X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Поэтому г( )= /г" '(( — 1г'* ' ~г= '/Л-гнг= о о а1 г г яаг = — (2з — 1) ~( з — зг + — агсгйп(2я — 1) + —. 4 8 16 Из условия /(1) = 1 находим 1 = гга1/8, откуда а = — —. Итак, 81 2 г — — 1 1 /(я) = — (2з — 1) ~/я — яг+ — агся1п(2з — 1) + —. 7Г я 2 Пример 10.38. Отобразим верхнюю полуплоскость на внутренность обобщенного треугольника с вершинами Аг — — О, Аг = = 1 и Аз = со (рис. 10.65). Находим сгг = 2, сгг = 1/2 и ггз = — 3/2. Полагая аг = О, аг = = 1, аз = со и учитывая, что Ь = /(О) = О, с помощью интеграла 443 Д.10.2. Интеграл Кряетоффелл — Шварца Кристоффеля — Шварца (10.50) запишем х х /~т) о ~а~-1(~ 1)ах-1,~~ / —.,'Л=-т- О О х 4а з =г /(х,/~-~=~...й:Т- —,7*:ц'- —.
3 3 О Из условия /(1) = 1 находим 1 = — — г, откуда а = -ю'. Итак, 4а. 3. я+2 х (т) = 1 — 1/1 — ю 2 Рис. 10.66 Рис. 10.66 Пример 10.39. Отобразим верхнюю полуплоскость на внутренность обобщенного треугольника с вершинами А1 = = со, Аг = 0 и Аз = оо (рис. 10.66). Для этого треугольника имеем а1 = О, етт = 3/2 и етз = — 1/2. В качестве прообразов вершин треугольника выберем а~ = О, аз = 1 и аз = +ос. Тогда с помощью интеграла Кристоффеля — Шварца можем записать /(т) х а ~с' 1(~ — 1)нх ~е)~+Ь=а Н~+Ь. Для вычисления интеграла используем подстановку ~ — 1 = = х' (д~ = 21ОФ): /1т) = 2а(~Й вЂ” 1 — агсО3 ~/я — 1) + Ь.
(10.52) 444 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ Из условия Д1) = 0 находим, что Ь = О. Поскольку при Вез = = х -+ +со образ точки г движется в положительном направлении мнимой оси Вега=О, то заключаем, что Веа= О и1та) О. При Вел = х -+ — оо образ точки я движется по прямой ага = = — Ь, причем Веге = и — ~ — со. Поэтому из (10.52) следует, что а = г/г/я. Окончательно получаем 2г/( /(г) = — (~й — 1 — агсФЕ 1/я — 1).
41 7Г УУ Пример 10.40. Отобразим верх' Аз нюю полуплоскость на область, изображенную на рис. 10.67. В качестве прообразов вершин Аг = О, Аз = 1, ФА( Аг х Аз = оо выберем точки а1=0, аз =1, аз = со. Из рисунка ясно, что(гг =3/2, (гз = 1/2, (гз = — 1. Так как /(0) =О, то в формуле (10.50) имеем Ь = О. В реРис. 10.67 зультате получаем И)= ~"-'К-1)"-'К= 1 ' (С= '/ Л=-т 0 о я я — Ш(=2 ~/ /((/( — (. О 0 Выполнив в интеграле замену переменного 1Л вЂ” (", = ( (при этом (, = 1 — ~з), заключаем, что ~/Г:Р л*)=2 / /( — ('-((= /(/.-у; /г-.-'-~~= 2/ 1 = а1 1/г — х' — аг лхссйп 1/я.
Из условия Д1) = 1 находим 1 = — азагся1п1, откуда аг = — 2/я. Итак, 2/ Дз) = — ~агся1п ~/г — 1/ г — хз) . Вопросы и задачи Вопросы и задачи 10.1. Найдите все линейные функции, отображающие нижнюю полуплоскость на верхнюю. 10.2. Существует ли линейное отображение, переводящее треугольник с вершинами в точках — 1 — г, — г и — 31 в треугольник с вершинами в точках 1+ г', 3+1 и 5+ г? 10.3. Найдите угол между двумя параллельными прямыми в бесконечно удаленной точке. 10.4.
Докажите, что при дробно-линейном отображении ю = = (а» + Ь)/(с» + гЕ), агК ф Ьс, прямые Ве(Л») = сг, Л б С, сг Е В„не проходящие через точку» = — с(/с, переходят в окружности (ап — Ьс)Л 1 адЛ+сЬЛ+2аас 1ю — юе~ = 2сг/ср + 2йе(ЫЛ) ~ 2сг/с/» + 2Ке(ЫЛ) — юо= 10.5. Выясните, существует ли отображение круга ф < 1 на круг 1ю~ < 1, при котором точки» = 0 и»г = 1/2 переходят вточкию=аию1 = — а,гдеО<а<1. 10.6.
