л(М))х7Т(М)+7к (М)), М Е У. Отличие уравнения (12.52) от уравнения (12.18) состоит лишь в зависимости от температуры функции 7.
Эту зависимость при использовании МГЭ можно учесть последовательными приближениями. Пусть Т1~1(М), М б У, — распределение температуры, найденное на й-й итерации (при Й = О оно соответствует начальному приближению), а ~ь(М) = 7"(М, Т1~1(М)). Тогда для нахождения следующего, (й+ 1)-го приближения используем ГИУ вида (12.19) ы(Ме) Т "+'1(Мо) = — (91~+~1(Р) ю(Р, М ) — Т1~+~1(Р) тр'(Р, М )) йБ(Р) + + 7Б(м)ш(м,мо)иу(м), м,б у, Р е 5', мое у. (1253) Процедура перехода от уравнения (12.53) к СЛАУ вида (12.29) описана выше (см. 12.2).
Сходимость последовательных приближений проще всего контролировать по максимальному значению ~Т1"+'1(М) — Т1 1(М)~, М Е У. 656 12. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ 12.4.Нестационарные задачи Рассмотрим особенности использования иеоьода граничных элементов (МГЭ) для решения нестационарных задач на примере задачи нестационарной теплопроводности в однородной трехмерной области У, ограниченной кусочно гладкой поверхностью 5 (рис.
12.10). Пусть функция Т(1,М), описывающая изменение во времени 1 температуры среды в точке М е У = = У 'с) о, удовлетворяет уравнению вида (2.54) с ' = ХЧ~Т(1,М) +ф)(1,М), М б У, (12 54) дт(1,М) где с = сопаФ вЂ” объемная теплоемкость среды; Л = сопа1— коэффициент теплопроводности среды; ф — объемная мощность внутренних источников энерговыделения.
Кроме того, заданы начальное условие Т(О,М) = Т'(М) в момент времени 1 = О, принимаемый за начальный, и граничные условия Т(1,Р)=У,(1,Р), 1 еЯ СЯ; (12.55) Хд(1, Р) + )3(1, Р) Т(1, Р) = ~а(1, Р), Р е Я, = Я ~ Я*, на участках о' и Я„поверхности Я, где /1, /з и (3 — известные функции времени и положения точки Р на поверхности, а Рис. 12.10 657 С3.4.
Неотапионарнме задачи д(1, Р) = (ЧТ(с, М)) п(Р) — проекция градиента температуры на направление единичного вектора п(Р) внепсней нормали к поверхности о'. Однородному уравнению (12.54) (при 1к (1, М) = 0) во всех И) точках М Е 1ьз, кроме точки Мо Е К~, удовлетворяет при 1 > т функция (Х11] 8(яа(1 — т)) 4а(с т) / где а = Л/с, т(М,Мо) — расстояние между точками М и Мо, Эту функцию называют фундаменнсальным решением уравнения псеплоироводноспси в пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
