X Морозова В.Д Теория функций комплексного переменного (1081408), страница 58
Текст из файла (страница 58)
10.47 Пусть и Р*, — область плоскости (го), ограниченная лучами уг, и Ъь+м к = О, п — 1, где под у„понимается луч уа. В каждой из областей Р„*функция е = го" однолистна, а потому имеет обратную аналитическую функцию Яе), которая взаимно однозначно отображает область Р на область Р„*и является ветвью многозначной функции иг = фг. Отметим, что для задания одной из ветвей Яе) достаточно указать значение фе в любой точке го Е Р. Согласно теореме об обратноб функции, имеем Д(е) =, = „, е Е Р. (10.35) 1 1 (иг ) =у„г00 гг(я(е)) Вид выделенных ветвей /ь(г) и их область определения Р существенно зависят от вида построенных областей Р*, однолистности функции г = иг".
Например, если в качестве разрезов 7а взять лучи Агяиг = (я+ 2кх)/гг, гг = О,п — 1, то областью Р будет плоскость (е) с разрезом по лучу Агяе = = х, а каждую из однозначных ветвей, согласно (10.34), можно представить ввиде 10.7. Однозначные ветви многозначных обратных функций 413 В качестве области Р можно рассматривать не только плоскость с разрезом по лучу, но и любую ее подобласть. Например, она может представлять собой неограниченный сектор между двумя лучами с произвольным углом о < 2я при его вершине в точке г = О. Функция чо = Яг) конформно отображает такой сектор на сектор с углом сх/и при вершине в точке и = О, т.е.
уменьшает угол сектора в п раз (в отличие от функции и = = го, которал при отображении сектора с углом )з' < 2я/и при вершине в точке х = 0 увеличивает угол сектора в п раз). Пример 10.30. Отобразим на верхнюю полуплоскость 1пио > О плоскость с вырезанным полукругом радиуса В = 1 (рис. 10.48). о=ем/з(з~~~~ ) г — 1 а+1 ехцад~ 2 ! Рис. 10.4а Дробно-линейное отображение 1, = (х+ 1)/(х — 1) переводит заданную область во внешность третьего квадранта плоскости (~), т.е. в неограниченный сектор, заключенный между лучами аг8~ = — и/2 и аг8~ = и с углом Зя/2 при вершине в точке ~ = О.
Отображением чо1(~) = ф; уменьшим этот угол в 3 раза, приняв чн((1) = 1. Затем с помощью функции чоч = е '(бчо1 поворачиваем полученный в плоскости (чо1) сектор на угол к/6 против часовой стрелки и в результате получаем 414 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ первый квадрант плоскости юэ, который отображением ю = юэ переводится в полуплоскость 1шю ) О. Суперпозиция всех этих отображений дает искомое отображение: при условии, что ю(со) = е"'~з = (1+ 1~/3) 2. Понятие лоеари4иа коиплексноео число г было введено как решение ю уравнения е = л (см. 3.5). Из свойств показательной функции вытекает, что Ьпг является многозначной функцией, которую можно представить в виде Ьпг=1п~л)+гАгбл=1п)л(+г(агбл+2йх), йЕУ.
(10.36) Каждому значению г соответствует бесконечное множество значений логарифма. Остановимся на том, как можно выделить ветви многозначной функции Ьпю Из представления (10.36) видно, что действительная часть Ьпя является однозначной функцией, а многозначные свойства этой функции полностью определяются многозначной функцией Агкг (см. 3.4). Функция Аг8г допускает выделение ветвей в области Ра, рассмотренной вьппе для случая квадратного корня,т.е. плоскости (л) с разрезом по лучу аг8 л = О.
