X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Следовательно, образом окружности ф = 2 является прямая, составляющая с действительной осью угол к/4, а образом луночки — неограниченный сектор между двумя лучами (см. рис. 10.25). Отображением 4о1 = е"'~ переведем этот сектор в стандартное положение в плоскости (4о1) и затем используем целую степенную функцию 4о = 4о4.
В итоге получим искомое отображение 10.4. Показательная функция Показательном ~ункиил 4о(е) = е' = е*+'" = е*(сову+ г е(пу) (10.15) комплексноео переменноео я = я+4у является аналитической во всей комплексной плоскости (г) (см. 4.6). Так как 4(4о/сЬ = = е* ~ О, я Е С, то отображение, осуществляемое показательной 10.4.
Показательная функция 387 функцией, будет нонформным во всей комплексной плоскости. Функция (10.15) сохраняет все свойства показательной функции действительного переменного (см. 3.3) и является периодической с периодом Т = 2к1. Равенство е*' = е" равносильно равенству е" "= 1, откуда хг — лз = 2ггйг', й Е У,. Это указывает на то, что во всей плоскости (г) фунниил е' не является однолистной. Более того, эта функция не будет однолистной в любой области, содержащей вместе с точкой аг точку вида лз = = аг + 2кю'. Напротив, в полосе Р = (з б С: уо < 1шх < ус + 2зг), уо Е В, функция иг = е' однолистна и, следовательно, конформно отображает эту полосу на некоторую область Р* плоскости (го). Отметим, что ~е*~ = е*, Ке(е') = е*сову, 1гп(е') = е*в1пу.
Одно из значений аргумента е' есть у, и, следовательно, ага(е') = = у+2йк, й Е Ж. Рассмотрим отображение функцией го = е' прямых Нег = = ко, 1шх = уо на плоскость (иг). Из соотношений (10.15) следует, что прямая 1пы = уе переходит в луч агяиг = уо. Прямая Вел = ке при отображении иг = е' перейдет в окружность (е~ = е*', так как (ел) = еве'. Но при этом отображение на этой прямой не будет взаимно однозначным, так как точки зг и аз, удовлетворяющие соотношению кг — аз = 2в1й, й б У,, имеют один и тот же образ. Это говорит о том, что функция е' является однолистной в тех областях комплексной плоскости (г), которые не содержат вертикальных отрезков длины 2ц или более. Примером такой области является полоса Р = = 1к Е С а < 1шл < Ь), 0 < Ь вЂ” а < 2гг.
Ясно, что любой отрезок прямой х = хо, лежащий в этой полосе, перейдет в дугу окружности (иг~ = еле, а < агяго < Ь (рис. 10.26). Рис. 10.26 гз. 388 Нх КОНЭОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Приведем некоторые примеры конформного отображения областей, осуществляемого функцией и = е'. Пример 10.20. Полосу 0 <?шз < 2я функция ю = е' конформно отображает на всю плоскость (и) с разрезом по лучу ах8 ю = 0 (рис. 10.27).
В самом деле, действительная ось 1ш г = 0 переходит, как уже было отмечено, в положительную полуось действительной оси (луч ах8ю = 0). При движении точки г вдоль верхней части 1ш г = 2х границы полосы в положительном направлении (т.е. справа налево) ее образ проходит положительную часть действительной оси от бесконечно удаленной точки до точки и = О. При движении точки по нижней части Вел = 0 границы полосы ее образ проходит положительную часть действительной оси, но уже от точки ю = 0 до точки ю = оо. 00 ю=с' х Рис.
10.27 Итак, при движении точки з по границе полосы Р ее образ точка ю проходит положительную полуось дважды в противоположных направлениях. Поэтому образом полосы Р при отображении ю = е' является плоскость с разрезом вдоль положительной части действительной оси. При этом верхней части границы полосы соответствует нижний берег разреза, а нижней части — верхний берег разреза. В силу своей периодичности (период равен Т = 2иг) показательная функция отображает на плоскость с разрезом по действительной положительной полуоси каждую из полос 2хк < 1шз = у < 2я(Й+ 1), Й Е х.. И в этом случае нижней части границы полосы, т.е. прямой д = 2яй, соответствует верхний берег разреза, а верхней части границы — нижний берег разреза (см.
рис. 10.27). 389 10.4. Покаэательиаа функции Так как прямые 1шя = 0 и 1шг = я при отображении гц = е' переходят в лучи агбш = 0 и агбгц = я, то полосу 0 < 1шз < я функция пг = е' отображает на полуплоскость 1гп и > О, причем нижней части границы этой полосы в плоскости (и) соответствует положительная полуось действительной оси, а верхней части границы — отрицательная полуось (рис.
