X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 60
Текст из файла (страница 60)
При отображении ю = Х(г) точка ю будет обходить вершины полученного прямоугольника против часовой стрелки, оставляя слева его внутренность. Поэтому, согласно принципу соответствия границ, образом верхней полуплоскости будет внутренность прямоугольника с вершинами в точках ю = К(к), ю = К(й) + 1 К(й'), ю = — К(й) +1 К(й') и ю = — К(Й). Чтобы отобразить верхнюю полуплоскость 1шя > 0 на внутренность заданного прямоугольника Ь с длинами 11 и 12 сторон, следует подобрать значение модуля эллиптического интеграла й так, чтобы выполнялось равенство К(й)/К(Ь') = 11/12 (зто можно сделать, например, с помощью таблиц значений полного эллиптического интеграла первого рода).
При таком значении й функция (10.41) отобразит верхнюю полуплоскость на внутренность прямоугольника Х в плоскости (ю), подобного заданному. Затем линейным отображением ~ = ею+ Ь внутренность прямоугольника А можно преобразовать во внутренность заданного прямоугольника 1. Другими словами, функция С(г) =а +Ь, 0<й <1, аЬЕС, (10 47) дх Р-")(1-е* ) при соответствующем выборе значений параметров Ь, а н Ь взаимно однозначно и конформно отображает верхнюю полуплоскость 1шг > 0 на внутренность любого заданного прямоугольника. Дополнение 10.2. Интеграл Кристоффеля — Шварца Рассмотрим задачу построения конформного отображения верхней полуплоскости на внутренность заданного многоугольника.
Многоугольник на плоскости определяется последова- 430 КЬ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ сц, =п — 2. ь=1 (10.48) Аз Аз Аз (Аз) Аз 1Ао> А А б Рис. 10.59 По теореме Римана существует аналитическая функция Дг), конформно отображающая верхнюю полуплоскость на внутренность |)многоугольника П. Поскольку и многоугольник П, ограничивающий область Р, и граница верхней по- тельностью его вершин А1, Аз, ..., А„, и мы будем считать, что они пронумерованы в том порядке, в котором встречаются при обходе многоугольника против часовой стрелки (в положительном направлении относительно ограниченной им области). Кроме того, так как за вершиной А„следует вершина Аы мы вждем для А„дополнительное обозначение Ае. Через ящ„й = 1, и, обозначим угол многоугольника при вершине Аь.
Этот угол есть угол поворота стороны АьАь+1 вокруг вершины Аь против часовой стрелки до ее совпадения со стороной Аь зАь (рис. 10.59, а). Предполагаем, что 0<коз < 2х, й=1, п, причем значение угла хаь, равное 2я, означает, что область, ограниченная многоугольником, имеет прямолинейный разрез с концевой точкой Аь (точка А4 на рис. 10.59, б). Из элементарной геометрии известно, что сумма углов и-угольника равна я(п — 2). Поэтому параметры сц, должны подчиняться уравне- нию Д.10.2. Иитеграл Кристоффеля — Шварца луплоскости являются простыми кривыми, функция ((г), согласно принципу соответпсгпвил границ, имеет непрерывное продолжение на границу верхней полуплоскости, при этом устанавливается непрерывное взаимно однозначное соответствие между действительной осью и многоугольником П.
Прообразы вершин Ав многоугольника при таком соответствии будем обозначать ал. Иначе говоря, полагаем, что Диь) = Ав, й = 1, и. При этом условимся считать, что на действительной оси точки ав следуют в возрастающем порядке, изменив в случае необходимости соответствующим образом нумерацию вершин многоугольника. Кроме того, можно считать, что ав ~ О, и = 1, и, так как иначе вместо функции Дя) можно рассмотреть функцию Дя+р), где р Ен. Многозначная функция (г — аь)а' 1 допускает выделения ветвей в верхней полуплоскости, и мы остановимся на той из них, которая принимает действительные положительные значения на действительной оси правее точки ав, т.е. при г = х > ив. Рассмотрим функцию У(Я) (Я П )а1 -~(с В2)ае-~ (Л „ )а -1 полученную произведением выделенных ветвей многозначных функций.
Эта функция аналитична в верхней полуплоскости и непрерывна во всех точках действительной оси, кроме точек ав. Следовательно, функция ц( ) = урд~ = (~ — и )а1 — (~ )аг — (~ )~~ — ц~ О О где путь интегрирования, соединяющий точки О и я, целиком лежит в верхней полуплоскости, также аналитична в верхней полуплоскости. Но при этом функция С(г) непрерывна всюду на действительной оси, в том числе в точках ав, Й = 1,п, и в точке г = со. 432 На КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Непрерывность функции С(») в точке» = аь следует из непрерывности подынтегрзльной функции д(») в верхней полуплоскости, а также из сходимости несобственного интеграла в точке» = сц, в случае 0 < ан < 1. Непрерывность функции С(») в точке» = со вытекает из ее аналитичности в верхней полуплоскости и из асимптотической формулы А Ы)!- г-«00!42 ' которую нетрудно получить, опираясь на равенство (10.48). Непрерывность функции С(») в точке» = со означает, что интеграл от функции д(») вдоль любого пути, лежащего в верхней полуплоскости и соединяющего точку» =0 с точкой» = со, сходится, причем значение интеграла не зависит от выбора такого пути.
