X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Функция И;(л) д + Лепп~(н Н зависящая от параметров Л Е К и ц Е Ж, имеет мнимую часть Рис. 11.15 1щИ'(з) = — + Ле" *7 н1п Юа .. и. Р Н Н которая при любых значениях Л и и принимает на границах 1щя = О и 1щг = Н полосы постоянные значения Ф1 = О и Ф2 = = Я. Однако скорость жидкости д~р(л) + салаг(н Н Н зависит от выбора значений Л и и. Покажем, что единственность комплексного потенциала для полосы можно обеспечить, дополнительно потребовав, чтобы скорость в бесконечно удаленной точке была ограниченной. Пусть аналитические функции И"~ (л) и И'з(г) в полосе О < 1т г < < Н, представляющей канал, удовлетворяют всем условиям: их мнимые части постоянны на кривых 1щл = О и 1щл = Н, ограничивающих канал, а соответствующие векторные поля е1(г) и ез(г) ограничены в 1З и имеют одинаковое значение потока Я. Тогда аналитическая функция И~(з) = И'1(я) — И"з(л) 479 11.4.
Течение жидкости в каналах Ю = ЙдК) Я (11.42) Пример 11.6. Область в комплексной плоскости (~), изображенную на рис. 11.16, можно рассматривать как водоем достаточно больших размеров с подведенным к нему каналом шириной 26. Глубину водоема и канала примем равными единице. Пусть по каналу в водоем поступает жидкость с объемным расходом 2Я ) О, т.е. в единицу времени через канал проходит объем жидкости, равный 2Я. Изучение плоского векторного поля скорости при истечении жидкости из канала в водоем (или описывает векторное поле, которое ограничено в Р, имеет нулевое значение потока, а мнимая часть Ф(г) = 1шИ'(г) этой функции обращается в нуль на прямых 1шг = О и 1шх = Н. Дополнительное условие означает, что функция И" (х) ограничена в рассматриваемой полосе. Так как 1шИ'(з) = сопв$ на прямых 1шх = О и 1шх = Н, то 1шИ" (г) = О на этих прямых.
Стало быть, гармоническая функция 1шИ"(л) ограничена в рассматриваемой полосе, а на ее границе обращается в нуль. Поэтому 1шИ" (х) = О всюду в полосе, а функция И'(г), имеющая нулевую мнимую часть, постоянна в полосе: И" (г) = а Е К, О < 1шх < Н. По производной восстанавливаем комплексный потенциал, опуская несущественную в данном случае постоянную интегрирования: И'(х) = аг, О < 1шх < Н.
Но тогда функция тока имеет вид Ф(г) =1шИс(г) = од, где у =1шх. Если на прямой 1шг = О принять Ф(х) = Ф~ = О, то на прямой 1шх = Н получим Ф(х) = Фэ = Я = аН, т.е. а = Я(Н. Таким образом, комплексный потенциал течения в данной полосе имеет вид И'(х) = Я(Н) х и определен однозначно. В общем случае области Р в плоскости (~), ограниченной кривыми у~ и уч, комплексный потенциал можно построить следующим образом. Пусть х = д(~) — конформное отображение области Р на полосу О < 1шх < Н. Тогда комплексный потенциал течения жидкости в канале Р имеет вид 480 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ при вытекании ее из водоема) представляет определенный интерес для различных приложений и может быть проведено при помощи комплексного потенциала вида (11.42).
ю~ — — — 1 пф(~) Я Рис. 11.16 Отметим, что в силу симметрии области Р~ относительно действительной оси 1ш~ = 0 течение в канале и водоеме достаточно рассматривать лишь в области Р, расположенной в верхней полуплоскости 1т~ > 0 и представляющей собой внутренность неограниченного треугольника А1Аз~А~з (см. рис. 11.16). При этом через канал, образованный прямыми А' А' и А' А~з, в водоем будет поступать жидкость с расходом Я > О, а действительная ось 1ш~ = 0 как граница области Р станет одной из линий тока.
Если считать эту линию нулевой, т.е. принять на ней для функции тока значение Ф' = О, то на линии тока, соответствующей границе А1А~А~з области Р, будем иметь Ф' = — Я при истечении жидкости из канала в водоем (при вытекании жидкости из водоема на этой линии тока Ф1 — — Я > О, поскольку жидкость вытекает из области, для которой любая кривая с начальной точкой на действительной оси 1ш = ~ = 0 и конечной на прямой А' А~ будет частью границы, обходимой в положительном направлении). 481 11.4. Течение жидкости в каналах Чтобы построить функцию, которая конформно отображает область Р на полосу 0 < 1ш г < Н шириной Н, воспользуемся функцией 246 /(х) = — (~й — 1 — агс16 ~/я — 1) (11.43) из примера 10.39.
