X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 57
Текст из файла (страница 57)
пример 10.25). Итак, искомым отображением будет (4я 1 41г ю = соя юг = сов 44г(г", — 1/2) = сов ~ — — 2х) = соя —. 2 10.7. Однозначные ветви многозначных обратных функций Пусть функция ю = Д2) является анцлигпичесной е области Р фрннггиег)„отображает Р на область Р*, но не имеет обратной функции в Р*, так как не является однолистной в Р. В этом случае удобно говорить о многозначной обратной фуннггнн гр(ю). Выделим область однолистности Р1 С Р этой функции.
406 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В области Р", = ДР1) функция Пг) имеет обратную функцию ~р1(ю), которая является ветвью многозначной функции ~р(ю). Мы ограничимся лишь пояснениями к построению ветвей многозначных обратных функций, порожденных некоторыми элементарными функциями. В таких случаях структура многозначной обратной функции, как правило, определяется многозначной функцией Агбг (см. 3.4). Рассмотрим функцию ю = гг.
Обратная к ней функция задается уравнением (10.31) относительно переменного г. Как известно, зто уравнение при ю ~ 0 имеет два решения, которые можно вычислить по формуле Муавра извлечения корня целой положитпельной степени из комплексного числа. Если одно из решений обозначить через ~(ю, то другим решением будет — ~(ю. Таким образом, функция г = ф(ю), обратная к функции ю = г~, является двузначной.
Заметим, что функция ю = г~ определена во всей комплексной плоскостпи (г) и множество ее значений есть вся комплексная плоскость (ю). Возникает вопрос о том, как построить ветвь обратной двузначной функции. Пусть Ро — плоскость (г) с разрезом вдоль положительной части действительной оси 1ш г = О. Эту область можно описать следующим орбразом: Ре =1г=теь4'.
т)0, 0<у<2я). Согласно 11.26), имеем ю=~/г =,рте'~т+гь Нг, Й=0,1. При к = 0 получаем функцию ю = ~(те'"~г, а при к = 1 функцию ю =,/те'~~а е"' = — /те'"~г. Рассмотрим в области Рв функцию 110.32) 10.Х Однозначные ветви многозначных обрвтнык функций 407 Эта функция непрерывна в Ра и удовлетворяет условию Я(г) = = г, т.е.
функция Д(е) является обратной к функции е = ю~. Из представления функции (10.32) заключаем, что множеством значений функции Яг) является верхняя полуплоскость. Это согласуется с тем, что при отображении е = ю', обратном к отображению ю = Яг), верхняя полуплоскость 1гаю > 0 переходит в плоскость (е) с разрезом по положительной полуоси действительной оси 1юг = 0 (см.
пример 3.2). Таким образом, функция ю = Д(е) однозначна и непрерывна в области Рд, т.е. в плоскости (г) с разрезом по лучу агбе = О, и отображает эту область на верхнюю полуплоскость 1гпю > 0 (рис. 10.43). ч ~=Х~1~) 1в) Рис. 10.43 Точно так же функция у1(г) = — з/ге'~'~а, 0 ( у < 2х, непрерывна в области Ра и отображает ее на нижнюю полуплоскость 1тю ( 0 (см. рис. 10.43). В силу теоремы об обратной 4ункции рассматриваемые функции уо(е) и у1(л) аналитические в области Ро,причем Д(г) =, =, й = О, 1.
(10.33) 1 1 Заметим, что аналитичность этих функций и вид производных можно установить, используя условна Коша — Римана и формулы для производной функции комплексного переменного в полярных координатах (см. пример 4.3). Итак, Яя) и 11(г) — ветви двузначной функции ю = ~Д. Нередко обе зти ветви обозначают одним и тем же символом 408 ) О. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ~/ю Чтобы указать, какую из двух ветвей в конкретном случае имеют в виду, задают значение функции в какой-либо точке области Рз. Можно также задать значение и на разрезе, но при этом следует оговорить, на каком берегу разреза (верхнем или нижнем) взята точка.
Например, если граничная точка эе = 1 находится на верхнем берегу разреза, то Агнце = О, а если она выбирается на нижнем берегу разреза, то Агяхо = 2я. Если, например, в точке я = — 1 задано значение и = о, то речь идет о ветви и =,(е(э), отображающей область Ро на верхнюю полуплоскость 1тоо > О. Если же в точке г = = — 1 задано значение ыэ = — г', то имеется в виду ветвь ю = =,(1(э), отображающая область Ре на нижнюю полуплоскость 1щю < О.
Ветвь функции,Д, принимающая значение ояо = 1 в граничной для области Ро точке ге = 1, лежащей на верхнем берегу разреза, есть функция и = (о(г). Если же точка ге = 1 на нижнем берегу разреза переходит в точку юе = — 1, то речь идет о функции и = 1((э). Рассмотрим теперь область Р— плоскость (я) с разрезом по отрицательной части действительной оси 1щг = О, т.е. по лучу Аг8г = я (рис.
10.44). В этой области можно выделить две ветви двузначной функции ~/ж 10(э)=,йе(УР, Уэ)=-,Не" Р, -я< р<х Первая ветвь отображает область Р на правую полуплоскость Веи > О, а вторая — на левую полуплоскость Ва ю < О. (Оа) ВР=у (о) — о о Рис.