Найдите дробно-линейную функцию, отображающую круг )» — 2) < 1 на круг )ю — 2г( < 2 так, что ю(2) = г' и ахбю'(2) = = х/2. 10.Т. Найдите образы следующих областей при указанных дробно-линейных отображениях: а) (» Е С: О < Ке» < 1/2), ю = 1/»; б) (» Е С О < аг8» < гре ~ (и), ю = 1/»; в) (» Е С: ф > В), ю = (» — 1)/»; г) (» б С: !») < 1, 1ш» > О), ю = (1 + »)/(1 — »).
10.8. Найдите образ области, ограниченной окружностями )» + Ц = 1, )» — 1~/3) = 1 и !» — Ц = 1, при отображении ю = 1/». 10.9. Найдите отображение ю(»), переводящее круг )»( < 2 на полуплоскость Нею > О так, что ю(0) = 0 и агбю'(0) = х/2. 446 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 10.10. Найдите отображение ю(з), переводящее круг ~г~ < 1 на круг ]ю] < 1 так, что ю(0) = 0 и ага ю'(0) = — х/2. 10.11. Найдите такое отображение верхней полуплоскости 1шэ > 0 на нижнюю полуплоскость 1шю < О, что ю(а) = а и агбю'(а) = — л/2, 1ша > О.
10.12. Докажите, что дробно-линейное отображение ю юо э зо — з-зо полуплоскости 1шг > 0 на полуплоскость 1шю > 0 удовлетворя- ет условиям ю(го) = юо, агбю'(го) = а. 10.13. Отобразите на верхнюю полуплоскость круговую луночку 11 = (г Е С: ]э] > 1, ]г — 1] < Ц. 10.14. Отобразите на верхнюю полуплоскостгс а) круг ]г~ < < 1 с разрезом по отрезку [1/2, 1] действительной оси; б) круг ~з~ < 1 с разрезом по отрезку [ — 1, 0] действительной оси; в) верхнюю половину круга ]э] < 1 с разрезом по отрезку мнимой оси, соединяющему точки гг = а1 и гз = г, 0 < а < 1.
10.15. Постройте отображение полуплоскости 1шз < 1 с выкинутым кругом ]з] < 1 на следующие области с укаэанной нормировкой: а) круг ]ю] < 1, ю( — 31) = О, агкю'( — 31) = гг/3; б) круг ]ю] < 1, ю( — 31) = ( — 1+1)/2, агяю'( — 31) = я/2; в) верхнюю полуплоскость 1шю > О, ю( — 31) = 1+ г', згбю'( — 31) = гг.
10.16. Отобразите на верхнюю полуплоскость плоскость с заданным разрезом: а) по отрезку [ — 1,Ь] действительной оси; б) по дуге окружности [э] = 1, соединяющей точки е~' и проходящей через точку з = — 1. 10.17. Отобразите на верхнюю полуплоскостгы а) полосу 0 < Нее < 1 с разрезом по отрезку [О, Ь], 6 < 1, действительной оси; б) область 1з Е С ]г — Ц > 1, ]э+ Ц > Ц с разрезом по лучу [2, +со) действительной оси. Волросы и задачи 10.18. Найдите образы сектора, ограниченного лучами ах8» = уе и аг8» = уе + 2к/и, полосы уе < у < уе + 2к и полосы — к/2 < 1ш» < к/2 при отображении ш = »", п Е Ы 10.19.
Для функции Жуковского найдите образы: а) нижней полуплоскости 1т» < 0; б) круга ф < 1 с разрезом по отрезку ~0, 1] действительной оси; в) области Р = (» Е С: ф < 1, 1ш» < 0); г) внешности окружности ф = р и внутренности окружности ф =1/р, р>1; д) сектора, ограниченного лучами аг8» = о и аг8» = к — а, 0 < а < к/2; е) области Р = 1» Е С: 0 < ах8» < а), а < л/2; ж) области Р = (» Е С ~»~ > 1, 0 < аг8» < а), а < н/2.
10.20. Найдите образы: а) полуполосы 0 < Не» < к, 1ш» > 0 и полосы 0 < Не» < и при отображении и = соз»; б) полуполосы — к/2 < Ке» < к/2, 1ш» < 0 и полосы — к/2 < Ке» < к/2 при отображении ш = яп». 11. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА'ЧИ 11.1. Предварительные замечания Теория функций комплексного переменного находит широкое применение при решении разнообразных прикладных задач. Ниже ограничимся рассмотрением класса задач, связанного с изучением плоского векторного поля, описываемого при помощи комплексного потенциала.
