X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Пример 11.3. Комплексный потенциал вида (5.58) описывает плоское магнитное поле, создаваемое тонким проводником, перпендикулярным плоскости (х), по которому течет постоянный электрический ток силой 1. При этом в (5.58) интенсивность вихря Г = 1, а функции 1(х) = Иг'(г) соответствует вектор Н(х) напряженности магнитного поля.
Линии равного потенциала и силовые линии такого поля представлены на рис. 5.19. Пусть этот проводник находится во внешнем однородном магнитном поле напряженностью Нв, описываемом комплексным потенциалом И'в(х) = Ног. Тогда в силу аддитивности комплексного потеннииав, учитывая (5.58), получаем комплексный потенциал 1 И'(я) = Нвх+ — 1пг, 2к1 (11.9) описывающий взаимодействие внешнего поля и поля проводни- ка. Дифференцированием (11.9) найдем напряженность резуль- тирующего поля 1 Н(х) = Иг'(х) = Нд+ 1 —.
2кХ В точке хв = 11)(2кНв) напряженность этого поля обращается в нуль. Уравнение семейства силовых линий следует из условия постоянства значений узункнии тока этого потенциала: Ф(х) = 1шИг(х) = Нву — — 1пф = Нву — — 1п(х +у ) = й, г 2к 4к 15 — 2054 где и = сопя~. Отсюда можно выразить х как явную функцию переменного у: 4п(пео-ау ~ ух (11.10) 458 Пс ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ Точка яе является для проходящей через нее силовой линии гло иной саиопересечеиия (рис. 11.3). Часть этой силовой линии образует контур, не проницаемый для внешнего магнитного поля и охватывающий некоторую область Р*, пересекаемую проводником с током.
Подставляя в (11.10) значения х = Ве ге = = 0 и р = 1гп ее = 1/(2яНе), находим значение константы /с = — (1 — 1п — ) 1 2я 2иНо для этой силовой линии. ф Рис. 11.3 Рассмотрим магнитное поле, создаваемое двумя параллельными тонкими проводниками с постоянным током, перпендикулярными плоскости (я) и пересекающими ее в точках л = хгЬ. Примем, что сила тока в каждом проводнике равна Х и токи одинаково направлены. Используя аддитивность комплексного потенциала вида (5.58), получаем Вг(я) = —,1п(г — 1Ь)+ —,1п(з+гЬ) = — 1п(г +Ь ). (11.11) 2з1 2я1 2яг Уравнение семейства силовых линий этого поля можно получить из условия постоянства значений функции тока Фг(я) =1шИ"г(х) = — — 1п)г +Ь ) = — — 1п~(е — гЬ)(г+1Ь)~, 2 2 2я 2я П.л.
Испольаоваиие иавествого иомплепсиого потевциала 459 , . ~*'-;-р'~=,йрр$:ь~ /Рр7ррл)'- ~. э р ство задает семество плоских кривых (рис. 11.4), называемых овалами Кассини. Каждую из таких кривых можно определить как множество точек, произведение расстояний которых до ее фокусов в точках я = ~г6 постоянно.
Одна из силовых линий имеет точку самопересечения а = О и представляет собой лемнискапру Бернулли. В этой точке напряженность магнитного поля равна нулю: Рис. 11.4 Рис. 11.а Пусть теперь токи, текущие по проводникам, одинаковы по силе, но противоположно направлены. Тогда, считая, что точке и = †соответствует ток силой 1 ) О, комплексный потенциал плоского магнитного поля, создаваемого такими проводниками, можем записать в виде 1 .
1 . 1 г+гЬ И'"з(г) = —, 1п(а+ г6) — —, 1п(а — 56) = —, 1п, . (11.12) 2яг' 2яг 2яе' г — гй 15' 460 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ Из условия брг = 1шИ'2(2) = сопзФ получаем, что силовые линии будут окружностями 2+ („+ 6)2 '+ (р — 6)2 или / 6(бе+1) 1 46Е 62 х + р— (Ь 1)г ' 1 2+26 И~,(2) = Нез+ — 1п 2п2' 2 — 16 (11.13) Дифференцируя (11.13), находим напряженность результирую- щего поля 16 0 2 62 ( ) .( — 2+ Ьг) ' Е бб б У *= ббббД Н~)Ьб. В случае Х = хНеЬ такая точка единственна и совпадает с началом координат 2 = О. Качественная картина силовых линий для этого случая показана на рис.
11.6. При 1 ( яНеЬ таких точек две и лежат они на мнимой оси Кея = 0 (рис. 11.7). Если 1 = О, то из (11.14) следует, что магнитное поле всюду однородно и совпадает с внешнем магнитным полем. При Центры этих окружностей расположены на мнимой оси Вяз = 0 (рис. 11.5). Силовая линия, соответствующая значению Ье = = 1, совпадает с действительной осью 1шя = О.
Напряженность этого поля всюду отлична от нуля. Рассмотрим взаимодействие магнитного поля таких проводников, образующих двухпроводную линию, перпендикулярную плоскости (2), с внешним однородным магнитным полем напряженностью Нд. Для результирующего поля комплексный потенциал с учетом (11.12) примет вид 11.2.
