X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Благодаря связи обратных тригонометрических функций с логарифмической функцией их можно изучать, рассматривая как суперпозиции логарифмической, дробно-линейной функций и функции, обратной к функции Жуковского. Так, из примера 10.26 следует, что образом полосы — я/4 < Вел < я/4 при отображении ш = ляг является единичный круг |(л~ < 1. Поэто- 10.7. Однозначные ветви многозначных обратных фунннвй 421 юг4ьпг1 и=- — гю игги)=лг гг г=Егггг", ю (г)=злг т С +Д2 3 ДО)=г и = -гга г ю=-гл, 1(0) =- гггг4ьгггд гггг(-г)=0 ю= — опг юг(-г)=2лг Рнс.
10.55 му обратное отображение единичного круга ф < 1 на полосу — я/4Вепг < я/4 можно записать кратко в виде пг(з) = Агс13ж 14 — Ю54 Пример 10.33. Используя принцип симметрии, отобразим на внешность единичной окружности (пг~ = 1 плоскость (а) с разрезами по отрезку ( — 1, Ц действительной оси 1ша = 0 и по отрезку мнимой оси Вез = О, соединяющему точки з = ~4' (так называемую внешность креста, рис. 10.56).
Рассмотрим сначала верхнюю половину 1)) области В, лежащую в верхней полуплоскости 1ша ) О. Согласно примеру 10.29, ветвь многозначной функции г, (а) = ~54 + 1, определяемая условием г",((1/2) = 1), отображает Р) на полуплоскость 1шг", ) О. 422 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Я+1+ / "--Т /2 ,~~ Гз ~Г2 т ю=ю1+.~~,-1 ю(2) = 2+# Я2.~. 1 ~(аЛ)=1 Ю ,Г2 Рис. 10.56 — — ~2 ю(г) = ю1 + ~/ю~ — 1 = + ~( — — 1 = ~/2 2 ~/ '+1 ли+1 ~/г2+1+ ~/е22-1 /- + Нужная ветвь этой многозначной функции определяется усло- вием ю(1~/2) = 1(1+ ~/3)/~/2. При этом отображении точки г = ~1 перейдут в точки ~ = = ~~/2. Поэтому, согласно принципу симметрии, эта ветвь отобразит область Р на всю плоскость (~) с разрезом по отрезку ( — ~/2, ~/2) действительной оси 1ш~ = 0 (см.
рис. 10.56). Линейное отображение ю1 = ~/~/2 сократит этот разрез до отрезка (-1,1) действительной оси. Наконец, ветвь функции ю(ю1) = ю1 + „/ю21 — 1, обратной к фрикции Жуковского, определяемая условием ю(2) = 2 + ~/3, отобразит плоскость (ю1) с таким разрезом на внешность единичной окружности ~ю~ = 1 (см.
рис. 10.50). Искомым отображением является суперпозиция перечисленных отображений: 10.7. Однозначные ветви многозначных оератнык функций 423 Пример 10.34. Отобразим плоскость (») с разрезами по отрицательной части мнимой оси и по нижней половине единичной окружности ]»] = 1 (рис. 10.57) на внешность единичной окружности ]и] = 1. Рис. 10.57 Применим дробно-линейное отображение, переводящее и единичную окружность ]»] = 1, и мнимую ось Ве» = 0 в прямые. Для этого потребуем, чтобы точка» = — 1 переходила в точку ~ = О, а точка» =1 пересечения этой оси и этой окружности переходила в точку ~ = оо. Такое отображение имеет вид Д») = = а(» + а)/(» — 1).
Коэффициент а найдем из условия ДО) = -1 и в итоге получим ~ = (»+ г)/(» — 1). При таком отображении точки» = ~1 перейдут в точки ~ = ~г, а точка» = оо — в точку ~ = 1, т.е. разрез по отрицательной части мнимой оси Ве» = 0 перейдет в разрез по отрезку ( — 1, 1] действительной оси 1ш~ = = О, а разрез по отрезку [ — 1, 1] действительной оси 1т» = 0— в разрез по отрезку мнимой оси Ве~ = О, соединяющему точки ~ = Ы (см.
рис. 10.57). Далее, следуя примеру 10.33, находим, что искомым отображением будет Нужную однозначную ветвь этой функции определяет условие ш(31) = (~Л+ ~ГЗ)/~Г2. 424 1а НОИФОРмные ОтОБРАжения Дополнение 10.1. Отображение полуплоскости на внутренность прямоугольника Функция 0<й<1, (1040) является многозначной, но допускает выделение ветви в любой односвязной области, не содержащей точек е = х1, е = ~1/1с. Такой областью является верхняя полуплоскость 1щз > О. Выбор одной из двух ветвей функции определим условием /(О) = 1 и за этой ветвью сохраним обозначение /(г). Рассмотрим комплексный интеграл г 1(е) = о 0 < Й < 1.
(10.41) Будем предполагать, что верхний предел этого интеграла есть комплексное число е, лежащее в верхней полуплоскости, путь интегрирования, соединяющий точки 0 и з, также лежит в верхней полуплоскости. Рассматриваемый интеграл представляет собой эллиптический интеграл первоео рода с модулем л. Так как функция 1(г) является аналитической во всех точках действительной оси, кроме точек ~1, ~1/Й, функция 1(я) также аналитична во всех точках действительной оси, кроме указанных четырех точек (см. 5.3). В этих точках функция /(г) не ограничена, а функция 1(е) непрерывна в силу сходимости соответствующего несобственноео интеерала.
Таким образом, функция 1(е) аналитична в верхней полуплоскости П = (е е С: 1ш г > О) и непрерывна в Р. Оказывается, что функция 1(е) однолистна в верхней полуплоскости. Чтобы убедиться в этом, достаточно в силу принципа соответствия зраниц выяснить, как преобразуется граница области П вЂ” действительная ось.
