X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 66
Текст из файла (страница 66)
в Петербурге швейцарским математиком и механиком, академиком Петербургской академии наук Даниилом Бернулли (1700 — 1782) и отражает закон сохранения энергии при течении идеальной (невязкой) жидкости. Пренебрегая изменением давления, вызванным изменением высоты частиц жидкости, запишем р=А †-У. Р 2 2 (11.26) 471 11.3. Обтекаиие цилиидричеекого тела Поскольку сила давления жидкости, действующая на элемент Из контура Ь цилиндра, направлена внутрь его по нормали к контуру, то с учетом (11.26), двигаясь по Е против часовой стрелки, для равнодействующей сил со стороны потока жидкости получаем е= 7 ра= ~1' (А — -у 1~.=- — у>е'а, (~~ло р г~ тр -л 2 ) 2 1~ так как интеграл по замкнутому контуру от постоянной 1А равен нулю.
Для окружности, заданной уравнением з = Ве'"', имеем ~Ь = 1Векв сйр = В(т' сов ~р — вшу) скр и Ъ' = )о,(з) ! = )о, (Веси) ), так что, используя (11.24) и (11.27), находим Р = — — ~6~(2)! О2 = 2 .7 с = — — ~ ~ — — 2К, япу~ Щ1соыр — яп22)йр= 2 / ~2иВ о 1р ГГ.г = — — 2К вЂ” ~ яп уды = — тркееГ, (11.28) О поскольку 2к Г зш ~рйр = и о | з1п ~ряр= яп усоз~рйр = О о 2л 2к 2к зш~рсоз~рфо = яп~рйр = соз~рс6р = О. 472 п.
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ Таким образом, сила, действующая со стороны потока на цилиндр единичной длины, по отношению к направлению скорости Р' жидкости в бесконечно удаленной точке повернута на угол х/2 в сторону, противоположную направлению движения жидкости в вихре, т.е. при Г ) 0 — по часовой стрелке, а при Г (0 — против часовой стрелки. При Г = 0 имеем Р = О. Отметим, что во всех случаях проекция силы Р на направление скорости Р;о равна нулю, т.е. при обтекании потоком идеальной (невязкой) жидкости гидравлическое сопротивление цилиндра равно нулю, что составляет существо парадокса, обнаруженного французским математиком и механиком Ж.
Даламбером (1717-1783). При вычислении интеграла в правой части (11.27) можно учесть, что вектор скорости потока в точках контура Ь направлен по касательной к этому контуру, что с учетом связи векторного поля с дифференциалом дает и(г) = Р'есл = И"(г), где Р = аг8~Ь. Отсюда И = И" (я) е '", так что вместо (11.27) получаем Р= — — (й"~4) е ж~йя= — — (11~(И~'(я)) Кг, (11.29) 2 Т Ь Б поскольку е м~сЬ = е ™Щеел = Ж. Переходя в (11.29) к комплексно сопряженным величинам, запишем Р=''Р ~К(И '( ))'1.
2 7 ь Эта формула установлена в 1910 г. русским механиком и математиком С.А. Чаплыгиным (1869 — 1942) и носит его имя. Из представления (11.17) вытекает лорановское разложение производной И"(г) комплексного потенциала: 2 Г с г (11.31) 2х,.з зз 473 11.3. Обтекание цилиндрического тела С помощью этого разложения легко определить вычет функции (И~'(г)) в бесконечно удаленной точке, равный 4Го /х.
Зная этот вычет, из (11.30) находим Р = яр Вев (И" (к)) = гро, Г. После перехода в этом равенстве к комплексно сопряженным величинам получим формулу Жуееовсноео (11.32) Р= — 1ро Г, установленную Н.Е. Жуковским в 1904 г. В частном случае при о, = $" > 0 из (11.32) следует (11.28). Комплексный потенциал для внешности Р контура Х можно ввести, построив функцию Дг), отображаюшую область Р на внешность окружности ф = 1 так, что Дсо) = со. Тогда конформное отображение области Р на внешность отрезка, реализуемое комплексным потенциалом, можно представить в виде композиции функции Дк), функции Жуковского и, возможно, линейного отображения.
Если функция 1(к) удовлетворяет условию ~'(оо) = 1, то комбинация функции Жуковского и линейного отображения представляет собой комплексный потенциал (11.22) обтекания кругового цилиндра. В этом случае комплексный потенциал для области Р можно записать следующим образом: Л2 Г Иг(з) = $гоо(Дг)+ — ) + — 1пДк), (11.33) у (к) 2л.в где 1г > 0 — скорость потока в бесконечно удаленной точке, а à — циркуляция векторного поля по контуру, охватывающему контур Ь.
Если в бесконечно удаленной точке скорость жидкости направлена под углом ст к действительной оси, то, принимая во внимание (11.21), комплексный потенциал можно записать в виде Пг Иг(г) = Ъ; е '~~(г) + Иоое'и — + — 1пДк). (11.34) Дг) 2хг 474 11.
ПРИКЛАДКЫЕ ЗАДА ЧИ Пример 11.5. В примере 10.24 установлено, что функция Жуковского г = (1С+ 1/~)/2 отображает окружность Х„ охватывающую точку т = — 1 и проходящую через точку т = 1, на контур Х, относящийся к семейству профилей Жуковского (рис. 11.13). Этот контур имеет точку г = 1 возврата (заострения) и затупление в окрестности точки г = — 1. й (й у г -1 0 Х.-'(Х+„-') 1 х ОК Рис. 11.13 Чтобы для изучения обтекания профиля Жуковского использовать комплексный потенциал (11.34), необходимо предварительно построить функцию /1г), конформно отображающую внешность контура Х на внешность окружности ф = В при условиях /(оо) = со и /'(со) = 1.