Изучение такого поля в области сложной формы часто удается существенно упростить путем конформного отображения этой области на более простую. Более того, нередко комплексный потенциал плоского векторного поля в сложной по конфигурации области удается построить именно при помощи ее конформного отображения. Рассматриваемый класс задач характерен тем, что векторная функция у(х,у), задающая в некоторой области Р на плоскости векторное поле, не зависит от времени и связана с потенциальной функцией Ф(х,у) этого поля линейным соотношением У(х,у) =Р8г пФ(х,у), (, у) еР, (И.1) где коэффициент ~3 Е К связан с физическим содержанием задачи. Например, для задач гидромеханики идеальной (невязкой) несжимаемой жидкости функция у(х,у) описывает векторное поле скорости и ~3 = 1.
Для стационарных задач теплопроводности функция у (х, у) характеризует векторное поле ц плотности теплового потока, а Ф(х,у) представляет собой функцию распределения температуры Т в области Р. Согласно известному из курса физики закону Фурье (Ж.Б.Ж. Фурье (1768 — 1830)— французский математик и физик), коэффициент ~3, взятый с обратным знаком, совпадает с коэффициентом теплопроводности Л той среды, которая заполняет область Р.
Знак минус 449 11.1. Предварительные замечания следует из второго закона термодинамики, устанавливающего,что теплота передается от участков среды с более высокой температурой к участкам с более низкой температурой,т.е. в направлении, противоположном градиенту температуры. При диффузии в среде некоторой примеси функция Ф(х,у) характеризует распределение в области Р концентрации этой примеси, а у(х,у) — вектор плотности потока примеси. В этом случае равенство (11.1) выражает закон Фика (А.Э. Фик (1829 — 1901) — немецкий физик), а —,3 = и — коэффициент диффузии. Через среду в области Р может просачиваться гзз или жидкость. Тогда функция Ф(х, у) описывает распределение давления в Р, функция 7'(х,у) задает вектор скорости частиц газа или жидкости в среде, равенство (11.1) выражает закон Дарси (А.
Дарси (1803 — 1858) — французский инженер), а —,3 = = те — коэффициент фильтрации. Для электростатического поля функция у(х,у) описывает вектор напряженности, а функция Ф(х,у) — распределение в Р потенциала этого поля. В этом случае,3 = -1. Если среда в области Р обладает электрической проводимостью с коэффициентом о, то равенство (11.1) сводится к соотношению ,у (х, 9) = — т 8гас1 У(х, у), устанавливающему связь электрического потенциала У(х) с вектором у(х, у) плотности электрического тока, т.е. дает обобщение известного закона Ома (Г.С. Ом (1787 — 1854) — немецкий физик).
Поскольку равенство (11.1) содержит постоянный коэффициент ~3, функция Ф(х,д) и функция Ф(г), определяемая согласно (5.47), связаны уравнением Ф(х) =)ЗФ(г), х Е Р. (11.2) Помимо (11.1) для рассматриваемого класса задач справедливо равенство йуу(х,у) = О, г Е Р, (11.3) отражающее закон сохранения той или иной физической субстанции в окрестности произвольной точки области Р (для 450 П. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДА ЧИ задач гидромеханики и диффузии — сохранение массы жидкости или примеси, для задач теплопроводности и электростатики — теплоты или заряда). Равенства (11.1) и (11.3) означают, что рассматриваемое плоское векторное поле является лапласовььн и позволяют ввести для него комплексный потенциал (см.
Д.5.1). Сформулируем некоторые задачи, которые часто встречаются в приложениях. 1. В плоской области Р заданы две линии Г~ и Гз, не имеющие общих точек. Требуется построить в Р потенциальное векторное поле так, чтобы Г~ и Гь являлись либо линилии равного потенциала, либо линиями тока этого поля с заданной разностью значений потенциальной функции или функции тока соответственно. 2. В неограниченной плоской области Р задана неограниченнал кривая Г и значение производной И~'(со) комплексного потенциала в бесконечно удаленной точке.
Требуется построить в Р плоское векторное поле так, чтобы Г являлась либо линией равного потенциала, либо линией тока этого поля. 3. Во внешности Р плоского простого замкнутого контура Х требуется построить векторное поле так, чтобы контур Т совпадал или с линией равного потенциала, или с линией тока этого поля при заданом значении либо потока векторного полл через ь, либо циркуляции вдоль Х соответственно. Эти формулировки не исчерпывают все прикладные задачи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