Ветвь этой лгногозначной функции конформно отображает верхнюю полуплоскость 1шг > 0 на внутренность неограниченного треугольника А1А2Аз в плоскости (и) (см. рис. 10.66). Этот треугольник параллельным переносом на расстояние и вдоль положительного направления мнимой оси можно совместить с неограниченным треугольником Аг~Аз~А~з (см. рис. 11.16). Следовательно, ветвь многозначной функции 2й /г (х) = — (~й — 1 — агс16 ~/х — 1) + гй (11.44) конформно и взаимно однозначно отображает верхнюю полуплоскость 1шх > 0 на область Р в верхней полуплоскости 1шг, > О.
При этом прообразами точек А', А~2 и А~э будут точки т1 = О, к2 = 1 и яз = со соответственно. Требуемую ветвь многозначной функции (11.43) можно определить из условия, что функция принимает мнимые значения 1у, у > О, если аргумент з пробегает часть действительной оси правее точки х = 1. Тому же условию должен быть подчинен и выбор ветви функции (11.44). Функция х = г)г(г,), обратная к выбранной ветви функции (11.44), осуществляет конформное отображение области Р на верхнюю полуплоскость 1шг > О. Эту функцию не удается представить в явном виде. Согласно рис.
10.54, ветвь многозначной функции пгг = 1 пг отображает верхнюю полуплоскость на полосу 0 < 1шгнг < я, причем юг = я1/2 при г =1. Значит, функция гв2 = (Н/я)гвг = (Н/я) Ьпа отображает верхнюю полуплоскость на полосу 0 < 1шпг < Н шириной Н. При этом положительная и отрицательная полуоси действительной оси 1шг = 0 перейдут в действительную ось 1пиог = 0 и в прямую 1шгвз = Н соответственно. 482 ИЬ ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ Суперпозиция отображений Н Н Н ю7 = — юГ = — 1 па = — Ьпф(~) = д(Г,) 7Г 7Г 7Г (11.45) И'(ю) = — д(Г",) = — — Ьпф(~) = — ЬпФ(~). Я ЯН Н Н я 7Г На рис.
11.17 представлены линии ~~1 тока Ф(г) = сопя1 со стрелками, указывающими направление движения жидкости при ее поступлении в водоем. :,+...:,."ОО-:: ""- ';::::. 4 Из (11.44) следует, что ГГ(1) = = оо. Это означает,что для обратной функции г = Ф(~) в точке Г, = = 75, соответствующей точке г = 1, конформность отображения наруРис. 11.17 шепа, поскольку Ф'(75) = О. как следствие, из точки Г„ = 75 выходят несколько линий равного потенциала, а скорость жидкости в окрестности этой точки конформно отображает рассматриваемую область В в полу- плоскости 1шГ', на полосу О < 1шю7 < Н (см. рис.
11.16). Нетрудно проследить, что действительной оси 1ш ~ = О, принятой в качестве нулевой линии тока со значением функции тока Ф' = = О, при этом отображении соответствует прямая 1шю7 = Н, а линии тока со значением Фз~ — — — Я (при истечении жидкости из канала в водоем) — действительная ось 1шюз = О. Сравнивая условия течения в полосе О < 1шю7 < Н и в полосе, изображенной на рис.
11.15, приходим к выводу, что эти условия идентичны, поскольку Ф~7 — Ф~з —— Π— ( — С7) = Я = = Ф7 — Фь Поэтому, используя (11.42) и учитывая (11.45), для комплексного потенциала, описывающего течение в области В, получаем 11.5. Задачи различного физического содержания 483 не ограничена по модулю. В действительности в силу вязкости реальной жидкости и образования вихрей при обтекании углов скорость будет ограничена, но достаточно велика, что приводит к размыванию устья канала (или входа в канал, если жидкость вытекает из водоема) и скруглению углов*. 11.5. Задачи различного физического содержания Пример 11.7. Электростатическое поле внутри плоского конденсатора вдали от его краев можно считать однородным с постоянным по значению модулем Ео = ~Е(е) ~ = ЬЪ'/(26) вектора напряженности ЕЯ, где 11'ьг — разность потенциалов на пластинах конденсатора, 26 — расстояние между пластинами [ХП].
Напомним (см. 10.1), что вектор напряженности электростатического поля связан с потенциальной функцией Ф(я) плоского векторного поля в комплексной пяоскоспт (е) соотношением вида (11.1) (11.46) Е(л) = 8гадФ(г) = — ягас1Ф(г), где Ф(л) = — Ф(г) — электрический потенциал поля. Однако однородность электростатического поля около краев пластин нарушается. Рассмотрим зто поле около одного края пластин, пренебрегая влиянием другого края.
Тогда задачу можно свести к нахождению поля во внешности двух лучей 1ше = ж6, Все < О (рис. 11.18). Каждый из лучей является следом пластины конденсатора в комплексной плоскости (л), перпендикулярной ее краю, и благодаря хорошей проводимости пластины будет линией равноео попьенпииаа Ф(е) = сопв$. В силу симметрии действительная ось 1ше = О также будет ливией равного потенциала, причем если для указанных лучей соответственно положить Ф(г) = Ы' (2$' = ЬР'), считая электрический 'О приближенных приемах расчетов скругленил углов многоугольников при конформном отображении см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