Испоаьэоаание нанесеного комплексного потенпиала 461 Рис. 11.Т Рис. 11.6 1 ( О, т.е. при смене направления тока в проводниках, точки с нулевым значением напряженности оказываются за пределами отрезка мнимой оси, соединяющего точки г = ~гб. При этом характер расположения силовых линий близок к случаю взаимодействия одиночного проводника с внешним магнитным полем (см. рис. 11.3). При 1 ) пНзп точек с нулевым значением напряженности также две, но они лежат на действительной оси 1шг = О (рис.
11.8, а), причем с увеличением силы тока 1 эти точки удаляются от начала координат (рис. 11.8,б). Через эти точки проходит силовая линия, сопадающая с действительной осью и образующая контур, не пронипаемый для внешнего магнитного поля и охватывающий некоторую область Р, которую пересека- Рис. 11.о 462 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ ют проводники с током.
Найдем уравнение этого контура, для чего выделим мнимую часть комплексного потенциала (11.13): 1 ~ г+ 46! Х х2+ (у+ й)2 Ф (г) = 1ш И', (2) = Нву — — !и ~, ~ = Нву — — 1п 2~ ~ — 16! 4 х2+ (у — 6)2 Подставляя значение у = О в уравнение Нву — — 1п = сопв2 = кв (11.15) у .2+( +ь)2 4я х2+ (у — 6)2 силовой линии, образующей контур, устанавливаем, что Йв = = О. В итоге для контура (и всей силовой линии) получаем уравнение, явно разрешенное относительно х2: ( + ь)2 ( 1Ь)2 4яНьу(1 Е4вНья11 11.3. Обтекание цилиндрического тела Пусть область Р комплексной плоскости (г), являющаяся внешностью простого замкнутого контура Х, занята идеальной (невязкой) несжимаемой жидкостью.
Плоское векторное поле скорости жидкости имеет комплексньлй потенциал И'(2). Если контур Ь совпадает с какой-либо линией тока 1шИ'(г) = = Ф(г) = сопв4 (или ее частью), т.е. скорость жидкости в точках г Е Ь направлена по касательной к Ь, то говорят, что жидкость обтекает неподвижное цилиндрическое тело. Это тело ограничено цилиндрической поверхностью с направляющей Ь и образующей перпендикулярной плоскости (х). К такой схеме можно свести и случай прямолинейного движения цилиндрического тела в неподвижной жидкости, если вектор — и его скорости лежит в плоскости (г). Тогда зто тело также можно считать неподвижным и обтекаемым жидкостью, имеющей в бесконечно удаленной точке скорость и„Е С, соответствующую вектору и, причем И~'(со) = и,„,.
463 П.З. Обтекииие цилиидрического теле Комплексный потенциал И'(г) является аналитической функцией, определенной в окрестности я = оо, причем для И'(г) точка з = оо является устранимой особой точкой. Поэтому лораповскае разложение функции И" (г) имеет вид И' (з) = атее+:+:+.. С 1 С 2 22 (11.16) Согласно теореме 8.3, используя (5.55), можно записать 2ягс 1= И~'(г)еЬ = Г+гЯ, где Г и Я вЂ” циркуляция и поток еекторпозо полл вдоль любого простого замкнутого контура Х,м охватывающего контур Х. Но так как контур Х является линией тока (или ее частью), а в области Р отсутствуют пспчочпики, то Я = О. Тогда из (11.16) следует, что комплексный потенциал в окрестности бесконечно удаленной точки можно представить рядом Г с 2 И" (з) = веет+ со+ —, 1пг —:+...
(11.17) 2хг Это представление имеет место в любой точке я области Р, не содержащей точки г = О. Под решением задачи обтекания жидкостью цилиндрического тела, соответствующего в плоскости (2) контуру Х,, понимают нахождение во внешности контура Х комплексного потенциала И'(з) плоского векторного поля скорости жидкости, если заданы скорость ее, в бесконечно удаленной точке и значение циркуляции Г вдоль любого контура, охватывающего Х, а на контуре Х, выполняется условие 1шИ'(г) = 1я(г) = сопзФ. Комплексный потенциал может быть найден с точностью до постоянного слагаемого, не влияющего на поле вектора скорости при обтекании цилиндрического тела. Обтекание цилиндрического тела называют безциркуляционным, если Г = О, и циркуляционным, если Г „-~ О.
464 П. ИРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ Покажем, что задача обтекания цилиндрического тела имеет единственное решение, если заданы циркуляция Г векторного поля скоростей жидкости вдоль контура, охватывающего тело, и скорость потока жидкости в бесконечно удаленной точке. Другими словами, поставленными условиями комплексный потенциал плоского векторного поля определяется с точностью до постоянного слагаемого. Предположим, что два комплексных потенциала И'1(я) и И'2(г) удовлетворяют поставленным условиям. Тогда, согласно (11.17), в области Р как в окрестности бесконечно удаленной точки имеем П) И"1(2) =е 2+Се + —,1пг — — +..., ,и г с, 2я1 г (2) И'2(г) =е ог+Се + 1пг — — +... г с 2я1 Поэтому разность этих потенциалов П) (2) И'(г) = И'1(г) — И~2(я) = Са~ ) — Се1 ) — 2 2 + .. будет аналитической функцией в Р (как разность двух аналитических функций).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