10.44 10.7. Однозначные ветви многозначных обратных функлнй 409 Нетрудно убедиться, что однозначные ветви функции ч/г можно выделить и в том случае, когда областью является плоскость с разрезом по произвольному лучу Агбх = а, которую обозначим Р . На рис. 10.45 изображены полуплоскости, на которые область Р отображается ветвями функции ~/г, при этом а = я/3. Итак, множество значений ветвей обратной функции существенно зависит от вида области, в которой выделяют ветви, но в фиксированной точке каждая ветвь может принимать лишь одно значение из определенного набора значений. Например, ветвь функции ;/х в точке г = 1 может принимать либо значение 1, либо значение — 1, какой бы ни бь|ла выбрана область Р. 0 и ид — 1) =.
— 1 Рис. 10.45 Пример 10.28. Отобразим область Р на верхнюю полуплоскость 1шчо > О, если Р представляет собой плоскость с разрезами: а) по отрезку [О, Ц действительной оси; б) по верхней полуокружности [х[ = 1, 1шх > 0; в) по лучам ( — оо, Ц и [2, +со) действительной оси. Для решения задачи можно использовать ветвь многозначной функции х/ю Для этого сначала необходимо с помощью дробно-яинебноео отображения преобразовать область в плоскость (~) со стандартным разрезом по лучу аг81, = 0 (см.
рис. 10.43). После этого можно применить отображение, осуществляемой ветвью /б(г) квадратного корня. а. Точке г = 0 поставим в соответствие точку ~ = О, точке г = 1 — точку ~ = оо, а точке х = 1/2 — точку 1," = 1. В 410 НЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ соответствии с (10.11) запишем ~ — 0 1 я — 01/2 — 1 1 1 — 0 я — 1 1/2 — 0 В результате получаем ~ = г/(1 — я). Точке ~ = — 1, в которой ветвь /е(~) квадратного корня принимает значение 1, соответствует точка г = оо. Позтому искомое отображение осуще7=~'70: ) йФу ,~,лг:,~, ....,.«.( )=;. б.
Для преобразования верхней половины окружности ~г~ = = 1 в луч Агб~ = 0 потребуем, чтобы точка л = — 1 перешла в точку~ =О, а точками =1 — в точку~ =со. Приусловии Дг) =1 имеем ~ — 0 1 я+11 — 1 я+1 — г 1 1 — 0 я †11 л — 1 Отсюда находим ~ =1(я+ 1)/(я — 1) и 2я+1 ш(г) = Я~ = ~1, ю( — 1) = г, поскольку в точку ~ = — 1 переходит точка я = — г'. в.
Полагая Д2) = О, Д1) = со и ДЗ) = 1/2, запишем ~ — 0 1 я — 23 — 1 1 1/2 — 0 я †13 В итоге получим ~ = (г — 2)/(г — 1) и (*~= Г(=Л -2И -с, Р!2)=; так как в точку ~ = — 1 переходит точка г = 3/2. Пример 10.29. Пусть .Р— полуплоскость 1шг > 0 с разрезом по отрезку мнимой оси, соединяющему точки г = 0 и я =16, 6 > 0 (рис.
10.46). Найдем конформное отображение области Р на верхнюю полуплоскость 1пио > О. 10.7 Однозначные ветки многозначных обратных функций 411 (~ ы- Я+62 , ф~~г)=( О и (2) чг ~~) 2 О 2 'йг ', 4 (го,) го(-1) =( Рис. 10.46 Функция ~ = 22 конформно отображает заданную область Р на плоскость (~) с разрезом по лучу Ве~ > — 62 действительной оси (см. рис. 10.20), а функция гог = ~+ 62 сдвигает область так, что ее разрез пройдет по лучу Агягог = О. Наконец, ветвь (о(го1) квадратного корня переводит область в верхнюю полуплоскость (см. рис.
10.4б). Искомое отображение является суперпозицией перечисленных отображений: го(2) = г/ю~ = Я+ 62 = 1/22+ 62 при го(г ~(1+ 6') = г, причем иг(г'2(Г+ 62) = г поскольку в точку цг1 = — 1 переходит точка ~ = — 1 — 62, а в зту точку — точка е = г 2/Г+ 62. )(1 гол = ~/Я~сси +2 сбп ), /с =О, и — 1, (10.34) / у+ 26к . (о+ 26х1 где (о — одно из значений аргуагекпга комплексного числа 2.
Для выделения однозначных ветвей функции фх поступим следующим образом. В плоскости (и) проведем из начала координат и прямолинейных лучей уо, ..., 7„1, каждый из Перейдем к рассмотрению многозначной функции более общего вида го = ~/2, 2 Е С, где и ) 2 — натуральное число. Она является обратной к целой сгиеиекной функции 2 = и". При 2 = 0 многозначная функция и = фБ принимает единственное значение и = О, а при 2 )е 0 имеет и различных значений, определяемых формулой Муавра 412 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ которых образует с соседним лучом угол 2х/и (рис. 10.47). Все лучи уь, к = О, и — 1, при отображении е = го" перейдут в один и тот же луч Г плоскости (е), выходящий из точки г = О. В плоскости (е) с разрезом вдоль луча Г (зту область обозначим через Р) можно выделить однозначные ветви многозначной функции ~/ю Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
