XIII Власова Б.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики (1081417), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Поэтому его можно дифференцировать по координатам точки Ме как по параметрам. Это позволяет вычислить'в любой точке Мо б У компоненты тензоров деформаций и напряжений. В более общем случае на участках Я„С Я поверхности 5 могут быть заданы проекции и(Р) вектора и перемещения, а на участках Яр — — Я ~ 5„— проекции р;(Р) вектора напряжения. В этом случае разбиение поверхности 5 на Хл ГЭ целесообразно провести так, чтобы каждый ГЭ целиком находился либо на участке Я„, либо на участке Яр. Тогда (12.84) можно привести к квадратной СЛАУ вида (12,29) с Зйл неизвестными значениями и;(Рв), Рв б Яр, и р;(Рв)1 Рв б зв, 1= 1 3, и = 1, М~.
Возможен и более сложный вариант задания граничных условий, когда на некоторых участках Я„р — — Я ~ (5„Бар) известны линейные комбинации указанных проекций. Тем не менее с учетом этих линейных комбинаций общее число неизвестных граничных значений составит ЗУл, причем формирование элементов матриц А и В' в СЛАУ вида (12.29) аналогично рассмотренному выше (см. 12.2). Если область У состоит из нескольких подобластей, в каждой из которых упругие свойства однородной среды различны, то матричные уравнения вида (12.84), составленные для каждой из однородных подобластей, можно объединить в одну СЛАУ при помощи условий, заданных на поверхностях контакта этих подобластей (см.
12.3). Для учета анизотропии 674 И. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕЧТОВ упругих свойств среды н ее неоднородности в области $' применимы те же приемы, что и при использовании метода конечных элементов для решения задач теплопроводности (см. 12.3). 12.6. Сравнение методов граничных н конечных элементов Метод ераиичиыя элементов (МГЭ) основан на использовании укундамеитпалъиыя решений линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами н поэтому в своем исходном виде применим к решению линейных задач в областях, содержащих однородные среды.
Если область состоит из нескольких смежных подобластей, содержащих однородные, но различные среды, то в рамках МГЭ несложно состыковать между собой решения для отдельных подобластей. Однако учет неоднородности среды и (илн) ее аниэотропии требует, как правило, применения процедуры последовательных приближений (см. 12.3). Аналогичная ситуация возникает н при использовании МГЭ для решения нелинейных задач. В методе коиечиыя элементов (МКЭ) учет неоднородности и аннэотропин среды не вызывает принципиальных трудностей. Однако в случае нелинейных задач при матричном представлении уравнений относительно уэловыя значений искомых функций элементы матриц зависят от этих значений, что также приводит к итерациям.
Ясно, что формулировка исходных задач в виде эраиичиыя ингаегралъных ураеиеиий (ГИУ) приводит к уменьшению размерности на единицу, т.е. для двумерных задач имеем одномерные ГИУ вдоль контура области, а для трехмерных— двумерные ГИУ по поверхности, ограничивающей область. Отметим, что некоторые осесимметричные задачи удается свести к одномерным ГИУ вдоль контура осевого сечения рассматриваемой области.
Поэтому последующее применение МГЭ для решения ГИУ позволяет обычно решать системы линейных 1л.о. Сравнение методов граничных и конечных элементов 675 алгебраических уравнений (СЛАУ) с матрицами меньшего порядка, чем при использовании МКЭ для решения той же задачи. Однако формируемые на основе МГЭ матрицы не содержат нулевых элементов (в случае разбиения области на однородные подобласти матрица является блочно-ленточной, причем отдельные блоки состоят только из ненулевых элементов). В противоположность этому матрица, сформированная на основе МКЭ, имеет большое число нулевых элементов. Оптимизируя нумерацию узлов КЭ, такую матрицу можно свести к ленточной с минимально возможной шириной ленты.
Это позволяет уменьшить затраты памяти ЭВМ и число арифметических операций при решении СЛАУ с ленточной матрицей. Кроме того, вычисление каждого элемента такой матрицы требует меньшего числа операций, чем для элемента матрицы при ее формировании на основе МГЭ, хотя при отсутствии в ГНУ интеграла по области объем вычислений также уменьшается. Оценки показывают, что при решении МГЭ трехмерных задач затраты машинного времени в четыре — десять раз меньше, чем при их решении МКЭ с той же точностью'. Выигрыш растет при решении задач, благоприятных для МГЭ.