Пусть Агяа г — та ветвь функции Агяя в области Ра, для которой 0 < у < 2я. Тогда в области Ро определена функция Ьпа г = 1п )х)+1Аг8о э, я Е Ро, (10.37) являющаяся ветвью многозначной функции 1 и ю Она конформна и отображает область Ро на полосу 0 < 1шю < 2х (рис. 10.49). Но в области Ра можно выбрать другие ветви Агб л, причем таких ветвей бесконечно много: (10.38) Агбьа=Агяал+2йх, йЕ.'Е. 10.7. Однотначные ветви многозначных обратных фуннцнй 415 ы=1л г 1 в'=1оех ~ 1ы1 О о ы=1.о ~х — 2лг Рие.
10.49 Каждой ветви Агба г функции Агяз соответствует ветвь Ьпв г функции Ьпл, и наоборот. Например, взяв в представлении (10.38) й = 1, получим ветвь логарифма 1 пг х = 1п ~з~ +1Аг81 г, которая отображает область Рб в полосу 2я < 1пг г < 4я, а ветвь Хп гг отображает Рб в полосу — 2я < 1гпг < 0 (см. рис.
10.49). В силу теоремы об обратной функции каждая ветвь гол(г) логарифма имеет производную ! 1 «'(го) ~ 00 (еы)' 00 г Видим, что производная не зависит от выбора ветви, и можем записать (Ьпл)' = 1/г. Это связано с тем, что все ветви логарифма различаются на аддитивную постоянную и являются первообразными аналитической функции 1/ж Итак, для выделения в области Рб ветви логарифма достаточно выбрать соответствующую ветвь аргумента. Каждая 416 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ветвь определяется значением аргумента в какой-либо внутренней точке области Ре.
Можно также указать значение аргумента в граничной точке области Ре, но при этом надо отметить, на каком берегу разреза выбрана эта точка, на верхнем или нижнем. Например, формула (10.37) определяет ту ветвь логарифма, которая на верхнем берегу разреза области Рд принимает действительные значения. Логарифм допускает выделение ветвей не только в области Ре, но и в любой другой области Р, которая получается разрезом плоскости по лучу агбг = а. Например, в области Р = 1г = те'~: — я < ю < я1 логарифм имеет ветвь 1пг = 1п)г(+ ФВГ3г, которую часто называют глаенмм значением логарифма. Отметим, что выбором области Р в плоскости (г) и ветвей Ьпг в этой области определяется разбиение плоскости (ю) на области однолистности функции г = ее. Пример 10.31. Найдем образ плоскости (г) с разрезом по лучу агдг = 0 при отображении, осуществляемом той ветвью логарифма, которая точку гг = — (1+1~/3)/2 переводит в точку юе = 10~п/3.
Образом рассматриваемой области (обозначим ее через Р), согласно виду ветвей Ьпя г логарифма, является одна из полос Р~ —— 1ю Е С: 2йя < 1юю < 21Й+1)я), Й е У. Выбор полосы однозначно определяет ветвь логарифма, при этом полосу нужно выбрать так, чтобы в нее попал образ точки ге. Таковой является полоса Р1 —— 1ю Е С: 2я < 1тю < 4зг1, которая и есть искомый образ области Р. Многоэначная функция ю = «+ ~/гэ — 1 (10.39) 10.7. Однозначные ветви многоэначных обратвыв функций 417 является обратной к у7уккции Жуковского, так как из этого представления вытекает, что (ю — г)2 = г2 — 1, нли 2юя = юг+ 1, что определяет переменное г как функцию переменного ю согласно формуле (10.15). С помощью ветвей этой функции можно реализовать преобразования областей, обратные тем, которые осуществляет функция Жуковского.
Исходя из рассмотренных ранее примеров (см. 10.5), отметим три таких преобразования, которые можно отнести к табличным. 1. Плоскость (г) с разрезом по отрезку [ — 1, 1] действительной оси 1шг = 0 одной ветвью функции (10.39), для которой ю(2) = 2+ ~/3, отображается на внешность единичной окружности [г[ = 1, а другой ветвью, для которой ю(2) = 2 — ~ГЗ,— на внутренность этой окружности (рис. 10.50). ~п=а+ч: — 1 ГГ ж(2)=2~-43 ~о=-в+Л -1 ы(2) = 2 — ~ГЗ Рис. 10.о0 2.
