X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 56
Текст из файла (страница 56)
2~ х+1у 2 х2+у2 Рис. 10.38 Отсюда для образа окружности ~г+ с(~ = 1+ 4, уравнение которой можно записать в виде (х+ Н) + у2 = (1+ с()2, или у= ~ (1+24+х)(1 — х), находим х2+у2 = 1+211(1 — х). Поэтому х( 1 1 1+(1 — х)1( =-(1+ 1 =х х2+ у2) 1+ 2(1 х)с1 (10.24) у(11( и = — (1— 2 ~ х2+ у2) 1+ 2(1 — х)д Кроме того, точка к = 1 переходит в точку и = 1, а точка г = — (1+ 2д) — в точку и1 = — (а+ 1/а)/2, где а = 1+ 2с( (см. рис.
10.38). Полученный образ окружности является симметричным относительно действительной оси 1пио = О. Его иногда называют рулем 1Куковского. Он принадлежит к семейству профилеб Жуиовскоео, получаемых при помощи отображения (10.16) (см. пример 10.24). 400 НЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Переход из плоскости (х) в плоскость (и) при отображении (10.16) можно осуществить в три этапа. Иэ (10.16) находим хз+1 2х (» 1)г хз+1+2з (я+1)з и 1 — —, я+1= 2х 2х 2г 2г Отсюда получаем щ — 1 ~х — 1~г (10.25) Это дает возможность представить функцию Жуковского как композицию трех функций ш1 = ~з, и = .
(10.26) а+1' 1 — ы1 Смысл замены одного отображения (10.16) тремя отображени- ями (10.26) состоит в том, что каждое из последовательных отображений проще, чем (10.16), и уже было изучено ранее. Пример 10.24. Используем представление (10.26), чтобы найти образ окружности Ь, проходящей через точки х = х1 так, что касательная к Ь в точке х = 1 составляет с положительным направлением действительной оси 1шх = 0 угол о, 0 ( а < х/2 (рис. 10.39). Напомним, что для функции Жуковского /(х), согласно (10.17), /'(1) = О, т.е.
в точке ю = 1, соответствующей точке х = 1, нарушена конформность отображения (10.16). Можно показать, что ю = 1 является точкой возерата (заостренна) замкнутого контура, очерчивающего руль Жуковского, т.е. касательные в точке и = 1 к дугам этого контура, сходящимся к этой точке, горизонтальны. Действительно, если рассматривать (10.24) как параметрические соотношения, задающие функцию и(и) при помощи параметра х, то нетрудно установить, что и -+ 1 при х — > 1. При этом производная сЬ/с(и = = (пе/пх)/(сЬ/пх) стремится к нулю. Длина | профиля равна расстоянию между точками ы = 1 и щ = — (а+ 1/а)/2 (образами точек х = — (1+24) и я = 1), т.е. 1= 2(1+4)~/(1+20). ф 401 10.о.
Функция Жуковского Рис. 19.99 Дробно-линейное отображенне, осуществляемое первой из функций (10.26), переводит А в прямую Ь*, проходящую через точку ( = 0 под углом гг к действительной оси 1ш~ = 0 (см. пример 10.13). Функция юг = ~з переводит прямую Ь* в луч агяю1 = 2гг, проходимый точкой ю~ дважды в противоположных направлениях при движении точки ~ вдоль Т*. Функция, обратная к третьей функции в (10.26), отображает на этот луч дугу у окружности, проходящую через точки ю = ~1 так, что касательная в точке ю = 1 составляет с положительным направлением действительной оси 1гпю = 0 угол 2сг ( я. Поэтому функция ю = (1+ ю1)/(1 — юг) отображает луч агяю1 = 2гг на дугу у. Следовательно, дуга у и будет искомым образом окружности Ь.
Отметим, что .у является образом каждой нз дуг окружности А с концами в точках г = ~1. Так как ДО) = — 1, первое из отображений (10.26) переводит внешность окружности Ь в полуплоскость 1ш~ > (16гг) Ве~ (выделена на рис. 10.39), при втором отображении получаем плоскость (ю1 ) с разрезом по лучу агя юг = 2гг, а при третьем— плоскость (ю) с разрезом по дуге у. Таким образом, функция Жуковского конформно отображает внешность окружности Ь на плоскость с разрезом по дуге у. Рассмотрим теперь окружность Хг с центром в точке 01, имеющую с А общую касательную в точке к = 1 и охватывающую точку к = — 1 (см. рис. 10.39).
Так как Ьг лежит во 402 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 10.6. Тригонометрические и гиперболические функции При изучении отображений, осуществляемых гиперболическими и тригонометрическими функциями, используем ранее изученные отображения. Так, функцию сЬг = (е'+ е ')/2 можно рассматривать как суперпозицию двух функций: показательной и функции Жуковского: сЬг = — (~+ — ), ~ = е'.
(10.27) Функцию санг =сЦ вЂ” 1г) (10.28) внешности окружности Ь и имеет с ней общую точку г = 1, то при отображении, осуществляемом функцией Жуковского, Ь1 перейдет в плоскости (ш) в некоторый замкнутый контур Хм охватывающий дугу у и имеющий с ней общую точку ю = = 1. В этой точке будет нарушена конформность отображения, поскольку в ней, согласно (10.17), производная функции Жуковского равна нулю. Последовательность трех отображений (10.26) позволяет установить, что касательные в точке ш = = 1 к дугам контура Х,1, сходящимся к этой точке, совпадут с касательной к дуге у, т.е. также составят угол 2о с положительным направлением действительной оси 1шю = О.