Если радиус окружности Х„равен А, и ее центр находится в точке тв, то линейное отображение г = (Х вЂ” 1О)В/А, преобразует внешность Х, во внешность окружности ф = В (см. рис. 11.13). Функция т = = 1О + гА„/Х1 осуществляет обратное отображение, а функция 1 яг д(г) = — ) Х1„г+ К1о+ 1) (11.35) Хс*г+ Х1ХО ' отображает внешность окружности ф = В на внешность кон- тура Х,. П.З.
Обтекавие циливдричеекого тела Функция /(г) = (з — Хо+ ч/гг — 1) В/В„обратная к функции д(г), многозначна, но допускает выделение ветвей во внешности отрезка [ — 1,1) действительной оси. Следует выбрать такую ветвь этой функции, которая бы в бесконечно удаленной точке обращалась в бесконечность. Кроме того, функция /(я) должна удовлетворять условию /'(оо) = 1, т.е. /'(г)~ = =(1+ ) =2 — =1.
Отсюда находим В = А„/2, и в итоге (11.36) Подставляя найденную функцию /(г) в представление (11.34), получаем комплексный потенциал Г г — ХО+ 1/г — 1 +, 1п, (11.37) 2х1 описывающий обтекание контура Х потоком с заданной скоростью $' етв жидкости в бесконечно удаленной точке я = со и с некоторым значением Г циркуляции вдоль Х.
Дифференцированием найденного комплексного потенциала находим $' е оУ вЂ” Г/(л1) 2 (а Хо+'/ г — 1)г~ ~/гг 1 Чтобы производная И"(г), а значит, и скорость жидкости вблизи острой кромки крыла, т.е. в окрестности точки а = = 1, были ограничены по модулю, необходимо потребовать, 476 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ г' егай2 Г=яй' ~ ° -(1-Хо)ега 1 — Хо (11.39) На рис. 11.13 видно, что 1 — Хс = Й,е 'б. Поэтому с помощью формул Эйлера равенство (11.39) можно записать следующим образом: Еба 2 Г=яг1г ( ' — Й,е гбега) =хг1г Й,(едб+ ~ — е Цб+ 1) = ~Й,е 'б = — 2я1'„В, в1п(Б+ гг).
(11.40) Ясно, что Г < 0 при 0 < Б+ о < я. В итоге комплексный потенциал (11.37) можно представить в виде б." ) 1г Й бг1 е-гб 11«+ / з И'(я)- 2 + д ега Й,е 'б — 1+я+~/яз — 1 +2гв1п(б+гг) 1п(Й,е 'б — 1+я+ ~/Р— 1). (11.41) чтобы при я = 1 равнялось нулю выражение в квадратных скобках в представлении (11.38). Нарушение этого требования с мшганической точки зрения означает, что точка я* схода потока, которой на окружности ф = В соответствует точка г = = Веб, не совпадает с точкой г = 1. Однако в действительности под влиянием вязкости жидкости и вихреобразования точка схода потока совпадает с точкой заострения профиля, т.е. г* = = 1, что равносильно ограниченности скорости вблизи острой кромки крыла.
Условие г' = 1 при обтекании профиля Жуковского было предложено С.А. Чаплыгиным. Оно позволяет из равенства нулю при я = 1 выражения в квадратных скобках в (11.38) найти значение циркуляции: 477 П.4. Течение жидкости в канвдая Для нахождения силы действия потока жидкости на крыло, соответствующее профилю Жуковского, подставим (11.40) в (11.32) и получим Р = — 1рК етаГ = 2крИ Й,ед У + ) в1п(б + ст). Таким образом, сила Р, называемая подьелтной силой крыла, перпендикулярна направлению скорости жидкости в бесконечно удаленной точке и при Г ( 0 повернута относительно этого направления против часовой стрелки.
11.4. Течение жидкости в каналах Под каналом в комплексной пяоскостпи (х) будем понимать областпь Р, ограниченную кривыми ут и ух, пересекающимися лишь в бесконечно удаленной тпочке х = оо (рис. 11.14). Плоское вектпорное поле скорости в таком канале описывает течение жидкости между двумя непроницаемыми цилиндрическими У тч 00 поверхностпями, образующие ко- .й,.:: - <~ торых перпендикулярны плоско-, хт у о сти (х), а направляющими явля- о ются кривые ут и уз.
Ясно, что зти кривые будут лин ями тпока, Рис. 11.14 так что мнимая часть комплексного потенциала Ит(х) течения в таком канале должна быть постоянной на каждой из этих кривых, т.е. 1шИ~(х) = Ф(х) = 2 Предположим, что в области Р отсутствуют истпочники и вихри. Тогда потпок с4 вектпорного поля через любую кривую у с произвольными начальной хт Е 'ут и конечной гз Е у2 тпочками бУДет постоЯнным, пРичем с4 = Фх — Фт. ПРи выбоРе тут — — 0 получим Ф2 = с4'. Отметим, что для жидкости, вытекающей 478 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ из области, для которой кривая 7 является участком границы, поток имеет положительное значение: Я > О (см.
рис. 11.14). Усховие постоЯнства Ф(л) на кРивых У~ и 71, а также известное значение потока жидкости Я не являются достаточными для однозначного определения комплексного потенциала течения в канале. В самом деле, рассмотрим в качестве канала полосу О < 1тг < Н, в которой течение имеет заданное значение потока Я > О (рис. 11.15).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