Например, в случае неограниченной области подбором фундаментального решения можно автоматически удовлетворить условиям на бесконечности, тогда как в МКЭ зти условия придется удовлетворять приближенно введением большого числа удаленных КЭ. При наличии у области участка границы с заданным нулевым значением производной искомой функции в направлении внешней нормали (например, идеально теплоизолированный участок в задаче теплопроводности или свободная поверхность в задаче движения жидкости) также можно подобрать фундаментальное решение, которое автоматически удовлетворит такое граничное условие, что позволит не разбивать этот участок на граничные эделеенгны (ГЭ). 'См., например. Беиердиеи П., Баттерфилд Р.
б7б и. Вввдвнив в мвтод грлннчных элвмвнтов В МГЭ погрешности связаны лишь с аппроксимацией границы при помощи ГЭ и приближенном представлении на границе искомых и заданных функций, тогда как ГИУ является точной формулировкой искомого решения во всей области. В МКЭ же возникают дополнительные погрешности при представлении искомого решения во всей области. Если при решении задачи представляет интерес не все поле в области, а лишь его фрагменты или же единственное значение искомой функции в какой-либо характерной точке области, то МГЭ позволяет получить эту информацию с более высокой точностью и прн меньшем объеме вычислений.
Проведенное сравнение показывает, что ни МКЭ, ни МГЭ не имеют абсолютного преимущества при решении широкого класса задач, но существуют типы задач, для которых применение одного иэ этих методов предпочтительнее. В некоторых случаях удобным может оказаться одновременное применение этих методов, когда в части области вводят сетку КЗ, а решение в остальной части представляют в виде ГИУ с последующим применением МГЭ.
Возможно комбинировать МГЭ и с другими численными методами'. Дополнение 12.1.Особенности решения осесимметричных задач Рассмотрим область У, полученную вращением вокруг осн Охэ плоской области Г 1не обязательно односвязной), ограниченной кусочно гладкой границей Г, образующей прн вращении кусочно гладкую поверхность 5 (рис. 12.11). Введем цилиндрическую систему координат р, у, г, начало которой совпадает с началом декартовой прямоугольной системы координат Ох1хэхэ, а ось Оя направлена по оси вращения Охэ. В граничном интегральном уравнении (ГИУ) (12.19) для функции и(М), удовлетворяющей в области Ъ' уравнению Пуас- 'См., иаиример: Бреббил К., Тел.аее Ж., Врвубааа Л.
Д.И.1. Осооеииосеи решеиии осесиииегричиьгх эадач 677 Рис. 12.11 сока (12.18), перейдем к цилиндрическим координатам, положив (Р) = р(Р) (Р) а(Р), ИУ(М) = р(М) <йр(М) с7р(М) с1х(М) = р(М) байр(М) ЙР(М). Тогда вместо (12.17) получим ~с(Мо) и(Мо) = =$$~д~е~ ~Рьц- ~~~ ЧеиДр~еие~еиие~+ г о ъ + ДМ) ю(М,Мо) р(М) Иу(М) Н (М) (12 89) р о МЕУ,МебУ,РЕЯ. Пусть в осесимметричной области У требуется найти решение уравнения Пуассона (12.18) с граничными условиями (12.20), причем функции ДМ) в (12.18) и Л(Р), Ь(Р), ЩР) не эависят от угловой координаты у.
Прн атом (12.18) можно 678 1«. ВВЕДЕНИЕ В МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ представить в виде 1 д ( ди(М)~) дои(М) р др~, др / дхх а (12.20) заменить на (12.15). Ясно, что в атом случае искомая функция и(М) и ее производные по р и по х также не будут зависеть от ~р.