Итак, для контура Х1 точка ю = 1 является точкой возврата (заострения). Напомним, что таким же свойством обладает и точка ю = 1 симметричного относительно действительной оси 1пио = = 0 профиля на рис. 10.38, для которого а = к/2. При изменении угла а и радиуса окружности 11 можно получить в плоскости (и) семейство профилей, являющихся образами этой окружности и называемыми профилями Жуковского. )0.6. Тригонометрические и гиперболические функции 403 можно представить как суперпозицию отображений ~ = — 2я (поворот вокруг точки з = 0 на угол — х/2) и чо = сЬ ~. Функция (10.29) айпг = соя(л — и/2) является суперпозицией отображении ~ = з — и/2 (сдвиг) и и = = сов ~. Отображение ю = с8 л можно представить суперпозици- ей трех отображений: ЧО 1 Е21л ш — — г' — — 1 .
— (8 ж (10.30) ,„„+ 1 е21л + 1 ~ = 222, ш1 = е(, Рассмотрим на примерах свойства отображений, осуществляе- мых перечисленными функциями. Пример 10.25. Функция и = сЬг отображает полуполосу В = (я е С 0 < 1шл < я, Вел > 01 на верхнюю полуплоскость 1ш и > 0 (рис. 10.40). В самом деле, учитывая (10.27), отображением ~ = е* переводим эту полуполосу в полуплоскость 1ш~ > 0 с выброшенным полукругом Ц < 1, 1ш~ > 0 (см. пример 10.20), а затем с помощью функции Жуковского получаем полуплоскость 1пии > 0 (см.
пример 10.22). (1о) (е) 2) Ф>= оп 2 (1) ю= -(л+-) Рнс. 10 40 Полуполоса В1 = (я Е С: — и < Вез < О, 1шг > 0) отображается функцией ~ = — (з, т.е. поворотом на угол — и/2, на полуполосу Р. Поэтому суперпозиция функций ~ = — (л и чо = сЬ ~, или, согласно (10.28), функция чо = сЬ~ = сЬ( — чя) = сов я отобразит полуполосу Р1 на ту же полуплоскость 1пио > О.
404 Нь КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Нолуплоскость 1шы > 0 при отображении и = з1пя будет образом полуполосы Рз = (я Н С: — я/2 < Вся < х/2, 1ш» > 0). В самом деле, используя равенство (10.29), получаем ш = з1пя = = сов(я — и/2) = сов~, так что функция ~ = я — х/2 на первом зтапе сдвигом вдоль действительной оси на -и/2 отобразит полуполосу Р2 на Рм а затем уже функция ю = сов ~ отобразит полуполосу Р~ на полуплоскость 1пио > О. Пример 10.26.
Найдем образ полосы — я/4 < Вел < т/4 при отображении и = 1я я. Учитывая (10.30), рассмотрим сначала отображение ~ = 21я, которое поворачивает зту полосу на угол я/2 и удваивает ее ширину (рис. 10.41). Затем с помощью отображения яа~ = е4 получаем правую полуплоскосгь Веш~ > 0 (см. пример 10.20). Наконец, дробно-линейное отображение и = — г' (иЛ вЂ” 1)/(яами+1) преобразует эту полуплоскость в единичный круг (см.
пример 10.9). ю=1яя Рис. 10.41 Пример 10.27. Отобразим на верхнюю полуплоскость область Р = (я Е С (я — Ц > 1, ~я — 2~ < 2, 1ш з < 0), т.е. нижнюю половину луночка, ограниченной окружностями ~г — Ц = 1 и )я — 2~ = 2 (рис. 10.42). Отображение ~ = 1/я можно рассматривать как частный случай дробно-линейного. При зтом точке г = 0 отвечает бесконечно удаленная точка ~ = оо, а точкам з~ = 2 и яз =4— 1а7. Однозначные ветви многозначных обратных функций 405 У Гх) О 2'':,4 и ю = соа ~"'-=-М ~ ) ю=еоаюг~ 1(2 4 Рис. 10.42 точки ~1 = 1/2 и г",2 = 1/4 соответственно, т.е. отрезок [2,4[ действительной оси 1т2 = 0 перейдет в отрезок [1/4, 1/2] действительной оси 1шг, = О, а дуги окружностей — в прямые.
В силу конформности отображения (' = 1/2 прямые углы между участками границы области Р в точках 21 — — 2 и 22 = 4 будут сохранены. Поэтому область Р перейдет в полуполосу 1/4 < Ве(' < 1/2, юг, > О. Эту полуполосу при помощи линейной Функции ю1 = 4х(г, — 1/2) сдвинем вдоль действительной оси влево на расстояние 1/2 и увеличим ее ширину в 4х раз. В результате получим полуполосу — и < Веюг < О, 1шю1 > О, образом которой при отображении ю = сояю1 является верхняя полуплоскость ею > 0 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