Покажем это в простейшем случае, когда два пути, У соединяющие точку» = 0 с точкой С„ » = со, представляют собой два лу- Е Г ча агя» = д«и агя» = ф. Выберем контур Г, показанный Ун0««) Ун0«) на рис. 10.60. Согласно теореме Коши, интеграл от функции д(») по этому контуру равен нулю. СлеРис. 10.60 довательно, д(»)с(» — д(»)«1» = д(»)«1», '«н(ю) чн:««««) Сн где ул(у) и )л(ф) — радиальные части контура Г, а Сл— дуга окружности )»~ = В, входящая в Г.
Так как в силу асимптотической формулы | д()Ь < Ь(Н.НМ вЂ” Ф!- А)д« вЂ” ф — О, С„ л — «оо )««л — «са Сн то, переходя к пределу при В -+ со, заключаем, что интегралы по двум лучам, выходящим из точки О, равны. ДД0.2. Интеграл Кристоффеля — Поварка 433 Пусть точка я проходит действительную ось в положительном направлении. Тогда ее образ го при отображении го = С(г) пройдет некоторую замкнутую кривую, которая, вообще говоря, может иметь точки самопересечения.
Покажем, что зта кривая на самом деле является ломаной, а ее звенья соответствуют промежуткам действительной оси, на которые она разделяется точками г = аь и точкой г = со. Отметим, что при движении точки го по отрезку вектор смещения имеет постоянный угол наклона по отношению к действительной оси. Это значит, что приращение функции С(л) в точках соответствующего участка действительной оси имеет постоянный аргумент. А зто равносильно тому, что аргумент производной функции С(г) постоянен на той части контура, который переходит в отрезок. Таким образом, нам надо доказать, что АгяС'(г) постоянен на интервалах (ае, ае+1), к = 1, п — 1, а также на интервалах ( — со, аг) и (а„, +со).
Поскольку С'(г) в верхней полуплоскости совпадает с подынтегральной функцией д(г) рассматриваемого интеграла, а зта функция непрерывна на каждом из отмеченных интервалов, то равенство С'(х) = д(х) верно на каждом из упомянутых выше интервалов. Функция (г — ае) ' 1 по предположению принимает действительные положительные значения при г = х > ае, т.е. значения с нулевым аргументом.
Чтобы выяснить аргументы значений функции при г = х < ае, рассмотрим приращение функции Аг3(г — ае) " ~ вдоль полуокружности г = ал+ге'~, 0 < ~р < я. Так как при этом и — пь = ге'т, то вдоль указанной полуокружности Агб(г — ая)о' ~ = (сея — 1) р. Следовательно, на левом конце полуокружности г = аь — т, т.е. при ~р = я, имеем Агб(л — ае) " ' = (сел — 1)я. Мы видим, что во всех точках я = я < ае значения функции (е — ае) " ' имеют одинаковый аргумент.
Можно записать, что аь)ая — 1 ~г аа~ая — 1е(оя-1)Н т т. < аЬ 434 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Анализируя сомножители функции д(х), приходим к выводу, что функция Агяд(х) на действительной оси принимает следующие значения: х Е (а„, +со); О, (а,— 1)я, хЕ(аьал~г) (Й=1,п — 1); 8=/с-~-1 ~~> (сг, — 1)я, х Е ( — сс, а1 ).
Агяд(х) = Аь= (~ — аг) ' ~(~ — аз)~' ~ (~ — а„)~ ~Ж„Й=1,п. 0 Выясним, какие значения имеют углы между соседними звеньями ломаной. Если точка х перемещается по интервалу (аь, ал+1), то направление перемещения ее образа гс при отображении и = С(г) определяется значением Агяд(х) = Агя С'(х), т.е. угол наклона этого направления равен Д. Поэтому угол между звеньями, стьгкующимися в вершине А'„, равен Юл=11ь — 11л г=яггь я=1,п. Итак, если точка г проходит действительную ось слева направо, то ее образ и при отображении ю = С(г) проходит Обозначим через Д значение функции Агяд(х) на интервале (аь аи г), Й = 1, и — 1, через Д~ — ее значение на интервале ( — со, аг), а через ~3„— ее значение на интервале (а„, +со). Из сказанного следует, что если точка г движется по действительной оси слева направо, то ее образ при отображении и = С(х) проходит замкнутую ломаную, причем звенья ломаной находятся во взаимно однозначном соответствии с интервалами (ая, аь+г) и ( — сс, аг), (а, +со).
Вершины А~я, этой ломаной определяются значениями функции С(х) в точках аг. 435 Д.10.2. Иатеграл Кристоффеля — Шварца ломаную, составленную из отрезков Ьь с концами в точках Аь~, и А'„+„причем угол между соседними отрезками Ь| и Ль» ~ равен цау,. Если длины отрезков Ьь согласованы так, что конец отрезка с1„+~ совпадает с началом отрезка сае, и отрезки а| не пересекаются, то образом действительной оси будет многоугольник, а образом верхней полуплоскости, согласно принципу соответствия границ, — внутренность зтого многоугольника (рис. 10.61).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