Тогда из (12.89) следует ГИУ (и |,~мо =/~д~щр,м~-,(ек (ему),р ~игр ~+ г + ~(М~ЦМ,Мо)р(М)йР(М), МЕР, МоЕР, РЕГ, (12.91) где ~(М,Мо) = и1(М',Мо)4>(М), М,МоЕ Р> М'ЕГ; (12 92) о ~'(Р,Мо)= и1'(Р',Мо)Ну(Р'), МоЕГ', РЕГ, Р'ЕЯ. (12.93) о Для вычисления интегралов в зтих равенствах расстояние г(М',Мо) между точками Мо Е Р и М' Е $~, входящее в Фунда- 1 ментпальное решение ш(М',Мо) =, уравнения Лапласа г(М',Мо) в пространстве, представим в цилиндрических координатах (рис. 12.12): г~(М',Мо) = р~(М)+р (Мо)— -2р(М)р~(Мо) сов(~р(М') — ~р(Мо))+ («(М) - «( Мо)), (12 94) Тогда, принимая в (12.94) 1о(Мо) = 0 и учитывая, что дш(Р', Мо) 1 дг(Р, Мо) ш (Р',Мо)— Д.12.1.
Особеююсти решение осесимметричиьга задач 679 Рис. 12.12 где п(Р~) обозначает направление единичного вектора п(Р) внешней нормали к поверхности Я в точке Р' 6 Я, из (12.92) получаем' йр(М') 4К(й) С(М,Мо)=~' (М,М)- (ММ), М,Мо6Р, о а из (12.93) находим 1ь~г,мз зеР"~ д (Р) ° (Р М.) о р(Р)р(Р Мо) 1 — йз дп(Р) 4 «(Р) — «(Мо) д«(Р) + з(РМ ) йз Е(й)д (Р)' Рб Г> Мо 6 г', где К(й) и Е(й) — полные эллипгпическис инпьегралм первого и втпорого рода соответственно К(й) =, Е(й) = 1 — йзапзу<йр а 1-Й . о 'См:.
Эаркеан В.С., 1985. ббб и. ввкдкник в мктод грлничных элкмкнтов с модулем й = 'м(М,Мо) = 4р(М)р(Мо)!рз(М,Мо) и Р(М,Мо) = (р(М) + р(Мо)) + (л(М) — л(Мо)) Разбиению поверхности 5 на Ж кольцевых граничные эле,ментов (ГЭ) Я„, и = 1, Х, соответствует разбиение контура Г также на М участков, которые аналогичны ГЭ при решении,иетиодан ерамичммя элементов (МГЭ) двумерной задачи. Поэтому эти ГЭ будем обозначать не Я„, а Г„.
Если теперь искомую функцию н ее производную по направлению нормали аппроксимировать в пределах каждого ГЭ их постоянными значениями, т.е. положить и(Р) и и(Р„) = и„и ЯР) = ('7и(Р)) тз(Р) ид(Р„) = = д„, где ЄŠÄ— узел в середине ГЭ Г„, то ГИУ (12,91) перейдет в матричное уравнение вида (12.23), в котором элементами матриц У и Я размера Ф х 1 являются значения и„и о„, элементами матрицы В размера Х х 1 — значения 6~ = ~(М) ~(М, Р ) р(М) йР(М), т = 1, И, элементами квадратной матрицы Н порядка Ф вЂ” значения Ь „= ЯР,Р )р(Р)й'(Р), тфм, г. и Ь„,, вычисленные по формуле (12.26), а злементамн матрицы С порядка М вЂ” значения д „= Г(Р,Р ) р(Р))Г(Р).
Интеграл в выражении для элемента а,„являетсн несобственным, так как при сближении точек Р, Р,„б Г модуль й-+1 н К(й) ~оо. При ( (Р) — ( '-))'+ ( (Р) — (Р-))' и(РР )— 2р(Р)р(Р ) Длгл. Особенности рмнениа осесимметричнмх задач 681 можно приближенно принять' 1п — ' у(РР ) Зг Тогда для прямолинейного ГЭ Г длиной 1 (т.е. для кольцевого ГЭ Я с прямолинейной образующей) несобственный интеграл можно вычислить аналитически: Г(Р,Р )р(Р) 1Г(Р) = г гст 1п ((Рт + Ьт) (Рт Ьт) ) зуг зр 256р ! ((р +Ь )3/г1п(р +Ь„) — (р — Ь )зуг1п(р„ — Ь )) + + 4гс р ((р + Ь )~~~ — (р — Ь )~~~), (12.95) где 2 7с~о = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