10.28, а). Рис. 10.28 При отображении и = е' прямая 1шя = у = я/2 переходит в луч агбгл = я/2 прямая 1шг = р = — я/2 — в луч агбпг = — я/2. Вместе эти лучи составляют мнимую ось Нею = О. Так как действительная ось 1шя = 0 переходит при отображении пг = е' в луч аг8пг = О, т.е. в положительную полуось действительной оси 1шпг = О, то образом полосы — я/2 < 1гпг < я/2 будет правая полуплоскость Веги > 0 (рис. 10.28, б). В силу того что образом отрезка Вез = О, 0 < 1ш г < я является полуокружность |гц~ = 1, 0 < агбш < я, функция е' отображает полуполосу Р = (а Е С: 0 < 1шз < я, Вез > 0) на область Р' = (и е С 1шпг > О, (и! > Ц, т.е.
на верхнюю полуплоскость с выброшенным полукругом )гц~ < 1, 1пии > 0 (рис. 10.29). При движении точки з по верхней части границы 1шг = и полуполосы в положительном направлении (т.е. от я = оо до г = 0) ее образ проходит вдоль луча аг8 г = и от гц = оо до гц = — 1. При дальнейшем движении точки по отрезку Вез = О, 0 < 1шг < я ее образ проходит по окружности ~гц~ = 1 от точки — 1 до точки 1 по часовой стрелке.
Наконец, при движении я вдоль нижней части 1шя = 0 границы полуполосы в положительном направлении (т.е. слева направо) ее образ проходит по положительной части действительной оси от точки пг = 1 до точки пг = оо. В си- 390 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ лу принципа соотпветпсгпвил границ образом полуполосы будет выделенная в плоскости (и) область Р* (см.
рис. 10.29). Рис. 10.29 Наконец, полуполоса Р = (г й С 0 < 1шг < а, Нег < 0), 0 < а < 2я, при отображении го = е' переходит в область Р* = =(ю е С (го! < 1, 0 < агЕиг < а) (рис. 10.30). В самом деле, при движении точки г вдоль нижней части 1шг = 0 границы полосы в положительном направлении (слева направо) ее образ проходит положительную часть действительной оси от точки го = 0 до точки и = 1.
При движении точки г вдоль вертикального отрезка Вез = О, 0 < 1гпг < а ее образ проходит дугу окружности ~ю~ = 1 от точки 1 до точки егв против часовой стрелки. А при движении г по верхней части 1ш г = а границы полуполосы ее образ проходит по лучу агяв = а от точки и~ = е' до точки го = О.
Рис. 10.30 Пример 10.21. Построим отображение ш = Дг) луночки, ограниченной окружностями ф = 2 и )г — Ц = 1 (рис. 10.31), на верхнюю полуплоскость 1шго ) О. Чтобы получить искомое отображение, достаточно перевести исходную область в полосу 0 < 1ш~ < к, а затем использовать в соответствии с примером 10.20 показательную функцию.
Итак, переведем сначала окружности (г — Ц = 1 и )г) = 2 10А. Паказателъная фуккция к 2кга 0 '" ~-2 0 Рис. 10.31 в горизонтальные прямые 1ш~ = О и 1ш~ = и соответственно. Для этого рассмотрим отображение ~ = (аз+ Ь)/(г — 2) и потребуем, например, чтобы точка з = О перешла в точку ~ = О, а точка з = — 2 — в точку ~ = ха'. Тогда Ь= О и а = 2ха', и мы приходим к отображению 2хЫ з — 2 Окружности проходят через точку з = 2.
Согласно замечанию 10.1, образами окружностей будут прямые, одна из которых проходит через точку ~ = О, а другая — через точку ~ = ха'. Так как в точке з = 2 окружности, ограничивающие луночку, касаются, то прямые, в которые они переходят, параллельны. Точка г = оо, симметричная точке з = О относительно окружности )4 = 2, переходит в точку ~ = 2хг', которая должна быть симметрична точке ~ = О относительно образа этой окружности. Значит, образом окружности )г~ = 2 является прямая 1ш~ = и.
Образом окружности ~г — Ц = 1 будет прямая 1ш~ = О. Итак, заданная область преобразована в полосу О < 1шз < и. Осталось применить отображение ю = е'. В итоге получаем искомое отображение Е2км/(*-2) 392 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 10.5. Функция Жуковского Дробно-рациональную функцию 2( я) 1 1 (10.16) называют функцией Льуковскоео. Эту функцию в 1911 г. использовал выдающийся русский механик и математик Н.Е. Жуковский (1847-1921) при построении теории крыла самолета. Она находит также применение и во многих других задачах, связанных с конформными отображениями. Правая часть равенства (10.16) представляет собой лорановское разложение функции Жуковского как в окрестности точки г = О, так и в окрестности я = оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
