X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Функция И'(г) имеет в точке 2 = со устранимую особую точку, а потому ограничена в Р. Мнимая часть 1ш И" (г) этой функции также ограничена в Р и является в Р гармонической функцией. Согласно замечанию 9.5, она достигает своих наибольшего и наименьшего значений на контуре Х,. Но по условию теоремы 1шИ'(я) постоянна на 1,. Значит, максимальное и минимальное значения 1шИ" (з) в Р совпадают и 1ш И'(г) = сопв1, г Е Р. Аналитическая функция И'(з), имеющая в Р постоянную мнимую часть, сама является постоянной функцией (см.
4.9). Но это и значит, что комплексные потенциалы И'1(з) и И'2(з) различаются лишь постоянным слагаемым и задают одно и то же векторное поле. 465 П.З. Обтекание цилиндрического тела В случае безциркуляционного обтекания цилиндрического тела Г = О, и такое обтекание однозначно определяется скоростью и потока жидкости в бесконечно удаленной точке. Комплексный потенциал Иг(з) безциркуляционного обтекания есть аналитическая (и однозначная) функция в области Р, являющейся внешностью контура Е. Отметим, что, согласно представлению (11.17), точка е = со является простым полюсом функции И'(з). На границе области Р— контуре Х вЂ” функция И'(з) имеет значения с постоянной мнимой частью, так как А по условию является линией тока векторного поля. Но точно такими же свойствами обладает функция, осуществляющая конформное отображение области Р на внешность отрезка, лежащего на прямой, параллельной действительной оси.
Значит, и И'(з) в силу единственности комплексного потенциала для задачи обтекания цилиндрического тела осуществляет конформное отображение области Р на внешность горизонтального отрезка, причем Иг(оо) = со. В качестве второго условия можно взять аг6Ич(оо) = — агяо,о, т.е. направление скорости потока в бесконечно удаленной точке. Величина ~е ~ определяется длиной горизонтального отрезка, во внешность которого отображается область Р. Полагая, что 1шИг(з) = О на контуре Ь (для этого достаточно к И~(г) прибавить некоторую константу), можем считать, что И'(з) отображает область Р на внешность отрезка действительной оси, причем, добавляя к комплексному потенциалу действительное слагаемое, можем переместить отрезок так, что он будет симметричным относительно начала координат.
Пример 11.4. Рассмотрим поперечное обтекание кругового цилиндра радиуса В потоком идеальной несжимаемой жидкости, имеющей вдали от цилиндра скорость К„, ) О. Такое обтекание описывается векторным полем, определенным во внешности окружности радиуса В, центр которой можно совместить с началом координат. Таким образом, контур Ь есть окружность ф = В, а область Р задается неравенством 466 11.
ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ [г~ ) В. Комплексный потенциал рассматриваемого векторного поля отображает внешность окружности ь на внешность отрезка ~[ — т, т[. Из 10.5 известно, что функция и = [~+ 1/~)/2 Жуковского отображает внешность окружности ф = 1 на внешность отрезка [ — 1,1] действительной оси [см. рис. 10,33). Линейным ощобразеением ~ = г/Л переведем внешность окружности [г[ = = В во внешность окружности [1,[ = 1. Тогда суперпозиция отображений [11.18) конформно отобразит область Х) на внешность отрезка [ — 1, Ц действительной оси. Следовательно, искомый комплексный потенциал должен иметь вид Итв [а) = ты Я.
Козффициент т Е К определяется условием Ита[со) = 1' . Вычислив т 1 1е 0[ ) 2(Д 2)~ найдем И"[оо) = т[[2В) = 1т~е, откуда т = 2В1т . Итак, ком- плексный потенциал рассматриваемого векторного поля имеет вид В2 ИО[)=Ъ (+ —,) [11.19) Так как векторное поле ОО[а) и его комплексный потенциал Ио[г) связаны соотношением оо[г) = Ита[г), для скорости жидкости получаем д2 ЕО[г) )вы (1:2) ' [11.20) Точки г = — В и г = В, в которых в данном случае скорость жидкости равна нулю, называют точками разветпвленнл и схода потока соответственно, объединяя их общим названием кршпнческие тночки потпока. В первой из них линия тока разветвляется на две: одна обходит окружность [г[ = Н 467 11.3. Обтеиаиие иилиидричееиого гела сверху, а другая — снизу.