Д.10.1. Отображение полуплоокоети на прямоугольник 425 Если точка э = х движется по действительной оси от точки х = 0 до точки г = 1, то интеграл х г(х) = 0 как определенный интеграл от неотрицательной функции с переменным верхним пределом, будет возрастать от значения 0 при х = 0 до значения 1 г (1) = О при х = 1, которое называют полным эллиптпичеспим ипгпегралом первоео рода и обозначают К(й). Итак, образом отрезка [О, 1] действительной оси при отображении Е(г) является отрезок [О, К(й)] действительной оси.
При Нег б (1, 1/Й) подкоренное выражение в представлении (10.40) функции )'(х) отрицательно, а функция 1(г) принимает мнимые значения, которые могут располагаться или на верхней (положительной) части мнимой оси, или на нижней (отрицательной) части мнимой оси. Чтобы выяснить, какой из этих вариантов имеет место, рассмотрим изменение подынтегрэльной функции по верхней полуокружности Г с центром в точке а = 1, соединяющей точки 1 — т и 1+с. Для этого достаточно вычислить изменение аргумента подкоренного выражения в (10.40).
Так как подкоренное выражение содержит четыре сомножителя, то приращение аргумента равно сумме приращений аргумента для каждого из сомножителей. Но нетрудно увидеть, что для трех сомножителей приращение аргумента равно нулю. Например, ЬгАгя(1+ х) можно вычислить как приращение аргумента при движении точки з из положения 1 — т в положение 1 + г вдоль действительной оси, а при таком движении Агя(1 + з) имеет постоянное нулевое движение.
Таким образом, решающую роль играет сомножитель 1 — г, 426 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ обращающийся в нуль в точке х = 1. Для этого сомножителя с учетом записи уравнения полуокружности Г в виде г = 1+ ге'4', р Е [О, я], имеем ~0 ЬгАгк(1 — э) = Агб(1 — (1+геев) ! = — и. Значит, приращение аргумента для всего подкоренного выражения равно — и и в качестве значений корня в знаменателе представления (10.40) следует брать те, которые имеют аргумент — я/2, т.е. на отрицательной части мнимой оси.
Поэтому на интервале (1, 1/Й) функция /(г) принимает мнимые значения на положительной части мнимой оси, что можно выразить формулой х Е (1, 1/Й), (10.42) где радикал обозначает арифметическое значение корня действительного числа. Согласно (10.42), имеем х 1(х) = о = К(Й)+г 1 х Е (1, 1/Й), (10.43) где несобственный интеграл в правой части сходится в точке х = 1/Й [У11, так как 1 Й 1 *-«1,«ь 2(1 — Йз) /1/Й вЂ” х Поэтому при изменении аргумента от х = 1 до х = 1/Й значения функции 1(х) изменяются от действительного числа К(Й) вдоль д.10д. Отображение полуплоекоети иа пряиоутолъиик 427 вертикальной прямой Вез = К(й) до числа с мнимой частью = К(й'), где й' = ~/1 — Й2 — дополнитпельный модуль зллиптичесного интпеерала, и преобразование интеграла получено заб .р..
=ПА — бй. и, р бр 1(г) отрезок [1, 1/Й] действительной оси переходит в вертикальный отрезок, соединяющий точки К(й) и К(й)+гК(й'). При этом 1(1/й) = о = К(й) + б К(й'). (10.44) Как и вьппе, можно убедиться, что при переходе точки я из положения г = 1/Й вЂ” т в положение з = 1/Й+ т по полуокружности с центром в точке г = 1/Й аргумент подынтегральной функции /(г) возрастет еще на и/2 благодаря сомножителю 1 — йз под корнем в знаменателе правой части (10.40).
Поэтому значения функции 1(з) при действительных значениях х = х Е (1/Й, +со) являются действительными отрицательными, и мы можем записать 1 х Е (1/Й, +ос), (10.45) У(х) =— где радикал обозначает арифметическое значение квадратного корня. Согласно (10.44),имеем 1(*) = о х = К(й) +1К(й')— 11Я х > 1/й. (10.46) 428 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Несобственный интеграл сходится в точке +со, так как с-~сс вяз ' Используя замену х = 1/(И) (сЬ = — о1/(Из) ) и учитывал, что 1 — 1 О+ 0 при я -+ +ос и 1-+ 1 — 0 при х -+ 1/Й + О, находим ( — 1)з — с 1 Д1 — за!-~й~ ) | = К(я).
1/ь О Из представления (10.46) заключаем, что образом промежутка [1/к, +со) действительной оси при отображении 1(з) является отрезок, соединяющий точки К(к) + гК(й') и гК(1с'). Итак, луч агбя = 0 при отображении и = 1(я) переходит в трехзвенную ломаную с прямыми углами в вершинах и = К(1с) и ю = К(я) +1К(к') (рис.
10.58). Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что луч аг8 г = и, т.е. отрицательная часть действительной оси, при отображении ю = 1(г) перейдет также в трехзвенную ломаную с прямыми углами в вершинах ш = = — К(й) и и = — К(л) + гК(й'), симметричную полученной относительно мнимой оси. В итоге образом действительной оси 1шг = 0 при отображении (10.41) будет прямоугольник (см. рис. 10.58). и>= 11001 Рис. 10.58 дна2. Ивтегрлл Кристоффеля — П3еаряа Если точка г пробегает всю действительную ось 1шг = = 0 слева направо, последовательно обходя точки — 1/Й, -1, 1, 1/й, то верхняя полуплоскость будет оставаться слева.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