Плоскость с разрезами по лучам Вел = х < — 1 и Пег = х > > 1 действительной оси 1ш г = 0 одной ветвью функции (10.39), для которой ю(0) = е, отображается на верхнюю полуплоскость 1шю > О, а другой ее ветвью, для которой ю(0) = — е, — на нижнюю полуплоскость 1шю < 0 (рис. 10.51). 3. Верхняя полуплоскость 1шг > 0 одной ветвью функции (10.39), для которой ю(1) =1(1+ ~Г2), отображается на верхнюю полуплоскость 1шю > 0 с выброшенным единичным полукругом, а другой ветвью, для которой ю(1) = 1(1 — ~Г2), — на нижний единичный полукруг [ю[ < 1, 1шю < 0 (рис. 10.52). в 24 — 20М 418 10.
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ю=г+чг — 1 Гг ю(0) =1 Рис. 10.51 (ю) ю=г+чг -1 Гг (г) -1 0. 1и ю(г) =((1 — Я) Рис. 10.52 Пример 10.32. Найдем отображение плоскости (г) с разрезами по лучам ( — со, а] и [6, +оо) (а ( 6) действительной оси на верхнюю полуплоскость 1пио ) О. Линейным отображением 2 ( а+6) переводим плоскость (г) в плоскость (~) так, что отрезок [а, Ь] действительной оси перейдет в отрезок [-1, 1] действительной оси (рис. 10.53). В этом случае исходная область перейдет в плоскость ((') с разрезами по лучам ( — со, — 1] и [1, +со) действительной оси. Далее можно использовать табличное отображение 2 (см.
рис. 10.51). В итоге получим функцию — — 2 ( а+6 ю — ( + ч/~2 Ь вЂ” а~ 2 2 а+Ь 6 — а 2 10.7. Однозначные ветви многозначных обратных фунннвй 419 -Ю=( Д'г ю(0) =( Рис. 10.53 которая должна удовлетворять условию пг((а+ Ь)/2) = г, поскольку в точку г, = 0 переходит точка в = (а+ Ь)/2. Обратные тригонометрические функции Агссов г, Агсвш Агс(3г и Агсс(3г (см.
3.5) являются многозначными, и их можно выразить, согласно (3.38) и (3.40) — (3.42), через логарифмическую функцию (пж Из этого следует, что, например, в плоскости с разрезами по лучам (-оо, — 1] н [1, +со) действительной оси можно выделить бесконечное множество ветвей этих функций. На рис. 10.54 и 10.55 показаны этапы выделения по четыре таких ветви многозначных функций Агссоаг = — 11.п(г+ ~ГР— 1), Асса(ив = — (1 п(((в+ ~/в' — 1)). Каждая однозначная ветвь функции пг(в) = Агссоя г отображает область П на одну из полос а7(*, = (го Е С: Йя < Него < (Й+ 1)я), Й Е Х) и может быть определена соотношением и(0) = (2Й+ 1)я/2, а каждая однозначная ветвь функции ю(г) = Агсашг отображает эту область на одну из полос Ва — — (и Е С: (2Й вЂ” 1)н/2 < Нею < (2Й+1)я/2), Й Е У,, и однозначно определяется условием го(0) = Йн.
420 10. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ю =Ьп~ ю= — пп, л 1 и:=- — пп ~ (~а1) 'ю! Н, п~ | 4 =и+~/и'-) 1(е)=-( юг=ьп1::,"Ф ю (-т)=Г~п Рис. 10.54 Для функций Агс~Е з и Агсс1я г простейшей областью, в которой можно выделить ветви этих функций, является плоскость (г), имеющая либо один разрез по отрезку мнимой оси, соединяющему точки г = Ы, либо два разреза по лучам 1ш г = р < — 1 и 1тг = у > 1 мнимой оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