Во второй точке разветвленная линия тока соединяется. Из (11.20) следует, что в точках г = ~гВ скорость жидкости достигает наибольшего по модулю значения на контуре Е, равного 2К . Полагая я = Ре'~, из представления (11.19) с учетом формулы Эйлера находим д2 И'е(ре'~) = $',е(ре'~+ — е ел) = Р дз д2, = К„,(Р+ — ~сову+гК (Р— — )в1п~р. Р/ Р Следовательно, потенциальная функция (или погпенциаа скоростей) и функция шока в полярных координатах имеют следующий вид: д2 йз Ф(р,р) =К (р+ — )сов~р, Ф(р,р) =У, (р — — )впир.
Линии тока со стрелками, указывающими направление течения, и штриховые ливии раеносо потпепципла рассматриваемого плоского векторного поля изображены на рис. 11.9. Рис. 11.9 Отметим, что если в бесконечно удаленной точке я = оо скорость жидкости направлена под углом о к действительной 468 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ оси, т.е. е = ее(оо) = Ъ;„,е'~, то картину течения жидкости (см. рис. 11.9) следует повернуть на этот угол против часовой стрелки. Тогда прямолинейная часть нулевой линии тока вне окружности ~х~ = В тоже будет составлять с действительной осью 1шх = О угол а.
Этот поворот осуществляется линейным отображением х = е'"х~. Суперпозиция линейного отображения с функцией Ие(х) даст комплексный потенциал И<,(х), удовлетворяющий поставленному условию: Нх Нх И' (х) =1' е ' х+Р' е' — =еь,х+е —. (11.21) х Для построения комплексного потенциала циркуляционного обтекания тела с циркуляцией Г > О поместим в точку г = = О вихрь интенсивности Г. Линии тока создаваемого таким вихрем векторного поля будут окружностями (см.
пример 5.12), в том числе одна из линий тока совпадет с окружностью ~г~ = В. Если к комплексному потенциалу И'е(х) добавить комплексный потенциал (5.58) этого вихря, опустив постоянные слагаемые, то в итоге получим Гх~ Г И~~(х) = К,ь (х+ ) +, 1пх.
х 2зъ' (11.22) Ясно, что для течения жидкости, описываемого комплексным потенциалом И~.(х), окружность ~х~ = В является частью линии тока, как и для комплексного потенциала И'е(х). Поэтому этот потенциал описывает циркуляционное обтекание цилиндрического тела со значением циркуляции Г. Дополнительное слагаемое усложняет структуру потока.
Скорость этого потока находим по известному комплексному потенциалу: Г е,(х) = И",(х) = Рьь(1 — — ) —, . (11,23) е,(В) = Р' (1 — еж~) + = ге'"'( — 2К„е1пу), На поверхности цилиндра, полагая х = Ве'"', с помощью формул Эйлера получаем 11лт Обтекание цилиндрического тела причем модуль скорости на поверхности цилиндра равен ~е,(В)~ = ~ — — 2Ъ'св1пу~. Г (11.24) Из представления (11.23) следует, что критические точки рассматриваемого потока (т.е. точки, в которых скорость потока нулевая) удовлетворяют квадратному уравнению Я 2 Г гл — В =О, 2хК Следовательно, критическими точками являются ~Г ~ т ~ наЯ4 $'~л — 1'~ 4я$~со ~4яК„/ 4хК, Если ~Г~ = 4з.Ъ' В, то обе критические точки совпадают, причем «ц2 =1В.
Линии тока для этого случая изображены на Рис. 11.10. В слУчае ~Г~ ) 4Я$т,оВ обе кРитические точки также чисто мнимые, причем из условия 2~22 = — В следует, 2 что (г~! < В < (22), т.е. только точка 22 лежит вне окружности ~я! = В (рис. 11.11). Рис. 11.11 Рис. 11.10 Наконец, при ~Г~ < 4я$оеВ критические точки различны, причем (21 ) = )я2! = В, т.е.
эти точки лежат на окружности )г! = = В (рис. 11.12). Аргулаеятпы ~р~ и ~р2 критических точек можно 470 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ найти, используя представление (11.24), которое приводит к уравнению à — — 2У зш«Р= О. 2яг1 Рис. 11.12 Отсюда имеем з1п«Р = Г/(4яУ В), или Г, Г «Рг = агсзш, Рз = я — агсяш . (11.25) я Л «ц» Ясно, что при Г = 0 критические точки занимают положение на действительной оси («Рг = 0 и «Р2 = я, см. рис.
11.9). Найдем силу действия потока жидкости на обтекаемый цилиндр. Известно, что давление р жидкости вдоль линии тока в установившемся безвихревом потоке связано с модулем У вектора ее скорости уравнением Бернулли р+ — У2+ рдп = А = сопв1, 2 где р — плотность жидкости, д — ускорение свободного падения, Ь вЂ” высота, отсчитываемая от некоторого условного уровня. Это уравнение опубликовано в 1738 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
